清华大学版理论力学课后习题答案大全 第6章刚体平面运动分析

第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。

解：xA?(R?r)co?s yA?(R?r)sin?

?为常数，当t = 0时，?0=?0= 0 ??（1） （2）

12?t 2（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP??，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

?A????

因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即 R??r? ??RR?r?， ?A?? rr??

习题6-1图

（4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

?2?x?(R?r)costA?2??2 ??yA?(R?r)sint

2??1R?r2???tA?2r?

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角? 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

B C h B C h A vo P ? ? vC ?AB A v0

?ABvvcos?v0cos??0?0?APACh

2

习题6－2图

习题6－2解图

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

vAv? RRvv ?B?B?

2R2R?A?2?B

解：?A?vB = v ?B ?A

习题6-3图

习题6-3解图

vA = v

6－4 直径为603mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度?＝12 rad/s，?＝30?，?＝60?，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

— 1 —

解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vB???BD?BC?vB??BD ?BPBPO P B C vB O ? ?BC B C ? ? ? 12?603cos30? ?270sin30??8rad/s

? D vC ? vC??BC?PC

?8?0.27cos30??1.87m/s

习题6-4图

习题6-4解图

6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。

D A A B C ?O O1 B C O 习题6-5图

? O1 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。

图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。

vD vB B vA A D vA A vB O1 B 习题6-5解图

vC C ?O vC C O ? O1 (a) (b) P

6－6 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =

1AB，曲柄OA的角速度?= 3rad/s。试求当示。?= 90°2?AA而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。

解：杆AB的瞬心在O

?ABv?A???3rad/s OAvB?3??5.2rad/s l

习题6-6图

?ABlO?2l?BB vB?3l? ?O1B?

??O1?O1B

习题6-6解图

— 2 —

6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？

解：如图

vA0.8??1.333rad/s

0.9?0.30.68 vO?0.9?O?0.9??1.2m/s

6 ?O?卷轴向右滚动。

习题6-7图

6－8 图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。

解：如图，以O为基点： v1?vO??Or

A O v1 A O v1 vO v2?vO??Or

解得：

?O v1?v2 2v?v?O?12

2rvO?B v2 B v2 习题6－8图 习题6－8解图

6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度?= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 20037mm。

vAA?O

习题6－9图

解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1．当?= 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示?= 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0

同理，?= 270°时，vDE = 0

2．?= 180°，0°时，杆AB的瞬心在B ?= 0°时，图（b），vC?vA（↑） 此时CD杆瞬时平移

vDE?vD?vC?vA?4m/s（↑） 同理?= 180°时，vDE = 4m/s（↓）

1212C90ovCvBDBE

vA(a)

?OvCACvD?vDEDBE

(b)

习题6－9解图

6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。

— 3 —

解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P ?O?vO20??40rad/s r0.5B OA vO A B vB ??OvO A vA A C ?O vA??O2r?202m/s

?AB?vA202sin45??AP1.5cos??102=14.1 rad/s

?AB 习题6－10图

P 习题6－10解图 vBcos??vAcos(45???)

vB?202(cos45??sin45?tan?)?12.9m/s

6－11 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。

解：轮B瞬心在F点 vE = vC ?B?vE60?2?10?311 vD?vB?vE?vC?0.06m/s

22

?0.12?1rad/s 0.12F

习题6－11图

6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 2003mm。试求当?= 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G两点的速度的大小和方向。

?FF

D?D C?r60??O

?E?GG

E

习题6－12图

习题6－12解图

解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。

πn1.4π10.7?m/s ve?vA?πm/s 30323v0.7π7π7π? ?e?e?rad/s vE?vD?0.254?e?m/s

CA3?0.41248?e?A?eA vA?OA???0.2? vG?vEcos30??

7π3??0.397m/s（→） vF?vG?0.397m/s（←） 4826－13 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA水平，其角速度? = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：

（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB的角加速度。

— 4 —

解：

（1） 圆轮的角速度和角加速度

vA?OA???40cm/s

杆AB瞬时平移，?AB = 0

B vB O A vA C aA B aBA tC vB?vA?40cm/s

v?B?B?8rad/s

rnaB?aBA?0

a?B?B?0

r（2）杆AB的角加速度。

?(a) O 习题6－13解图

aA ?(b)

A

tt?aA?OA??2?80cm/s2 aA?aBA?0，aBA?AB

taBA??4rad/s2 AB6－14 图示机构由直角形曲杆ABC，等腰直角三角形板CEF，直杆DE等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE杆绕D轴匀速转动，角速度为?0，求图示瞬时（AB水平，DE铅垂）点A的速度和三角板CEF的角加速度。

解：

（1）求点A的速度

O vE?DE??0?a?0三角板CEF的速度瞬心在点F

vC

vE

n aFan EaFE t aFt aFEaE

vA

vC?vE?a?0

曲杆点O

ABC的速度瞬心在

(a)

(b)

习题6—14解图

vA?vC?OA?2a?0 OCtntnaF?aF?aE?aFE?aFE

（2）求三角板CEF的角加速度

将上式沿水平方向投影

ntaF?aFE?0（因为vF = 0）

?CEF

taFE??0 FE 6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C以铰链与CD相连接，DE杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度ω?8rad/s，且OA?25cm，DE?100cm，若当B、E两点在同一铅垂线上时，O、A、B三点在同一水平线上，?CDE?90?，求杆DE的角速度和杆AB的角加速度。

— 5 —

解：

（1）求杆DE的角速度

vA?OA???200cm/s

杆AB的速度瞬心在点B

??vA

vC vD

??aA

aA

n aBAt aBAaB

v vC?A?100cm/ s2对杆CD应用速度投影定理

vD?vCsin30??50cm/s

?DE?（2）求杆AB的角加速度

tvD?0.5rad/s DEn(a)

(b)

习题6—15解图

aB?aA?aBA?aBA 将上式沿铅垂方向投影

0?a

tBA， ?ABtaAB??0 AB 6－16 试求在图示机构中，当曲柄OA和摇杆O1B在铅垂位置时，B点的速度和加速度（切向和法向）。

2

曲柄OA以等角加速度?0= 5rad/s转动，并在此瞬时其角速度为?0= 10rad/s，OA = r = 200mm，O1B = 1000mm，AB = l = 1200mm。 解：1．v：vA?r?0

vA

vB

vB//vA ∴ ?AB?0

vB?r?0?0.2?10?2m/s （1） 2．a：aB?aB?aA?aA?aBA 上式沿AB方向投影得：

ntntt??aBco?s?aAsin??aAco?s aBsintntnaB?aAtan??aA?aBtan?ntnt

(a)

t aAt aBA即

2?r?0?0.169?r?0?2v?0.169O1B2B

nA??22

)?0.169?0.2?5?3.70m/s 10.20.2 （tan????0.169）

221.41.2?0.2 ?(0.2?102?a

tn aA aB aAn aBt

(b)

n? aB22

?4m/s 1nB22??a?4m/s aB：aB?（方向如图）

t2??aB?3.7m/s

6－17 图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等

角速度?0转动，连杆AB长l = 4r。设某瞬时∠O1OA =∠O1BA = 30°。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度，并求连杆中点P的加速度。 解：1．v：vA?r?0

习题6－16解图

vB

由速度投影定理知：vB = 0 ?O1B?0 ?AB?r?0?0vA?? ABl4(a)

vA

— 6 —

2．a：aB?aB?aA?aBA?aBA 上式向aA投影

aBcos60??aA?aBA

tn22 aB?2(aA?aBA)?2(r?0?l?AB)

222 ?2??r?0?4r(4)???2r?0

??taB??O1BtaB5r2cos30?tntt aBAtnaB aA

n aBAt aPA??0?5aA

?OB1523?r?0t2acos30?322?B???05r5r2n aPAaA

(b)

习题6－17解图

352532?r?0?r?0 224nt aP?aA?aPA?aPA

ttaBA?aBcos30??2 aA?r?0，aPA?2r?AB?n21t532r2t?aBA?r?0 ?0，aPA288?12532?222 aP?(aA?a)?(a)??(1?)?( )??(r?0)?1.56r?088??n2PAt2PA

6－18 滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm，轮子半径r =200mm。当AB与铅垂线成角? =30?时，求此时点A的加速度及连杆、轮子的角加速度。

解：1．v：点O为杆AB的速度瞬心

vvB ?AB?B??5rad/s

OBlsin? 2．a：aA?aAB?aAB

n2aAB??ABl?20m/s2 tnaAB?aABcot??203m/s2

vA A r nt? l B vB O (a)

t aAB ?ABtaAB203???43.3rad/s2 l0.8aA A n aABr naABaA??40m/s2

sin?? l ?A?aA40??200m/s2 r0.2B (b)

解图 习题6-18

6-19 图示曲柄摇块机构中，曲柄OA以角速度?0绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动；摇块

及与其刚性连结的BD杆则绕B铰转动，杆BD长l。求在图示位置时，摇块的角速度及D点的速度。

— 7 —

解：

vA vA?OA??0

A vD D vBA?vAsin30??vA2

?0 O vB 30? vA vBA B C

v??摇块??AC?BA?0

2OA4?lvD?DB??摇块?0

4

习题6-19解图

6-20 平面机构的曲柄OA长为2a，以角速度?0绕轴O转动。在图示位置时，AB＝BO且 ?OAD = 90?。求此时套筒D相对于杆BC的速度。

解：1．分析滑块B

vA?2a?0，vBe?a?0

vA vBe vBa A vBavBe2a?0?? cos30?34a?0?

3B vBr 60? D vDr vDe vDa C

?0 O 2．杆AD作平面运动

vA?vDacos30?，vDa3．分析滑块D

习题6-20解图 vDe?vBa?2a?02a?0，vDr?vDa?vDe? 33

6-21曲柄导杆机构的曲柄OA长120mm，在图示位置?AOB=90?时，曲柄的角速度? =4rad/s，角加速度? = 2 rad/s2。试求此时导杆AC的角加速度及导杆相对于套筒B的加速度。设OB=160mm。

解：1．v：分析滑块B（动系） A vAvA?OA?? va?vB?vAcos??OA??cos??vrvBA?vAsin??OA??sin?2 O ? ? vB vBA B vBAOA??sin?2???sin?ABOA 2．a：分析滑块B（动系）

tn2 aA?OA??，aA?OA??

??vA (a) ?AC? a A n aAtA vr C a B t aAnBA t aBA

aa?aB?a?a?a?aC?artAnAnBA?atBA

O ? ? 将上式沿AC方向投影(tan??120?3)

1604 (b) ar aC aA nar?acos??asin??atAnAnBA2?OA??cos??OA??2sin???ACOAsin?习题6-21解图

C

??545.28mm/s2ttn将加速度的矢量方程沿垂直AC的方向投影：aBA?aAsin??aAcos???aC

ttnaBA?aAsin??aAcos??aC?574.08mm/s2，?AC?aBA?2.87rad/s2

tAB — 8 —

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