高中数学-直线、圆与方程压轴题（培优、提高）

高二数学 第3讲 直线与圆综合

1.已知圆C：x+y+2x-3=0．

（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；

（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；

（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．

2.已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．

（1）求点C的轨迹C2的方程；

（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证|AM|?|AN|为定值．

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11?x1x23.已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC?BC?0，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；

4.已知平面直角坐标系上一动点P(x,y)到点A(?2,0)的距离是点P到点B(1,0)的距离的2倍。 （1）求点P的轨迹方程；

（2）若点P与点Q关于点(2,1)对称，点C(3,0)，求|QA|?|QC|的最大值和最小值；

（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E,F两点，点M(2,0)，则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由。

225.已知圆O:x2?y2?4和点M(1,a)．

（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程； （2）若a?2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．

①求四边形ABCD面积的最大值；②求|AC|?|BD|的最大值．

6.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P． （I）求圆A的方程；

（Ⅱ）当MN＝219时，求直线l的方程；

（Ⅲ）BQ?BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方 （1）求圆C的方程；

（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6. （1）求圆O的方程；

（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程； （3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

10.已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；

（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程；

（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．

①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标； ②求|PQ|的最小值．

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