2014中考备考数学总复习基础讲练 第12讲 几何初步知识及相交线、平行线（含答案）

第12讲 几何初步知识及相交线、平行线

考纲要求 1.了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义． 2.理解角的有关概念，熟练进行角的运算． 3.掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定. 备考指津 中考中，对这部分内容命题的难度较小，主要以选择题、填空题的形式出现，重点考查互为余角、互为补角的性质、平行线的性质与判定的应用．

考点一 直线、射线、线段 1．直线的基本性质

(1)两条直线相交，只有一个交点．

(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线． 2．线段的性质

所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短． 3．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点． 4．直线、射线、线段的区别与联系：

直线 射线 线段 有几个端点 0 1 2 向几个方向延伸 2 1 0 表示 两个大写字母或一个小写字母 两个大写字母 两个大写字母或一个小写字母 图形 ____ 考点二 角的有关概念及性质 1．概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．

2．角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．

3．余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等． 4．对顶角：在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．

考点三 垂线的性质与判定 1．垂线及其性质：

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垂线：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．

性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)

2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直． 考点四 平行线的性质与判定

1．概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线．

2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

3．性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

4．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．

1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长为( )．

A．3 cm

B．6 cm

C．11 cm

D．14 cm

2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )．

A．35° B．55° C．70° D．110°

3．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是( )．

A．125° B．135° C．145° D．155°

4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.

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5．如图，EF⊥GF于F，∠AEF＝150°，∠DGF＝60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

一、直线、射线、线段

【例1】 在直线l上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．

解：(1)当C在AB的延长线上时，如图，

∵D是AB的中点，AB＝16 cm， ∴AD＝

AB1

＝×16＝8 cm. 22

∵E是AC的中点，AC＝40 cm， 11

∴AE＝AC＝×40＝20 cm.

22∴DE＝AE－AD＝20－8＝12 cm.

(2)当C在BA的延长线上时，如图，由(1)知AD=8 cm，AE=20 cm.

∴DE=AE+AD=20+8=28 cm.

答：D点与E点的距离是12 cm或28 cm.

对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．

二、角的计算

【例2】 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( )．

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A．∠2＝45°

B．∠1＝∠3

D．∠1的余角等于75°30′

C．∠AOD与∠1互为补角

1

解析：利用两直线互相垂直的性质得∠2＝∠AOE＝45°，A正确；利用对顶角性质，则B

2正确；利用互为邻补角定义，则C也正确；而根据互为余角的定义知：90°－∠1＝90°－15°30′＝74°30′，故D不正确．

答案：D

有关图形中的角的计算问题，首先要从图形中读出具有度量关系的角；如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．

三、平行线的性质与判定

【例3】 如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D点，∠CDE＝150°，则∠C为( )．

A．120°

B．150°

C．135°

D．110°

解析：∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝30°. ∵CD∥AB，∴∠ABD＝30°. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°. ∴∠C＝180°－60°＝120°. 答案：A

运用平行线的性质和判定常用来解决下列问题： (1)作图形的平移； (2)证明线段或角相等； (3)证明两直线平行； (4)证明两直线垂直．

如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝( )．

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A．120° B．130°

C．145° D．150°

1．(2012重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )．

A．60° B．50°

C．40° D．30°

2．(2012山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是( )．

A．40° B．50°

C．60° D．140°

3．(2012湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )．

4．(2011山东枣庄)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )．

A．30°

B．40°

C．60°

D．70°

5．(2011四川雅安)如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1＝72°，∠2＝58°，则∠3＝( )．

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A．45°

B．50°

C．60°

D．58°

6．(2011江苏盐城)已知∠MAN，AC平分∠MAN.

(1)在①中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，我们可得结论：AB＋AD＝AC；在图②中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(2)在图③中：(只要填空，不需要证明)

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝__________AC；

②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝__________AC(用含α的三角函数表示)．

1．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( )．

A．150°

B．140°

C．130°

D．120°

3．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐

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弯的角度可能是( )．

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°，其中正确的个数是( )．

8．如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.

9．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

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(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．

(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数． (4)从(1)(2)(3)的结果能看出什么规律？

(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来？

参考答案

基础自主导学

自主测试

1．B 2.C 3.B 4.118° 5．解：AB∥CD.

如图，作FH∥AB，则∠AEF＋∠EFH＝180°，

又∠AEF＝150°， ∴∠EFH＝30°.

又∠EFG＝90°，∴∠HFG＝60°. 而∠DGF＝60°，∴∠HFG＝∠FGD. ∴HF∥CD.又AB∥HF，∴AB∥CD.

规律方法探究

变式训练 D

知能优化训练

中考回顾

1．B 2.B 3.D 4.A 5.B 6．解：(1)成立．

证法一：如图(甲)，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.

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图(甲)

∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABC.∵∠CED＝∠CFB＝90°， ∴△CED≌△CFB.∴ED＝FB.

∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE， 由(1)知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC.

证法二：如图(乙)，在AN上截取AG＝AC，连接CG.

图(乙)

∵∠CAB＝60°，AG＝AC， ∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠ADC.∴△CBG≌△CDA. ∴BG＝AD.∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC. α(2)①3 ②2cos

2模拟预测

1．D 2.D 3.A 4.D 5.110° 6.45° 7.130° 8．证明：因为AB∥CD，所以∠BEF＋∠DFE＝180°. 11

因为∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，

221

所以∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°.

2因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，所以∠P＝90°.

11119．解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°；

222211111

(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(α＋30°)－×30°＝α；

222221111

(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(90°＋β)－β＝45°；

2222

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(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；

(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．

规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．

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