基本初等函数复习教案 2

教师 姓名 年级 高一

学生姓名 学科 提高 () 数学

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阶段 基础 (√) 教学 目标 教学 重难 点

强化 ( ) 课时计划

1 、基本初等函数

教学重点：基本初等函数基础知识点的熟练掌握 教学难点：基本初等函数的实际应用

教 学 过 程

课后 作 业：

知识点一：指数与对数的运算 1、n次方根n 1,n N 有如下恒等式：

mn

a

n

n

a,n为奇数

a；an

a,n为偶数

1m

2、规定正数的分数指数幂：a a;am

mn

1

a 0,m,n N,且n 1

a

n

例1、求下列各式的值：

（1）3 n

n 1,且n N ；

211115例2、化简：（1）(2a3

b2

)( 6a2

b3

) ( 3a6

b6

)；

练习：化简（1）(6

a9)4(3

a9)4

（3）0.027 13

3

( 17

) 2 2564 3 1

1=__________．23（4）

aa 1b 1 2

1 (3a

2ba

)=__________．

am

（2）

x y 2

a3b2ab2

211(a 0,b 0)； (a4b2)4 3

b

a

2111（2）

(a3b2) ( 3a2b2

)

115

3

a6b6（

7210 337 20

（5）(2) 0.1 (2) 3 =__________。

927481

（6）(ab)( 3ab) (a6b6)=__________。

3

16 10

（4）2 80.25 （ 2005）（7

） =__________。

49

6

43

12

23121213

15

3、对数与指数间的互化关系：当a 0，且a 1时，logbN b ab N 4、负数与零没有对数；loga1 0,logaa 1 5、对数的运算法则：

（1）loga M N logaM logaN， （2）loga（3）logaMn nlogaM， （4）logam（5）logaN

M

logaM logaN， N

n

Mn logaM

m

logbN1

， （6）logab logbalogba

其中a 0,且a 1，M 0，N 0,n R.

例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）2 7

（4）log132 5； （5）lg0.001 3； （6）ln100 4.606.

2

1

； （2）3a 27； （3）10 1 0.1； 128

例4、计算下列各式的值：（1）lg0.001 ； （2）log48 ； （3）lne.

例5、已知 log4 log3 log2x 0，那么x等于

1

2

例6、求下列各式的值：（1）log

例7、求下列各式中x的取值范围：（1） （2）logx 1 x 3 ；log1 2x 3x 2 .

例8、若2a 5b 10，则

例9、（1）化简：

（2）设log23 log34 log45 log20052006 log2006m 4，求实数m的值.

例10、（1）已知log189 a,18b 5，试用a,b表示log1845的值；

2

8； （2）log9.

11

；方程lgx lg x 3 1的解x ________ ab

111

； log57log37log27

（2）已知log147 a,log145 b，用a,b表示log3528

知识点二：指数函数、对数函数与幂函数的性质与图象

1、指数性质：定义域为R，值域为 0, ；当x 0时，y 1，即图象过定点(0,1)；当 0<a<1时，在R上是减函数，当a 1时，在R上是增函数. 例1、求下列函数的定义域： （1）y 2

例2、求下列函数的值域：

1

（1）y ()3x 1； （2）y 4x 2x 1

3

2

13 x

1

； （2） y ()

3

5 x

10x 100

； （3）y x

10 100

变式练习1、求下列函数的定义域和值域

112x2 2

（1）y x （2）y ()

2 13

2、设集合S {y|y 3,x R},T {y|y x 1,x R}，则S

x

2

T是 （ ）

A、 B、T C、S D、有限集 3、函数f(x)＝ 2x的定义域是 （ ）

A、 ,0 B、[0，＋∞） C、（－∞，0） D、（－∞，＋∞）

例3、函数f x ax b的图象如图，其 中a,b为常数，则下列结论正确的是（ ）. A．a 1,b 0 B．a 1,b 0 C．0 a 1,b 0 D．0 a 1,b 0

例4、已知函数 f x a2 3x a 0,且a 1 .

（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性

变式练习：函数y ax 1 a 0,且a 1 的图象必经过点

例5、按从小到大的顺序排列下列各数：32 ，0.32 ，2

2

，0.22 .

1 变式练习：1、设y1 40.9,y2 80.48,y3

2

1.5

，则 （ ）

A、y3 y1 y2 B、y2 y1 y3 C、y1 y3 y2 D、y1 y2 y3

22

2、设a ()1.5,b () 1.2.那么实数a、b与1的大小关系正确的是

33

( )

A. b a 1 B. a b 1 C. b 1 a D.

a 1 b

2

3、2, ,33的大小顺序有小到大依次为

3 _____________。

12

11

2x 1

例6、已知f x x. （1）讨论f x 的奇偶性；（2）讨论f x 的单调性.

2 1

变式练习：1、如果函数f(x)在区间 2,4a 2a上是偶函数，则a=_________ 2、若函数f(x) a

1

是奇函数，则a=_________ 4x 1

2

3、F(x) 1 x f(x)(x 0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )

2 1

A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数

例7、求下列函数的单调区间：（1）y ax

变式练习：1、函数f(x) 2x范围是 ( )

A. [6,+ ) B. (6, ) C. ( ,6] D. ( ,6)

ax 1 bx 1

(a 0,b 0,a b)的单调性为（ ） 2、函数f(x) xx

a b

2

2

2x 3

； （2）y

1

.

0.2x 1

2(a 1)x 1

在区间[5, )上是增函数，则实数a的取值

A．增函数

B．减函数 C．常数函数 D．与a, b取值有关

3、解关于x的不等式a2x

2

3x 2

a2x

2

2x 3

。

4、已知函数f(x) 2x 2 x.

(Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: f(x)是区间 (0, )上的增函数；

(Ⅱ) 若f(x) 5 2 x 3，求x的值.

指数函数综合题 1、设函数f(x) a

2

, x

2 1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;

(2)确定a的值,使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域.

2、已知定义在R上恒不为0的函数y f x 满足 f x1 x2 f x1 f x2 ,试证明：

（）1f 0 1及f x1 x2

n

f x1

;fx2

(2)f nx f x n N,n 2 ;

(3)若x 0时，f x 1,则f x 在R上单调递增.

注：复合函数y f x 的单调性研究，口诀是“同增异减”， 即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：i、求定义域；ii、拆分函数；iii、分别求

y f u ,u x 的单调性；iv、按“同增异减”得出复合函数的单调性.

2. 对数函数的性质：定义域为（0，+∞），值域为R；当x= 1时，y=0 ，即图象过定点(1,0)；当0 <a< 1 时，在（0，+∞） 上递减，当 a> 1 时，在（0，+∞）上递增.

1

log32,log23,log4 例1、比较大小：（1）log0.90.8,log0.90.7,log0.80.9； （2）

3

变式练习：1、若log2[log1(log2x)] log3[log1(log3y)] log5[log1(log5z)]=0，则

2

3

5

x、y、z的大小关系是（ ） A．z＜x＜y

B．x＜y＜z

C．y＜z＜x

D．z＜y＜x

2、若0 x y 1，则（ ）

11

A．3y 3x B．logx3 logy3 C．log4x log4y D．()x ()y

44

1

3、设a log13，b ，c 23，则（ ）

3 2

A．a b c

B．c b a

C．c a b

D．b a c

0.2

1

例2、求下列函数的定义域：（1）y log2(3x 5)； （2）y 0.54x 3

变式练习：1、函数

2、函数y＝log 2(32－4x)的定义域是 3、函数y log5 x(2x 3)的定义域____________ 4

、函数y

3

A.( ,1)

4

）

B(

3

,∞) 4

C（1，+∞） D. (

3

,1)∪（1，4

+∞）

5、若函数y lg(x2 mx 1)的定义域为实数集R，求实数m的取值范围。

例3、已知函数f x loga x 3 的区间[-2,-1]上总有|f(x)|< 2，求实数a的取值范围.

变式练习：若定义在(－1，0)内的函数f (x)＝log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是

例4、求不等式loga 2x 7 loga 4x 1 a 0,且a 1 中x的取值范围.

变式练习：1、若函数f(x) loga(a x)在[2,3]上单调递减，则a的取值范围是

2、已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________． 3、若函数y log2(x2 ax

a)在区间( ,1上是减函数，求实数a的取值范围

431

例5、图中的曲线是 y logax的图象，已知a的值为2，，，，则相应

3105曲线C1,C2,C3,C4的a依次为（ ）.

413431

，, B.2，，， 35103105134431B.C.,,,2 D.,2,,

51033105 A.2，

变式练习：1、函数y log2|x|的图象大致是

( )

2、函数y＝lg|x| （ ）

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

3、函数y

lg|x|

的图象大致是 x

( )

例6、已知函数f(x) loga(x2 1)(a 1)，

(1)求f(x)的定义域； (2)判断函数的奇偶性和单调性。

变式练习：1、若函数f(x) loga(x x2 2a2)是奇函数，则a． 2、若函数f x 是奇函数，且x 0时，f x lg x 1 ，则当x 0时，

f x 1

3、偶函数f x 在 0,2 内单调递减，a f 1 ,b f log0.5 ,c f lg0.5 ，则

4 a,b,c之间的大小关系1

4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0, )上为增函数，f() 0，则不

3

等式f(log1x) 0的解集为

8

5、已知函数f(x) lg

1 x1

,若f(a) ,则f( a) 1 x2

对数函数综合题

1、已知函数f(x) lg(4 k 2x)，（其中k实数）

（1）求函数f(x)的定义域；（2）若f(x)在 ,2 上有意义，试求实数k的取值范围

2、a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=lg1 ax1 2x

是奇函数

（1）求b取值范围（2）讨论函数f(x)单调性.

3、已知函数f(x) loga(1 x),g(x) loga(1 x)其中(a 0且a 1)，h(x)

f( x)

g. (x

（1）求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若f(3) 2，求使h(x) 0成立的x的集合.

设

4、已知函数f(x) log4(4x 1) kx(k R)是偶函数. （I）求k的值；

（II）若方程f(x) m 0有解,求m的取值范围.

1 ax

5、设f x log1 ， 为奇函数（a为常数）

x 1 2 （1）求a的值；（2）证明f x 在 1, 内单调递增．

3、（1）幂函数的基本形式是y x ，其中x是自变量， 是常数. 要求掌握

y x,y x,y x,y x,y x 1这五个常用幂函数的图象.

（2）观察出幂函数的共性，总结如下：I、当 > 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在 0, 上是增函数.II、当 <0 时，图象过定点(1,1)；在 0, 上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.

y x（3）幂函数的图象，在第一象限内，直线x 1的右侧，图象由下至上，

23

1

2

指数a 由小到大.y轴和直线x 1之间，图象由上至下，指数 由小到大. 例1、下列结论中，正确的是( )

A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数

2D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋

5

3

∞)上为增函数，求实数t的值．

例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(

)

A．-1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 例4、已知x>x3，求x的取值范围．

例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

变式 已知y＝(m2＋2m－2)x

例6、比较下列各组中两个数的大小：

（1）1.5，1.7；（2）0.7，0.6；（3）(－1.2)

例7、已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数

3

5

35

1.5

1.5

2

1

1

2n－3是幂函数，求m，n的值． m－1

2

－

23

，(－1.25)

23

．

值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－－2a)－a的范围．

33

变式 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象． 练习：

一、选择题 1．下列命题：

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；

③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数； ⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的是( )

A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 2．下列函数中，不是幂函数的是( )

A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x2 3．设α

111

∈－2，－1，－1，2，3 ，则使

232

mm

f(x)＝xα为奇函数且在

(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是( ) 1

A．y＝x．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1

2

5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )

A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1

6．在函数y＝2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 (x≠0)中幂函数的个数为( )

1

x

A．1 B．0 C．2 D．3

1

4， ，那么f(8)的值为( ) 7．幂函数f(x)的图象过点

2 A．26 B．64 C.

21 D. 464

8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )

A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝logax (a>0，且a≠1) 二、填空题

1

1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点 9， ，则f(25)＝_____________.

3 2．设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是______________．

3．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，则f(25)的值是________． 4．幂函数y＝xα (α∈R)的图象一定不经过第________象限．

1

5．已知幂函数f(x)＝x－f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是

2________． 三、解答题

1．求函数y＝x＋2x＋4（x≥－32）值域．

25

15

2．已知f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

1

3．已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点 －2，在幂函数g(x)的图象上，

4 问当x为何值时，

(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

4．已知函数y＝－2x－x2． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

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