南乐一中2011年高二数学选修2-2综合检测试题

南乐一中2011年高二数学选修2-2综合检测试题

班级 姓名 座号 成绩

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中

只有一项是符合题目要求的。） 1、复数

1

ｉ

等于 A、-1 B、1 C、i D、-i

??log3x,x?0,2、已知函数ｆ(x)＝1

?2x,x?0.则ｆ(f(９))等于

Ａ、４ Ｂ、１４ Ｃ、－４ Ｄ、－１

４

３、复数

1+2i

1+i

的虚部是 Ａ、2i Ｂ、12 Ｃ、12i Ｄ、3

2

４、已知函数f(x)=-cosx+lnx,则f＇(1)的值为

A、sin1-1 B、1-sin1 C、1+sin1 D、-1-sin1 5、已知函数f(x)的导函数f＇（x）=ax2

+bx+c的图像如图所示， 则f(x)的图像可能是

Y Y x1 X1 Y O X O X A B Y x1 Y O X X O X1 O X1 X C D 6、

设复数z=1+i,则复数22

z

+z的共轭复数为

A、1-i B、1+i C、-1+i D、-1-i

7、在平面上，若两个正三角形的边长之比1:2，则它们的面积之比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它的体积比为 A、1:4 B、1:6 C、1:8 D、1:9 8、观察(x2

)＇=2x,(x4

)＇=4x3

,(cosx)＇= -sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于 A、f(x) B、-f(x) C、g(x) D、-g(x)

9、若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于 A、-1 B、1 C、-2 D、2 10、函数f(x)=(x-3)ex

的单调递增区间是

A、（-∞，2） B、（0,3） C、（1,4） D、（2，+∞） 11、由曲线y2

=x与y=x2所围成图形的面积是

A、1 B、211

3 C、3 D、2 12、如图所示的三角形数阵叫“莱

布尼兹调和三角形“，它们是由整 数的倒数组成的，第n行有n个数 １且两端的数均为1

１ n（n≥２），其余每个数

１是它下一行左右相邻两个数的和，如： ２ １２ １１３ １６ １３ １＝１２＋１１１１１１１２，２＝３＋６，３＝４＋１２， １．．．．．．，则第7行第4个数（从左往右数） ４ １１１１２ １２ ４ 为

１５ １２０ １３０ １１２０ ５ Ａ、1 ．．．．．． 140 Ｂ、111105 Ｃ、60 Ｄ、42

二、填空题（本大题共４个小题，每小题４分，共１６分。请把答案填在题中横线上。）13、若复数（m2

-5m+6）+(m2

-3m)i是纯虚数，则实数m=____________。 14、利用定积分的几何意义或微积分基本定理计算下列定积分： （1）?11?x2dx? 。 （2）?32x01dx? 。

15、若A+B=

5π4，且A,B≠kπ+π

2

(k∈Z),则(1+tanA)(1+tanB)= 。 16 如图用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形 的图形，其面积为am2

。为使所用材料最省，底宽 应为 米。

三、解答题（本大题共6个小题，满分74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、（本小题满分12分）

△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B<π

２。

18、（本小题满分12分）

已知x= -12是函数f(x)=ln(x+1)-x+a2x2

的一个极值点。（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程。

19、（本小题满分12分）

P

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°，PA=AB=BC, E是PC的中点. E 求证: (Ⅰ)CD⊥AE;

(Ⅱ)PD⊥平面ABE. A D C

B 20、（本小题满分12分）

已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b(b≥4

3a)元/件时，可卖出c件。市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利利润。

21（本小题满分12分）

在数列{a=1,a2ann}中,a1n+1= 2+an

(n∈N*).

(Ⅰ)求a2,a3,a4;

(Ⅱ)猜想an，并用数学归纳法证明；

(Ⅲ)若数列ban

n= n，求数列{bn}的前n项和sn。 22、（本小题满分14分）

已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R)。 （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若a=4,y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点,求m的取值范围。

南乐一中2011年高二数学选修2-2综合检测试题

附参考答案：

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

DBBCD,ACDAD,CA

二、填空题：每小题4分，共16分。

13、2 14、⑴ π 6

4 ⑵ ln2 15、2 16、8aπ+4

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分。

17、证明：（反证法）由题意得：211

b = a + c． 假设B≥

π

２

，故在△ABC中角B是最大角,从而b>a,b>c, 故1b＜1a，1b＜1c， 于是211211

b＜a＋c，与b＝a＋c矛盾．

故B＜π2．

18、解：（Ⅰ）f(x)=ln(x+1)- x + a21

2x,∴f＇(x)= x+1-1+ax

由于x=-12是函数f(x)的一个极值点.∴f＇(-1

2)=0, 即2-1-a

2

=0,故a=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f＇(x)=1

x+1

+2x-1

从而曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=3

2

,又f(1)=ln2,

故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=32x+ln2-3

2 。

１９、证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,又AC⊥CD, 故CD⊥平面PAC.

又AE?平面PAC,∴CD⊥AE.

(Ⅱ)由题意:AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,从而AB⊥PD. 又AB=BC,且∠ABC=60°，∴AC=AB,从而AC=PA. 又E为PC之中点,∴AE⊥PC.

由(Ⅰ)知:AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD,从而AE⊥PD. 故PD⊥平面ABE.

20、解：设销售价为ｘ元／件，它比售价ｂ元下降了10y%， 从而ｘ=b(1-10y%),故10y%=b-x

b

．

由题意此时可卖出ｍ件，则m=c(1+40y%)=c+4c

b-xb

, 从而利润L(x)=(x-a)( c+4cb-xb)=c(x-a)(5-4bx),a

4．

令Ｌ＇(x)=-8cbx+4ac+5bcb=0,解得x=4a+5b

8

当x∈(a,4a+5b4a+5b5b

8)时,Ｌ＇(x)>0;当x∈(8,4

)时,Ｌ＇(x)<0.

因此x=4a+5b

8是函数Ｌ(x)的极大值点,也是最大值点.

所以,销售价为4a+5b

8元/件时，可获得最大利润．

答：销售价为4a+5b

8元/件时,可获得最大利润。

21、（Ⅰ）∵a=1,a2an

1n+1=2+a, n

∴a2a122a222a３22= 2+a = ,a3 = = ,a4 = 2+a = .

132+a2435(Ⅱ)猜想：a2

n=n+1。

下面用数学归纳法证明：

1°当n=1时,a2

1=1+1=1,等式成立。

2°假设当n=k时，a=2

kk+1成立。

则n=k+1时,

4

a2akk+142k+1=２+a===

k2+22k+2+2(k+1)+1

k+1即n=k+1时,等式也成立,

由数学归纳法知:a2

n=对n∈N*n+1都成立。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：ban211

n=n=n(n+1)=２[n-n+1] 从而sn=b1+b2+…+bn

=2[(1-12)+(12-11112n

3)+…+(n-n+1)]=2[1-n+1]=n+1

22、解：（Ⅰ）函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx的定义域为（0，+∞）， f＇(x)=2x-(a+2)+a2x2

-(a+2)x+a

2(x-a

2)(x-1)x=x=x

① 当a≤0时,f＇(x)≤0在(0,1]上恒成立,f＇(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，∴a≤0时,f(x)的增区间为[1,+∞),f(x)的减区间为(0,1]。 ② 当0

2]和[1,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在

[a

2

,1]上恒成立. ∴0

2]和[1,+∞),f(x)的减区间为

[a

2

,1]． ③当a=2时,f＇(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴a=2时,f(x)的增区间为(0,+∞)．

a

④当a>2时,f＇(x)≥0在(0,1]和[,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在

2a

[1,]上恒成立， 2

a

∴a>2时，f(x)的增区间为(0,1]和[,+∞),f(x)的减区间为

2a[1,]． 2

（Ⅱ）若a=4,由(Ⅰ)可得f(x)在(0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.

f(x)极小值=f(2)=4ln2-8,f(x)极大值=f(1)=-5,

∴y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点时m的取值范围是(4ln2-8,-5)。

a

④当a>2时,f＇(x)≥0在(0,1]和[,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在

2a

[1,]上恒成立， 2

a

∴a>2时，f(x)的增区间为(0,1]和[,+∞),f(x)的减区间为

2a[1,]． 2

（Ⅱ）若a=4,由(Ⅰ)可得f(x)在(0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.

f(x)极小值=f(2)=4ln2-8,f(x)极大值=f(1)=-5,

∴y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点时m的取值范围是(4ln2-8,-5)。

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