10年全国高考数学大题集（一） - 图文

2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

19、已知椭圆E经过点A?2,3?，对称轴为坐标轴，焦点

F1,F2在x轴上，离心率e?(Ⅰ)求椭圆E的方程；

1。 2(Ⅱ)求?F1AF2的角平分线所在直线l的方程； (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由。

20、（本小题满分12分）

设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0。

证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有

111n?????。 a1a2a2a3anan?1a1an?1

21、品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘

之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。

现设n?4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令

X?1?a1?2?a2?3?a3?4?a4，

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出X的可能值集合；

(Ⅱ)假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X?2，

(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

2010年普通高等学校招生全国统一考试

（19）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

13(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。

y?1y?1y?1y?11k?,k????APBPx,y?x?1x?1，由题意得x?1x?13， 设P点坐标为?，则

2222x?3y?4,(x??1)x?3y?4,(x??1) 化简得：。即P点轨迹为：

（2）因?APB??MPN?180?，可得sin?APB?sin?MPN， S?APB?11PAPBsin?APB,S?MPN?PMPNsin?MPN22，

PAPMPAPB?PMPN若S?APB?S?MPN，则有， 即

x0?1?3?x0x0?1又

?PNPB

设P点坐标为?x0?x0,y0?，则有：

3?x0

解得：

335y0??229。 3，又因x0?3y0?4，解得

?533??533?,,????39????3?9?或?? 故存在点P使得?PAB与?PMN的面积相等，此时P点坐标为?（20）已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,…，xn),x1?{0,1},i?1,2,…,n}(n?2)对于

A?(a1,a2,…an,)，B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定义A与B的差为 A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);

A与B之间的距离为d(A,B)??|a?b|

iii?1n（Ⅰ）证明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B); （Ⅱ）证明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P?Sn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P). 证明：d(P)≤

mn.

2(m?1)20, 解：（1）设A?(a1,a2,...,an),B?(b1,b2,...,bn),C?(c1,c2,...,cn)?Sn

因即

ai,bi??0,1?，故

ai?bi??0,1?，?i?1,2,...,n?

ai,bi,ci??0,1?,i?1,2,...,n.A?B??a1?b1,a2?b2,...,an?bn??Sn 又

a?c?bi?ci?ai?bi当ci?0时，有ii；

a?c?bi?ci?(1?ai)?(1?bi)?ai?bi当ci?1时，有ii

故

d(A?C,B?C)??ai?bi?d(A,B)i?1n

（2）设A?(a1,a2,...,an),B?(b1,b2,...,bn),C?(c1,c2,...,cn)?Sn 记d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h

记O?(0,0,...,0)?Sn，由第一问可知：d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(O,B?A)?k d(A,C)?d(A?A,C?A)?d(O,C?A)?l d(B,C)?d(B?A,?CA)?

h即

bi?ai中1的个数为k，bi?ai?ci?ai?1ci?ai中1的个数为l，(i?1,2,...,n)

设t是使

成立的i的个数，则有h?k?l?2i，

由此可知，k,l,h不可能全为奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。

2Cm（3）显然P中会产生个距离，也就是说

d(P)?12CmA,B?P?d(A,B)，其中A,B?P?d(A,B)表示P

中每两个元素距离的总和。分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了ti个1，

m2ti(m?ti)?,(i?1,2,...,n)m?t4i那么自然有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，

m2m2nd(A,B)??ti(m?ti)?n???44 i?1那么n个位置的总和A,B?Pn即

1d(P)?2Cmm2nmnd(A,B)???24Cm2(m?1)A,B?P

2010年高考试题——数学（理）（福建卷）解析

20．（Ⅰ）已知函数f(x)=x-x，其图象记为曲线C。（i）求函数f(x)的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点

3P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段 P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则32S1 为定值；S2（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax+bx+cx+d(a?0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

【解析】（Ⅰ）（i）由f(x)=x-x得f(x)=3x-1=3(x-3'233)(x+)， 33当x?(-?,-3333'时，f(x)>0；当x?(-（，??）,)和)时，f'(x)<0，

3333因此，f(x)的单调递增区间为(-?,-3333，单调递减区间为(-（，??）)和,)。

3333

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

20.已知双曲线

x?y2?1的左、右顶点分别为A1,A2，点P(x1,y1)，Q(x1,?y1)是双曲线2上不同的两个动点。

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

（2若过点H(0,h)(h?1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2，求h的值。

21.设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种

折线距离?(A,B)为?(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|对于平面xOy上给定的不同的两点

A(x1,y1)，B(x2,y2),

（1）若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明?(A,C)??(C,B)??(A,B); （2）在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足

①?(A,C)??(C,B)??(A,B) ② ?(A,C)??(C,B) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

20．（1）解：由A1,A2为双曲线的左右顶点知，A1(?2,0), A2(2,0),

?y12A1P:y?(x?2)，A2Q:y?(x?2)，两式相乘y?2(x2?2)，

x1?2x1?2x1?2y1?y12y121x1212?，故y2??(x2?2)， ?y1?1，即2因为点P(x1,y1)在双曲线上，所以

x1?2222x2x22所以?y?1，即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为?y2?1.

22（2）解法1：设l1:y?kx?h，则由l1?l2知，l2:y??1x?h。 kx2将l1:y?kx?h代入?y2?1得

2x2?(kx?h)2?1，即(1?2k2)x2?4khx?2h2?2?0， 2由l1与E只有一个交点知，??16kh?4(1?2k)(2h?2)?0，即1?2k2?h2。 同理，由l2与E只有一个交点知，1?2?22221122，消去得h?h?k2，即k2?1， 22kk从而h2?1?2k2?3，又Qh?1，?h?3.。

来

解法2：由题意知直线l1和l2都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为45?和

x2135?，设其方程为y??x?h，代入椭圆E的方程?y2?1得

2x2?(?x?h)2?1，即3x2?4hx?2h2?2?0 222由??0得16h?4?3?(2h?2)?0，即h2?3，Qh?1，?h?3.

21．（1）证明：由绝对值不等式知，

?(A,C)??(C,B)?|x?x1|?|x2?x|?|y?y1|?|y2?y ?|(x?x1)?(x2?x)|?|(y?y1)?(y2?y)| =|x2?x1|?|y2?y1| =?(A,B)当且仅当(x?x1)?(x2?x)?0且(y?y1)?(y2?y)?0时等号成立。 （2）解：由?(A,C)??(C,B)??(A,B)得

(x?x1)?(x2?x)?0且(y?y1)?(y2?y)?0 （Ⅰ）

由?(A,C)??(C,B)得 |x?x1|?|y?y1|?|x2?x|?|y2?y| （Ⅱ） 因为A(x1,y1)，B(x2,y2)是不同的两点，则：

1? 若x1?x2且y1?y2，不妨设y1?y2，

由（Ⅰ）得 x?x1?x2且y1?y?y2，由（Ⅱ）得 y?此时，点C是线段AB的中点，即只有点C(y1?y2， 2x1?x2y1?y2,)满足条件； 22x?xy?y2)满足条件； 2? 若x1?x2且y1?y2，同理可得：只有AB的中点C(12,1223? 若x1?x2且y1?y2，不妨设x1?x2且y1?y2，

x1?x2y1?y2， ?22 此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点x?xy?y2x?xy?y2夹在矩形AA1BB1之间的部(12,1)，斜率为?1的直线x?y?12?12222由（Ⅰ）得x1?x?x2且y1?y?y2，由（Ⅱ）得x?y?分，其中A(x1,y1)，A1(x2,y1)，B(x2,y2)，B1(x1,y2)。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

19已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都

????????有FA?FB?0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

20.(本小题满分13分)31+an+1）2（1+an）1（已知数列?an?满足：a1?，?，anan+1?0(n?1),数列?bn?满足：21?an1?an+122bn?an?1?a（nn?1）.（?）求数列?an?，?bn?的通项公式；（?）证明：数列?bn?中的任意三项不可能成等差数列.21.（本小题满分14分）已知函数f（x）=ax+(?)用a表示出b，c；（?）若f（x）?lnx在[1，+?）上恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ） 证明：1?b?c（a>0）的图象在点（1,f（1））处的切线方程为y=x-1.x111n ???????ln（n+1）+（n?1）23n（2n+1）19. 解：（Ⅰ）设P(x,y)是曲线C上任意一点，那么点P(x,y)满足：

(x?1)2?y2?x?1(x?0)。 化简得 y2?4x(x?0)

（Ⅱ）设过点M(m,0)(m?0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)。

?x?ty?m22 设l的方程为x?ty?m，由?2得y?4ty?4m?0，??16(t?m)?0.

?y?4x?y1?y2?4t于是? ①

yy??4m?12????????又FA?(x1?1,y1),FB?(x2?1,y2)

????????FA?FB?0?(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?y1y2?0 ②

22y2y12y2y12y2??y1y2?(?)?1?0 又x?，于是不等式②等价于

44444(y1y2)21?y1y2??(y1?y2)2?2y1y2? ????1?0 ③ 164由①式，不等式 ③ 等价于m2?6m?1?4t2

对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于

m2?6m?1?0，即 3?22?m?3?22。

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)，且与曲线C有两个交点A,B 的任一直线， 都

????????有FA?FB?0，且m的取值范围是(3?22,3?22)

220解：（Ⅰ）由题意可知，1?an?1?2222，则 cn?2?cn (1?an)令 cn?1?an333232又c1?1?a2?，则数列?cn?是首项为c1?，公比为的等比数列，即

4343?2?cn???4?3?n?1323?2?22，故1?an?()n?1?an?1???434?3?n?1n?1，又a1?1?0，anan?1?0 2故an?(?1)321?()n?1 431时，有f(x)?lnx(x?1)。 211111令a?，有f(x)?(x?)?lnx(x?1) 当x?1时，(x?)?lnx。

22x2x（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当a?令x?k?11?k?1k?1?11?k?1，有ln????(1?)?(1?)? ?k2?kk?1?2kk?1k???即 ln(k?1)?lnk?111(?)，k?1,2,3....n 2kk?111111 ?(??.....?)?223n2(n?1)将上述n个不等式一次相加得ln(n?1)?整理得 1?111??....??23nnnln?(?1)2n(?1)

解法二：用数学归纳法证明 当n?1时，左边?1，右边?ln2?1?1，不等式成立 4假设n?k时， 不等式成立， 就是 1?111k ??.....?)?ln(k?1)?23k2(k?1)那么1?1111k1k?2??.....???ln(k?1)???ln(k?1)? 23kk?12(k?1)k?12(k?1)1时，有f(x)?lnx(x?1) 2 由（Ⅱ）知：当a?111，有f(x)?(x?)?lnx(x?1) 22xk?21k?2k?1k?2令x?，得：(?)?ln?ln(k?2)?ln(k?1)

k?12k?1k?2k?1令a??ln(k?1)?k?2k?1 ?ln(k?2)?2(k?1)2(k?2)1111k 1???.....???ln(k?2)?23kk?12(k?1)就是说， 当n?k?1时，不等式也成立。 根据（1）和（2），可知不等式对任何n?N都成立。

nn?1n?1????323212??????22 bn?an?1?an??1???????1????????

??4?3?????4?3???4?3?（Ⅱ）用反证法证明

假设数列?bn?存在三项br,bs,bt(r?s?t)按某种顺序成等差数列，由于数列?bn?是首项为

12，公比为的等比数列，于是有br?bs?bt，则只有可能有2br?bs?bt 成立 431?2??2???4?3?s?31?2????4?3?r?21?2????4?3?t?1

由于r?s?t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列?bn?中任意三项不可能成等差数列。 21．解：（Ⅰ）f'(x)?a??f(l)?a?b?c?0?b?a?1b，则有，解得 ??2x?f'(l)?a?b?1?c?l?2a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?ax?令g(x)?f(x)?lnx?ax?a?1?1?2a， xa?1?1?2a?lnx，x??1,??? x2则 g(l)?0，g'(x)?a?（i）当 o?a?若 1?x?a?11ax?x?(a?1)???22xxxa(x?1)(x?x21?a)a

11?a，?1 2a1?a，则g'(x)?0，g(x)是减函数，所以g(x)?g(l)?o af(x)?lnx，故f(x)?lnx在?1,???上恒不成立。

（ii）a?11?a时，?l 若f(x)?lnx，故当x?1时，f(x)?lnx 2a?1?2??综上所述，所求a的取值范围为?,???

2010年高考湖南卷理科数学全解全析

19．（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线x?2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过65km的5区域；在直线x?2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过45km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图6所示，设线段PP，当冰川融12，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 区 域 化

【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为(x,y).当x≥2时， 由题意知(x?4)2?y2? P1(?53,?1)已 融 P2(?83,6) 3y P3(8,6) 冰 A(-4,0) O B(4,0) x=2 川 x 36 5 |+|PB|=45知，点P在以A,B焦点，长轴长为2a＝45 当x?2时，由|PAx2y2的椭圆上。此时短半轴长 b?(25)?4?2，因而其方程为??1

20422故考察区域边界曲线（如图）的方程为

C1:(x?4)2?y2?3636(x?2)和C2:(x?4)2?y2?(x?2) 55

（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为

y?3x?14,y?6

20．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?x?bx?c(b,c?R),对任意的x?R,恒有f?(x)?f(x) （Ⅰ）证明：当x?0时，f(x)?(x?c);

22

（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c，不等式f(c)?f(b)?M(c?b)恒成立，求M的最小值。

22（Ⅱ）是否存在a,使数列｛an｝是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在， 请说明理由。'2222【解析】易知fn(x)?x?(3an?n)x?3nan?(x?3an)(x?n) '2令fn(x)?0,得 x＝3an，x＝n)

(1)若3an?n2,当x?3an时，fn'(x)?0，fn(x)单调递增；

当3an?x?n2时,fn'(x)?0，fn(x)单调递减；当x?n2时,fn'(x)?0，fn(x)单调递增；故fn(x)在x＝n时,取得极小值。

（2）若3an?n2,仿（ 1）可得，fn(x)在x?3an取得极小值。（3）若3an＝n2,fn'(x)?0，fn(x)无极值。

2

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

19、设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列为d的等差数列。（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；

（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立。求证：c的最大值为（1）由题意知：d?0，

?S?是公差

n9。 2Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

化简，得：a1?2a1?d?d?0,a1?d,a1?d

22Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2

m2?n2（2）（方法一） c?Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k，

k2222222222m2?n29恒成立。 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k??， 2k22222故c?99，即c的最大值为。

22a1?(n?1)d，得d?0，Sn?n2d2。

（方法二）由a1?d及Sn?于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有

(m?n)2292299Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk。所以c的最大值cmax?。

2222222933。设k为偶数，令m?k?1,n?k?1，则m,n,k符合条件，222331且Sm?Sn?(m2?n2)d2?d2[(k?1)2?(k?1)2]?d2(9k2?4)。

222另一方面，任取实数a?于是，只要9k2?4?2ak2，即当k?21时，Sm?Sn?d2?2ak2?aSk。

22a?9所以满足条件的c?999，从而cmax?。因此c的最大值为。 222 20、设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数

h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称

函数f(x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。

(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，

若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)f'(x)?1b?2112∵时，??(x?bx?1)h(x)??0恒成立， x?1x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2∴函数f(x)具有性质P(b)；

b2b2(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同。

24b2当1??0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；

42当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1， 2对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； （方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b?1，方程?(x)?0的两根为：2b?b2?4b?b2?42b?b2?4b?b2?4?1,??(0,1) ,，而22222b?b?4b?b2?4b?b2?4)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,) 当x?(1,22b?b2?4,??)上递增。 上递减；同理得：f(x)在区间[2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；

22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增。

22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1)

22又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，

所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?1 ,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2，

2

综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间

22(1,??)上单调递增。

①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以

由g(x)的单调性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))， 从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。 ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知

g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。 已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，

2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。

2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，

1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，

211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，

22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2?AC2?BC2是有理数。 cosA?2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cos2A也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，

sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，

及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。

即当n?k?1时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数

21. 设椭圆

C1:2010年普通高等学校招生全国统一考试 x2y2a2?b2?1(a?b?0)，抛物线

C2:x2?by?b2。

（1） 若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；

（2） 设A（0，b），Q?33，?,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN

??5?4?的垂心为B?0，b?，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。

（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：c2?b2，由

??3?4?c212。 a?b?c?2c,有2??e?a222222(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设M(?x1,y1),N(x1,y1)(x1?0),由?AMN的

?????????32垂心为B，有BM?AN?0??x1?(y1?b)(y1?b)?0。

4 由点N(x1,y1)在抛物线上，x12?by1?b2，解得：y1??或y1?b(舍去) 故x1?b455b5bbb,M(?b,?),N(b,?)，得?QMN重心坐标(3,). 224244b211?b2,所以b=2，M(?5,?),N(5,?)， 由重心在抛物线上得：3?又因为M、422x2y216N在椭圆上得：a?，椭圆方程为??1，抛物线方程为x2?2y?4。

16432322. 证明以下命题：

（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b

（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2成等差数列。

（1）考虑到结构要证a2?c2?2b2，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值1,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

2222222证明：当an，bn，cn成等差数列，则bn?an?cn?bn，

222分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn)

选取关于n的一个多项式，4n(n?1)做两种途径的分解

24n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1)

?an?n2?2n?1?对比目标式，构造?bn?n2?1(n?4)，由第一问结论得，等差数列成立，

?c?n2?2n?1?n考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。 任取正整数

m，n，若△

m

，

△

n相似：则三边对应成比例

m2?2m?1m2?1m2?2m?1， ?2?22n?2n?1n?1n?2n?1由比例的性质得：

m?1m?1??m?n，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 n?1n?12010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

x2y2(20)设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B

ab????????两点，直线l的倾斜角为60,AF?2FB.

o

1.求椭圆C的离心率；2.如果|AB|=

15，求椭圆C的方程. 4（20）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为 y?3(x?c)，其中c?a2?b2. ?y?3(x?c),?联立?x2y2得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0

?2?2?1b?a?????????3b2(c?2a)?3b2(c?2a)解得y1?因为AF?2FB，所以?y1?2y2. ,y2?22223a?b3a?b即

3b2(c?2a)?3b2(c?2a)c2得离心率 ?2?e??.

3a2?b23a2?b2a31243ab215?2?. （Ⅱ）因为AB?1?y2?y1，所以23433a?bx2y25515c2?1. 由?得b?a.所以a?，得a=3，b?5.椭圆C的方程为?39544a3（21）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1

（I）讨论函数f(x)的单调性；（II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，

2|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。

a?12ax2?a?1（21）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?. ?2ax?xx当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；

当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得x??a?1. 2a则当x?(0,?a?1a?1)时，f'(x)＞0；x?(?,??)时，f'(x)＜0. 2a2aa?1a?1)单调增加，在(?,??)单调减少. 2a2a故f(x)在(0,?（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而

?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2

等价于?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①

a?1?2ax?4 xa?1①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即 . ?2ax?4?0x令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)??4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2???2 从而a?2222x?12x?12x?1故a的取值范围为（-∞，-2].

（24）已知a,b,c均为正数，证明：a2?b2?c2?(何值时，等号成立。

1112??)?63，并确定a,b,c为abc

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