《线性代数》科学出版社课后参考答案 李国王晓峰2012年七月第一版

第一章 矩阵与初等变换

1(3).

x1 3x4 4 x1 3x4 4 2x x x 0 2x x x 0 234234

3x 2x 1 3x 2x 12424 2x1 x2 4x3 5 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 3x4 4 7x 13x 6 7x 13x 6 3434 12x3 20x4 8 2x3 6x4 4 x2 4x3 6x4 3 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 3x4 4 7x 13x 6 8x 8 344 x3 3x4 2 x3 3x4 2 x2 6x4 5 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 1 x 1 x 1 4 2 x3 3x4 2 x3 1 x2 6x4 5 x4 1

2(2).

3 12 2

k114 2 3 12 2 3 12 k114 01 3k14 6k ,

2

当1

2(3).

32

k 0，即k 时方程组有唯一解. 23

k4 11k4 11k4 11

1215 011 k1 011 k1 , 0 31 k 3 002(1 k)0 1 211

当k 1时，方程组有无穷多解，此时方程组的增广矩阵经初等行变换可变成阶梯型矩阵

1114 0101 , 0000

进而经过初等行变换变成矩阵最简型

1013 0101 , 0000

相应的方程组为

x z 3

,

y 1

令z k, 则x k 3, 所以方程组的解为( k 3,1,k), 其中k为任意实数. 5(2).

8 412 7 2022 13 28

39 5 2830 39 5 2830 8 130 96100 13 28

, 5254 001 5254 001

对应的方程组为

x 3y 96w 100

,

z 52w 54

则

x 3y 96w 100

.

z 52w 54

令y k1, w k2, 则x 3k1 96k2 100, z 52k2 54所以, 方程组的解为

3k1 96k2 100, k1, 52k2 54, k2 ,

其中k1, k2为任意实数.

5(3).

21 1 1

2 42

112 2

1

1

21 111 11

21 1 11

22

42 222 22

1 1

21 111 2

00020 00

00000 00

1 1 2 00 00

对应的方程组为

00

12

1210

1 2 0 0

00

12

1 2 10 , 00

0

111 x y z

222, w 0

则

111

x y z

222 w 0

令y k1, z k2, 则x

111

k1 k2 , 所以, 方程组的解为 22211 1 k k , k, k, 01212 ,

22 2

其中k1, k2为任意实数.

6(1).

1 11 1 11 1 11 102 210 03 2 011 011

02 3 00 5 11 2 02 3

齐次线性方程组仅有零解.

7.

1

211 1211 1 1432 0643 0 2 2 3

0 6 21 0当 2时对应的线性方程组有唯一解.

9.

2 9 0( 2)2 9 1

1 2 1

2 0要使方程组有非零解, 须使 2

4 5 0, 即 1, 5.

211 643 , 0 24 2 2

4 5 ,

第二章 矩阵代数

3(2).

1 1 2 2 12 3 3 4 4

3(4).

2

4 6 8

101 1 1

42 3 312 1

031 02 1 1 17 3 1 8 1100 0

6.

证明: 1) 由于B1与B2都与A可交换, 则AB1 B1A, AB2 B2A, 所以,

A B1 B2 AB1 AB2 B1A B2A B1 B2 A, A B1B2 AB1 B2 B1 AB2 B1 B2A B1B2 A,

因此, B1 B2与B1B2都与A可交换.

2) 由于B与A可交换, 则AB BA, 所以,

ABk (AB)Bk 1 (BA)Bk 1 B(AB)Bk 2 B(BA)B

因此, B与A可交换. 7.

证明: 充分性: 设AB BA. 由于A与B都是对称矩阵, 则

k

k 2

B(AB)B

2k 3

BA,

k

AT A, BT B,

所以, (AB) BA BA AB, 由此可知AB是对称矩阵.

必要性: 设AB是对称矩阵. 由于A与B都是对称矩阵, 则

T

T

T

AT A, BT B,

所以, AB (AB) BA BA, 即AB BA.

8.

T

T

T

证明: 令

bij

aij aji

2

, cij

aij aji

2

,

则bij bji, cij cji, 所以B bij 是对称矩阵, 而C cij 为反对称矩阵. 又

aij bij cij, 则A B C, 即任意n阶方阵可以写成一个对称矩阵和一个反对称矩

阵的和.

9.

证明: 设n阶方阵B bij 与A可交换, 则

a1b11

abAB 221

anbn1

a1b12a2b22 anbn2

a1b1n b11a1b12a2 b1nan

baba ba a2b2n 2nn BA 211222,

anbnn baba bannn n11n22

所以, bijai bijaj, 由于ai aj(i j), 则bij 0(i j), 即B是对角矩阵.

10.

解: 由于

1 0AB

0 0

所以, A与B互为可逆矩阵.

12.

证明: 因为

000 100

BA,

010

001

A2 2A 4I A2 2A 3I I (A I)(A 3I) I 0,

所以, (A I)(A 3I) I. 又(A 3I)(A I) I, 因此, A I可逆, 且

(A I) 1 A 3I.

17.

证明: 充分性: 设B I. 由于A

2

1

(B I), 则 2

1111

A2 (B I)2 B2 2B I I 2B I (B I) A.

44421

必要性: 设A A. 由于A (B I), 则

2

2

111

A2 (B I)2 B2 2B I A (B I),

442

所以, B 2B I 2B 2I, 即B I.

18(1).

解: 由于

2

2

22 1100 1 24010

[A,I] 1 24010 22 1100

2001 2001 58 58

010 1 24010 1 24

06 91 20 06 91 20 311 018 180 51 009

1 24

3 06

2

001

101

010

113 0 01

632

111

001

399

1

9 1

, 6 1 9

0 1 0

3

111

399 1316

13

22

100 39

11

010 36 11 001 39

所以,

2 2

39 11

A 1

36 11 39

18(3).

解: 由于

1 9 1

. 6 1 9

10010 223100 1

[A,I] 1 10010 223100

121001 121001

0 1 10010 1 1001

0431 20 011011 011011 0431 20 101021 1001 4 3 011011 0101 5 3 00 11 6 4 00 11 6 4 4 3 1001 0101 5 3 , 4 001 16

所以,

1 4 3

A 1 1 5 3 .

164

19(2). 解一: 令

021

123 . A 2 13, B 2 31 33 4

02

A 2 1 B

33 12 2 3 10

3 1 42 3 1 1

1则

解二: 令

由于

0

2

2 1 A 33 I

10 01 00 10

3 1 42 03 01 1

21 1

2

0 1

0

3 12 72

4

3

3 3

3

11 3

3 4

321 4

3 41

1 1 32 1 52 0 10

0 10

0 10

0

2 10 0

10 0

10

3 0

2

21 0

01

0

01 0 1 1 21 1

2 1 1 ,

2 414 4

74 4

74 X 2 1 1

474

. A 021

123 2 13 , B 33 4

2 31 . 1 12

0 0

0 3 1 12 72

4 3

3 3

3

4

11 3

0 4

001 001

0 10 10

1

100 0

1 20

0 10

0 10

0 10

0

2 0

10 10 10

3

21

01

0

01

1 2

937

5 117

5117 ,

0 12 1

32 32

0

3

5 2 4

3

6 4

1

3 6 4

1

5117 A 1 132 ,

3 6 4

从而

5117

X BA 1

123 2 31 132 2 1 1 3 6 4

474 .

20.

解一: 原方程可写成(A 2I)X A, 由于

101

A 2I 1 10 ,

012

且

101301 10130[A 2I,A] 1 10110 0 1 1 21 012014 01201 101301 1005 0 1 1 21 1 0 10 001 223 4 001 2 1005

2 2 0104 3 2 , 223 001

则

5 2 2

X 4 3 2 .

223

1

1

4

2 2 32 23

解二: 原方程可写成(A 2I)X A, 由于

101

A 2I 1 10 ,

012

且

101100 101100

[A 2I,I] 1 10010 0 1 1 110

2001 2001 01 01

101100 1002 1 1 0 1 1 110 0 10 221 111 001 001 111 1002 1 1 0102 2 1 , 001 111

则

2 1 1

(A 2I) 1 2 2 1 ,

111

从而

2 1 1 301 5 2 2

X (A 2I) 1A 2 2 1 110 4 3 2 .

111 014 223

2 2

39 11 1

18(1). A

36 11 391

9 5117

2 1 1 1 1

19(2). A 13 2X 6 474 3 6 4 1 9

220. (A 2I) 1

2 1 1 1 5 2 1 X 24 311 22 2

2 3

第三章 行列式

1(1).

1234

1 4 2 3 2

(2).

aa22bb2

a b2 a b ab(b a)

2(1).

124 12

4031 0

31 1

31

142

2 2

2 2

8 (3).

abcbc

a a

ca

b

baccab

ab

cb

c

bca

a bc a2 b b2 ac c ab c2 3abc a3 b3 c3

3(1).

a1b1c1d1e1ae1a1c12b2c2d2eb1c1d12

ae23b3000 ( 1)5 1

ab2c2d25a0 ( 1)

5 2

ba2c25

a304b4000b300a0a4

05

b5

b4

00c1

d1e1c1 a5 ( 1)4 1b4c2

d2e2 b5 ( 1)4 1a4c2

00

0

4(2).

d1e1d2e20000d1e1d2e20

abbdbf

ac cdcf

ae ef

bb

c cc

e e

11

1 11

11 1

de adfbe abcdef1

111

abcdef0

4abcdef

(3).

02 abcdef20

0220

a2b2c

2

(a 1)2(b 1)2(c 1)

a

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2a2b2c2da2b2c

2

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

2

a2 b2c2d2

2

a2b2c2d2a c

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)21(a 2)1(c 2)

(a 3)2(b 3)2(c 3)2(d 3)2

2

d2(d 1)2

2

(d 2)2(d 3)2

(a 2)(c 2)

(a 3)(c 3)

(a 3)(c 3)

2

b2c

2

(b 2)2

2

(b 3)2

2

b21(b 2)2

2

2

(b 3)2

2

d2

a2 b2c

2

(d 2)2(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

(d 3)2a2

2a2b2c2d

4a4b4c4d

d21(d 2)2

(a 3)2(b 3)2(c 3)(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

2

(d 3)22a2b2c2d

4(a 3)24(b 3)24

(c 3)24(d 3)2

2a2b2c2d

a2 b2c2d2

b2c

2

d2d2(d 3)2(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

d2(d 3)2

a21a2

b21b2c

2

a214a

b214bc

2

a214(a 3)2

b214(b 3)2c2

14

(c 3)2

d214(d 3)2

1c

2

14c

d21d2

a2 b2c

2

(d 3)2a2 b2c

2

d214d46a46b4

6c46d

a2b2c

2

(d 3)22a2b2c2d

49494949

2a2b2c2d

4a24b24

c

2

2a2b2c2d

d24d2d2d2

a214aa2a214a6aa214a9

b214bb214b6bb214b9c

2

14cc

2

b2c

2

14c

6c

c2

14c

9 d214dd2d214d

6dd214d

9

0

a2(a 1)2(a 2)2(a 3)2a22a+14a 46a 9b2(b 1)2(b 2)2(b 3)2b22b+14b 46b 9c2(c 1)2(c 2)2(c 3)2

c22c+1

4c 4

6c 9

d2

(d 1)2

(d 2)2

(d 3)2

d22d+14d 46d 9a

2

2a+126

b22b+126c

2

2c+126 0

d2

2d+126

5(1).

22 40 20004 135 7 10

31 2 3

43 553 5534 8 3 2 4 8 3 2 10

52

5

12

21

12

1

1

0 2

7 10

10 5 2 (35 100) 2 135 270

22 40 22 40 22

404 1355

3 5531 2

03 5

11 7 4

103

222 14 8

2

5

12

0512

051 22

40 22

40

10

3

5

5

1 64204 18 8

10

200 20 10

2110

2

1

1

5 31

22

40 22 40

10

1 64200 20 10

01 6400 10 5

013 700

13

7 22

40 22 4

0

01 641 6400 10 5 000 1 41

00

3

120

3

12

22 4

0

01 6400 1 41 270

135

6(1).

1

n123 n2(n 1)23 n1

2234 12

n(n 1)34 1

3345 2 1

4 2n(n 1)45 2 1

2n(n 1)

n12

n 1 11

2

n(n 1)12 n 11

23 n1

11 1 n1

11 1 n

1

11 1

2

n(n 1)011 1 1

11 1

2

n(n 1)1

01 n1 1

n11

1

3 n4 15 2

2 n 1

111 1 n

1

n(n 1) 111 2

111

1

( 1)nn(n 1)0

2

111

11 1

100 n

1

n(n 1) 100 2

100 100

00 0

00 n00 00

1

n(n 1)1n 1

2 0 n(n 1)( 1)

2

n00

7(2).

证明: 用Dn记等式左边的行列式. 当n 1时,

D1

因此, 当n 1时等式成立.

abba

a2 b2 左边,

假设当n k时等式成立, 即Dk a b

2

2k

. 对于n k 1, 由于

a

ab

Dk 1 a

b0

ba

b0

a

a(2k 1) (2k 1)

0a

ab

( 1)1 2k 2b

bb

ba

b

a0(2k 1) (2k 1)

aDk ( 1)

7(3).

22k 3 2k 1 12

bDk a b Dk a b

2

2

2

2k 1

,

即等式当n k 1时也成立, 则由数学归纳法可知等式成立.

证明一: 用Dn记等式左边的行列式. 当n 1时,

D1 ;

当n 2时,

D2

133

, ( )2

因此, 当n 1和n 2时等式都成立.

假设当n k时等式都成立. 对于n k, 由于

1

Dk ( )Dk 1

0

00

00

00

00

1

(k 1) (k 1)

k k k 1 k 1

( )Dk 1 Dk 2 ( )

k 1 k k k 1 k k k 1 k 1

,

即n k时等式成立, 由数学归纳法可知等式成立.

证明二: 当n 1时,

D1 ;

当n 2时,

D2

133

, ( )2

当n 2时,

1

Dn ( )Dn 1

0

00

00

00

00

1

(n 1) (n 1)

( )Dn 1 Dn 2,

则

Dn Dn 1 Dn 1 Dn 2 ,

由此可得

Dn Dn 1 n.

同理可得

Dn Dn 1 n.

所以,

n n

Dn 1 ,

即

n 1 n 1

Dn .

8. A11

11

1 20

1 A12 33

112

0 2

2 A13 3

1 10

1

1

2

A21

1 2

3 A22

0 22311

4 A23 1 A33

20010

A31

11

3 A32

2

1 1

2

20

01

31 5 2

A 1 1

133 A 2 41

1 2 2 133 1

A 1 2 41

5

1 2 2

9.

解: 由于AA det(A)I, 则det(A)det(A) det(A), 所以,

3

det(A ) det(A)2

另外, 由于(3A)

1

. 4

1 1

A AA 1 I, 所以, 3

112

(3A) 1 A 1 A A ,

33det(A)3

则

6416 2 4

det (3A) 1 2A det A 2A det A det A .

2727 3 3

12(1). |A| 27 A1 81 A2 108 A3 135

x1

A1AA 3, x2 4,x 53

|A||A||A|

1 9 1

A 1

27 8 27

14.

2

911277 27

0 2 3 1 3

解: 由于齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为

|A| 1

1

12 11

1

01

1

1

1

1

1

( 1),

要使原齐次线性方程组有非零解, 须使|A| 0, 即 0, 或 1. 所以, 当 0, 或 1时, 原齐次线性方程组有非零解.

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