专题67 二项式定理-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

专题67 二项式定理

【考情解读】

1.能用计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【重点知识梳理】 1．二项式定理

二项式定理 二项展开式的通项公式 二项式系数 2.二项式系数的性质 nkknk

(1)当0≤k≤n时，Ckn与Cn的关系是Cn＝Cn．

－

－

n1n1nrrn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N) －－nrrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项 na－1n二项展开式中各项的系数C0n，Cn，…，Cn (2)二项式系数先增后减中间项最大

n＋1n＋3nn

当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二

2222项式系数最大，最大值为

．

012n

(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2n， 02413n1Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋C5． n＋…＝2

－

【高频考点突破】 考点一 通项公式及其应用

?x－1?5【例1】 (1)设二项式?3?的展开式中常数项为A，则A＝________．

x??

(2) (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答)．

【规律方法】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 【变式探究】 (1)】已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

123?(2) ??2x－2y?的展开式中xy的系数是( ) A．－20 B．－5 C．5 D．20

考点二 二项式系数的性质与各项系数和

【例2】 (1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是( )

A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3

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x＋?的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2的系数为________． (2)若??x?x【规律方法】(1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n

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的等量关系表示为C3n＝Cn，而求错n的值．

5

n

(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.

2

x＋2?的展开式中只有第6项的二项式系数最大，【变式探究】 (1)二项式?则展开式中常数项是( ) x??A．180 B．90 C．45 D．360

a1a2a3a2 014

(2)若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 014x2 014(x∈R)，则＋2＋3＋…＋2 014的值为________．

2222考点三 二项式定理的应用

【例3】 (1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12 【规律方法】

(1)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．(2)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．

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【变式探究】 S＝C27＋C227＋…＋C27除以9的余数为________．

n

【真题感悟】

1.【2015高考陕西，理4】二项式(x?1)n(n?N?)的展开式中x2的系数为15，则n?（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

2.【2015高考湖北，理3】已知(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）

A.212 B．211 C．210

5D．29

1??383..【2015高考重庆，理12】?x?的展开式中的系数是________(用数字作答). x?2x??4.【2015高考广东，理9】在(x?1)4的展开式中，x的系数为 . 5.【2015高考四川，理11】在(2x?1)5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字作答）.

1???C?(?2)??40.6.【2015高考天津，理12】在?x?? 的展开式中，x2的系数为 .

4x??25267.【2015高考安徽，理11】(x3?)7的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案）

1x15（用数字(x3?)78.【2015高考福建，理11】?x?2? 的展开式中，x2的系数等于 ．

x作答）

9.【2015高考北京，理9】在?2?x?的展开式中，x3的系数为 45．（用数字作答）

10.【2015高考新课标2，理15】(a?x)(1?x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则

a?__________．

3a??211.【2015高考湖南，理6】已知?x??的展开式中含x的项的系数为30，则a?（ ）

x??5A.3 B.?3 C.6 D-6

1??12.【2015高考上海，理11】在?1?x?2015?的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表x??示）．

10?1＋x?的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，1．（2014·安徽卷）设a≠0，n是大于1的自然数，?a?ai)(i＝0，1，2)的位置如图1-3所示，则a＝________.

n

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