2015届高考数学（理科，全国通用）二轮专题配套word版练习：活用“审题路线图”,破解高考不再难

审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难． 一审条件挖隐含

任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．

πππ

例1 (2014·重庆)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，

223且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；

α3π2π3π

(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．

24632审题路线图

条件：f(x)图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征 f(x)的周期为π 2π

↓T＝，ω>0(已知)

|ω|ω＝2

π

条件：f(x)图象关于直线x＝对称

3π

↓f()取到最值

3ππ

2×＋φ＝kπ＋(k?Z) 32

ππ

↓－≤φ<(已知)

22πφ＝－ 6↓

α3

条件：f()＝

24↓代入f(x) π1

sin(α－)＝

64π2↓条件<α<π

63π15cos(α－)＝

64

3ππ

↓欲求cos(α＋π)＝sin α＝sin[(α－)＋]

266sin α＝↓

3＋153

cos(α＋π)＝ 28

解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期为T＝π，从而ω2π

＝＝2. T

π

又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

3ππ

所以2×＋φ＝kπ＋，k?Z.

32ππ

由－≤φ<，得k＝0，

22π2ππ所以φ＝－＝－.

236

ααπ3

(2)由(1)得f()＝3sin(2·－)＝，

2264π1

所以sin(α－)＝.

64π2π由<α<， 63ππ得0<α－<，

62π

所以cos(α－)＝

6

π1－sin2?α－?＝

6

1151－??2＝.

44

3＋15

8

3πππ

所以cos(α＋)＝sin α＝sin[(α－)＋] 266ππππ

＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin 666613151

＝×＋× 4242＝

3＋15

. 8

π

(2014·四川)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．

4

(1)求f(x)的单调递增区间；

α4π

(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cos α－sin α的值．

354ππ

解 (1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k?Z，

22πππ

由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k?Z，

242π2kππ2kπ

得－＋≤x≤＋，k?Z.

43123

π2kππ2kπ

所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k?Z.

43123π4π

(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，

454ππ

所以sin αcos＋cos αsin 44

4ππ

＝(cos αcos－sin αsin)(cos2α－sin2α)， 5444

即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

5

3π

当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k?Z.

4此时，cos α－sin α＝－2.

5

当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝. 4由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此时cos α－sin α＝－

5. 2

5. 2

综上所述，cos α－sin α＝－2或－二审结论会转换

问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程

大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向． 1

例2 已知函数f(x)＝x2＋aln x.

2

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

2

(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．

3审题路线图 求f(x)的极值

↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f′(x)＝0的解，即f(x)的极值点 ↓(转化为求函数值)

将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f(x)在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)

比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F(x)＝f(x)－g(x)

↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F(x)<0在[1，＋∞)上恒成立． ↓研究函数F(x)在[1，＋∞)上的单调性． (1)解 由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1?x＋1??x－1?

当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，

xx令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x?(0,1)时，函数f(x)单调递减， 当x?(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增， 1

所以f(x)在x＝1处取得极小值为.

2

(2)解 当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数， 11

所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.

2212

(3)证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，

23

2

12?1－x??1＋x＋2x?则F′(x)＝x＋－2x＝， xx

当x>1时，F′(x)<0，

1

故f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－<0，

6所以在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立． 即f(x)

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．

1－a2

(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aln x＋x－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))

2

处的切线斜率为0. (1)求b；

a

(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．

a－1a

解 (1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.

x由题设知f′(1)＝0，解得b＝1. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1－a2

由(1)知，f(x)＝aln x＋x－x，

2

1－aaa

f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－)(x－1)．

xx1－a1a

①若a≤，则≤1，

21－a

故当x?(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)单调递增． aa

所以，存在x 0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，

a－1a－1即

1－aa

－1<， 2a－1

解得－2－11，

21－a故当x?(1，

a

)时，f′(x)<0， 1－a

aaa

当x?(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，)单调递减，在(，＋∞)单调递增．

1－a1－a1－aaaa

所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f()<.

a－11－aa－1

↓82出现的次数 ij＋1＝82的解 答案 (1)82 (2)5

解析 (1)a9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，??，第9行的公差为9，第9行的首项b1＝10，则b9＝10＋8×9＝82；(2)第1行数组成的数列a1，j(j＝1,2，?)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1，j＝2＋(j－1)·1＝j＋1；第i行数组成的数列ai，

j(j＝1,2，?)是以

i＋1为首项，公差为i的等差数列，所以ai，j＝(i＋1)＋(j－1)i＝ij＋1，由题

意得ai，j＝ij＋1＝82，即ij＝81，且i，j?N*，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出现5次．

(1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，?为“梯形数”．根据图

形的构成，数列第6项a6＝________；第n项an＝________.

(2)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为( )

A．11 C．12 答案 (1)35

B．11.5 D．12.5

?n＋1??n＋4?

(2)C 2

解析 (1)由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为 11

n＝1时，a1＝2＋3＝×(2＋3)×2；n＝2时，a2＝2＋3＋4＝×(2＋4)×3；

22?n＋1??n＋4?1

由此我们可以推断：an＝2＋3＋?＋(n＋2)＝×[2＋(n＋2)]×(n＋1)＝，

22∴a6＝35.

(2)中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标．设中位数为a，则x＝a将频率分布直方图分成两个面积相等的部分，则有0.30＋(a－10)×0.1＝0.5，所以a＝12.

六审细节更完善

审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 11

例6 各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝a2＋an (n?N*)． n

42(1)求an；

a， n为奇数，??n

(2)令bn＝?ncn＝b2n＋4 (n?N*)，求{cn}的前n项和Tn.

??b2， n为偶数，审题路线图 11

Sn＝a2n＋an 42↓(注意n?N*，an>0) a1＝2

↓(下面的变形是有条件的，条件是n≥2) 11121an＝Sn－Sn－1＝a2n＋an－an－1－an－1 4242↓(不变形怎么办？肯定要进行代数式变形) (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0 ↓(注意到an>0了吗？an＋an－1>0) an－an－1＝2

↓(关于等差数列的定义不用重复了吧！) an＝2＋(n－1)×2＝2n

↓(注意到bn与an的关系了吗？n是分奇偶的) b1＝a1＝2；b2＝b1＝2；b3＝a3＝6； b4＝b2＝2

↓(cn与bn的关系很特殊！) c1＝b6＝b3＝6 c2＝b8＝b4＝2

↓(下面变化的条件是n≥3，这可是细节啊！) cn＝b2n＋4＝b2n－1＋2＝b2n－2＋1＝a2n－2＋1＝2n1＋2.

－

Tn＝c1＋c2＋c3＋?＋cn

＝6＋2＋(22＋2)＋(23＋2)＋?＋(2n1＋2)

－

＝2n＋2n

↓(不要忘了当n＝1，n＝2时，对Tn的表达式的验证)

??6， n＝1，Tn＝?n *

?2＋2n， n≥2且n?N.?

12111解 (1)a1＝S1＝a1＋a1?a21－a1＝0， 4242因为a1>0，故a1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 11121＝a2n＋an－an－1－an－1， 4242112所以(a2n－an－1)－(an＋an－1)＝0， 42即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.

因为an>0，所以an－an－1＝2，即{an}为等差数列， 所以an＝2n (n?N*)．

(2)c1＝b6＝b3＝a3＝6，c2＝b8＝b4＝b2＝b1＝a1＝2， n≥3时，cn＝b2n＋4＝b2n－1＋2 ＝b2n－2＋1＝a2n－2＋1＝2n1＋2，

－

此时，Tn＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋?＋(2n1＋2)

－

＝2n＋2n；

当n＝2时，T2＝22＋2×2＝8＝c1＋c2.

??6， n＝1，所以Tn＝?n *

?2＋2n， n≥2且n?N.?

点评 从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着．

(2014·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3?an＝(2)bn(n?N*)．若{an}为等比数

列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an与bn；

11

(2)设cn＝－(n?N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.

anbn①求Sn；

②求正整数k，使得对任意n?N*，均有Sk≥Sn. 解 (1)由题意知a1a2a3?an＝(2)bn，b3－b2＝6， 知a3＝(2)b3－b2＝8.

又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以数列{an}的通项为an＝2n(n?N*)，

n?n＋1?＋．

所以，a1a2a3?an＝2＝(2)n(n1)

2故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n?N*)． 11111

(2)①由(1)知cn＝－＝n－?n－n＋1?(n?N*)，

anbn2??11

所以Sn＝－n(n?N*)．

n＋12②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0， 1?n?n＋1??

当n≥5时，cn＝－1， n?n?n＋1??2而得

n?n＋1??n＋1??n＋2??n＋1??n－2?

－＝>0， ＋＋

2n2n12n1n?n＋1?5×?5＋1?

≤<1， 2n25所以，当n≥5时，cn<0.

综上，对任意n?N*恒有S4≥Sn，故k＝4.

1．解题先审题，养成认真审题，缜密思考的良好习惯．

2．审题要慢要细，要谨慎思考：(1)全部的条件和结论；(2)必要的图形和图表；(3)数学式子和数学符号．要善于捕捉题目中的有效信息，要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力．要制订和用好审题路线图．

3．审题路线图：一审条件挖隐含→二审结论会转换 →三审图形抓特点→四审结构定方案 →五审图表、数据找规律→六审细节更完善.

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