北京交通大学信号与系统时域分析

【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨

【目的】

1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；

2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力； 【知识点】

信号时域分析，卷积积分，卷积和 【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算

两个连续信号的卷积积分定义为

?y(t)????x(?)h(t??)d?

为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。记x[k]=x(k?), h[k]=h(k),为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为

y(kΔ)?Δ?(x[k]?h[k])

(1)

由式(1)可知，可以利用Matlab提供的conv函数近似计算连续信号的卷积积分。 一、(*)理论分析

为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式； (1) 时限信号卷积积分

x1(t)=u(t)?u(t?1)，y1(t)=x1(t)?x1(t);

卷积结果为：y1(t)= x1(t)?x1(t)=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2) (2) 分段常数信号卷积积分

x2(t)= x1(t)+2 x1(t?1)+ x1(t?2)，h2(t)= x1(t)? x1(t?1)， y2(t)=x2(t)?h2(t); 卷积结果为：y2(t)= x2(t)?h2(t)

=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3)

=r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4)-r(t-5) (3) 非时限信号卷积积分

x3(t)=u(t)，h3(t)=e?tu(t), y3(t)=x3(t)?h3(t)

卷积结果为：y3= x3(t)?h3(t) =[1-exp(-t)]*u(t) 二、(*)时限信号卷积积分的近似计算

取不同的△值，用Matlab函数conv近似计算卷积积分y1(t)并画出其波形，讨论?的取值对计算结果的影响。

上图中，绿线为间隔0.01的结果，蓝线是间隔0.1结果，红线为实际结果， 由此可见：时间间隔越小，与实际结果越接近。

附程序代码： t1=[0:0.01:5]; t2=[0:0.1:5]; t=[0:0.1:5];

x1=1.*(t1>=0)-1.*(t1>=1); x2=1.*(t2>=0)-1.*(t2>=1);

y1=convn(x1,x1); y2=convn(x2,x2);

y=t.*[t>=0]-2*(t-1).*[t>=1]+(t-2).*[t>=2]

N1=length(y1); %length函数取y1的长度% N2=length(y2);

plot(t,y,'r'); hold on;

plot(0:0.01:(N1-1).*0.01,y1*0.01,'g'); plot(0:0.1:(N2-1).*0.1,y2*0.1,'b'); axis([0 5 0 1])

三、(**)分段常数信号卷积积分的Matlab计算

(1)若x2[k]={1，2 ，1，0; k=0,1,2}, h2[k]= {1，1 ; k=0,1}，计算离散卷积y2[k]=x2[k]?h2[k]；

y2[k]=x2[k]?h2[k]结果如下：

附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1]; y2=conv(x2,h2); N=length(y2); stem(0:N-1,y2); axis([0 8 -1 1])

(2)比较y2(t)和y2[k]，你发现了什么？

y2(t)的图像如下：

附程序代码：t=[0:0.1:5];

y=t.*[t>=0]-(t-1).*[t>=1]-2*(t-2).*[t>=2]+2*(t-3).*[t>=3]+(t-4).*[t>=4]-(t-5).*[t>=5] plot(t,y); hold on;

axis([0 8 -1 1])

y2(t)和y2[k]图像比较：

附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1]; y2=conv(x2,h2); t=[0:0.1:5];

y=t.*[t>=0]-(t-1).*[t>=1]-2*(t-2).*[t>=2]+2*(t-3).*[t>=3]+(t-4).*[t>=4]-(t-5).*[t>=5] N=length(y2); stem(0:N-1,y2); hold on;

axis([0 8 -1 1]) plot(t,y); hold on;

axis([0 8 -1 1])

比较两图可知，y2(t)与y2[t]的卷积积分相似，将y2[t]向右平移一个单位后，两图像波形重合，若在y2[t]最前面补零，或缩小抽样间隔，即可由y2[t]的卷积积分近似地求解y2（t）地卷积积分。

(3)对(2)中发现象进行理论分析，根据理论分析的结果，给出用Matlab函数conv计算卷积积分y2(t) 的方法并画出卷积积分y2(t)的波形；

x2(t)=u(t)+u(t-1)-u(t-2)-u(t-3),h2(t)=u(t)-2u(t-1)+u(t-2)

x2[k]={1， 2 ，1， 0; k=0,1,2}, h2[k]= {1，1;k=0,1}

当抽样间隔为0.1时，y2[t]比y2(t)超前一个单位，故在y2[t]最前面补零，采用plot即可画出y2(t)的正确波形。另外，由二题研讨可知，将抽样间隔缩小（例如抽样间隔取0.01），采用plot画图也可以得到y2(t)的正确波形。

采用补零的方法画出y2(t)的波形为：

附程序代码：x2=[0,1,2,1,0];h2=[1,-1]; %在x2最前面补零 y2=conv(x2,h2); N=length(y2); plot(0:N-1,y2); axis([0 8 -1 1]

(4)若分段常数的区间宽度不是1，应如何修改算法？

如图，若间隔为0.5时，图像及代码如下：

附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1]; y2=conv(x2,h2); N=length(y2);

stem(0:0.5:(N-1).*0.5,y2); %红体为相比间隔为1的函数修改的部分 axis([0 8 -1 1])

(5)完成了分段常数信号卷积积分的分析和计算后，你对y1(t)的近似计算方法有无新的认识？

可以由离散的卷积来近似的计算连续函数的卷积，但是要根据实际函数在0右边的积分的值，来确定离散函数向右偏移的格数，如可以取y1（t）的边界值先进行离散序列的卷积，如在用y2[t]来近似计算y2（t）时，由于y2（t）在0~1时，存在卷积积分的由0逐渐增长，到1时，存在着积分的变化，所以应将离散的图形向右平移一个单位。同时由于连续序列卷积后也是连续的可以将相邻的离散点相连。这样可以较快的计算出y1（t）的近似。

四、(**)非时限信号卷积积分的近似计算

近似计算若卷积积分y3(t)。若出现问题请分析出现问题的原因，并给出一种解决问题的方案；根据提出的方案完成近似计算卷积分的程序；

用近似方法计算y3（t）的代码及结果如下。 当区间长度为20时：

附程序代码：N=0.01; t=0:0.01:20; x=1*(t>=0); y=exp(-t).*(t>=0);

yt=conv(x,y); subplot(211); n=0:0.01:40; plot(n,N*yt); axis([0 20 0 2]); xlabel('时间（s）'); ylabel('近似值yt(t)'); subplot(212);

yt1=(1-exp(-t)).*(t>=0); plot(t,yt1); axis([0 inf 0 2]); xlabel('时间（s）'); ylabel('真实值yt(t)');

当区间长度为40时：

附程序代码：N=0.01; t=0:0.01:20; x=1*(t>=0); y=exp(-t).*(t>=0); yt=conv(x,y); subplot(211); n=0:0.01:40; plot(n,N*yt); axis([0 40 0 2]); xlabel('时间（s）');

ylabel('近似值yt(t)'); subplot(212);

yt1=(1-exp(-t)).*(t>=0); plot(t,yt1); axis([0 inf 0 2]); xlabel('时间（s）'); ylabel('真实值yt(t)');

出现这种情况的原因：因为conv函数无法计算一个无穷的卷积，题目中虽然是算了exp（-t）的卷积，但是实际取的是（0，20）这个区间内的值，在做卷积的计算过程中，使用matlab对t进行了赋值，在赋值以外的点，被认为时0，所以在t>=0&t<=20这个区间内是没有问题的，但是t一但大于20两者的卷积就会有缺失，计算值就不在准确，t>20的部分就相当于是错误的，没有任何意义。

解决方法：在绘制图形时，将绘制图形的坐标范围限定在t的取值范围之内，或绘制图形后去掉无效值。

五、(***)卷积函数conv函数选项的定义与应用研究

在新版MATLAB中，卷积函数conv提供了选项conv(A, B,’valid’ )，下面将研究conv(A, B,’valid’ )的定义及应用。

（1）读MATLAB提供的关于conv的Help，给出卷积函数conv(A, B,’valid’ )的定义。设计一些简单的实验，验证你给出的定义。你认为这样定义的卷积有何优缺点？

键入?help conv?可知matlab对于valid的定义：

C = CONV(A, B, SHAPE) returns a subsection of the convolution with size specified by SHAPE:

'valid' - returns only those parts of the convolution that are computed without the zero-padded edges. LENGTH(C)is MAX(LENGTH(A)-MAX(0,LENGTH(B)-1),0).

【只返回那些卷积计算无零填充的边缘部分】

接下来利用A=[1 2 3 4 5]和B=[1 2 3]对valid进行研究。

根据计算，A与B的卷积为[1,4,10,16,22,22,15]。用conv和conv-vaild分别计算的结果如下：

结论：由图像可得，在valid模式下，计算卷积只会计算A,B序列完全重合的部分，略去未完全重合的部分。

思考：与conv不同，valid 返回在卷积过程中，未使用边缘补 0 部分进行卷积计算，使得卷积出来的结果具有实际意义。但同时valid有一个显著缺点，即卷积运算时，只会将B翻转与A比较，而不会自动选择短的序列进行翻转，当B的长度大于A时，无法得出卷积结果。 附代码：A=[1 2 3 4 5]; B=[1 2 3 ]; C=conv(A,B);

C1=conv(A,B,'valid');

subplot(211)

stem((1:length(C))-1,C); axis([-1,10,0,30]); xlabel('conv(A,B))') c=length(C)

subplot(212)

stem((1:length(C1))-1,C1); axis([-1,10,0,30]);

xlabel('conv(A,B,‘valid’)') c1=length(C1)

附：valid的原理图解：

54.543.532.521.510.50-4-3-2-1012345654.543.532.521.510.50-4-3-2-10123456

图（1） 图（2）

54.543.532.521.510.50-4-3-2-1012345654.543.532.521.510.50-4-3-2-10123456

图（3） 图（4）

54.543.532.521.510.50-4-3-2-1012345654.543.532.521.510.50-4-3-2-10123456

图（5） 图（6）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hxfh.html