若干基于Libor及Shibor理财产品的数学模型及定价分析

同济大学理学院

硕士学位论文

若干基于Libor及Shibor理财产品的数学模型及定价分析

姓名：刘畅

申请学位级别：硕士

专业：计算数学

指导教师：徐承龙

20080301

摘要

摘要

利率作为金融学重要指标之一，其数学模型自然成为金融数学的重点研究对象。随着各国银行间同业拆借利率的出现，尤其２００７年诞生在我国的上海银行间同业拆借利率，极大地推动了利率衍生产品市场的发展，并为规避利率风险提供了对冲工具。在这种情形下，本文首先简要介绍多种利率模型，进而较系统地介绍了伦敦银行间同业拆借利率市场模型（ＬＦＭ）和相关参数确定方法，即本文第一、二章，为前人所做工作的总结。

本文第三章，主要研究了当前国内市场发行的两种远期利率衍生物，建立数学模型，并根据模型的特点，列出计算流程。在第四章分别应用蒙特卡罗方法中的Ｅｕｌｅｒ方法和改进Ｅｕｌｅｒ方法对模型进行求解，再利用图表对计算结果进行详细比较，数值结果显示后一种方法得到的结果确实收敛速度较快。最后对不同初值的计算结果进行比较。关键词：伦敦银行间同业拆借利率蒙特卡罗方法Ｉｔｏ公式欧拉方法

Ａｂｓｔｒａｃｔ

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

ＡｓｔｈｅｉｎｔｅｒｅｓｔｉＳａｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｄｉｃａｔｏｒｉｎｆｍａｎｃｅ，ｉｔｓｍａｔｈｍｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｎｏｒｍａｌｌｙｂｅｃｏｍｅｓｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇｏｂｊｅｃｔｉｎｆｉｎａｎｃｉａｌｍａｔｈｓ．ＡｎｄｔｈｅＬｉｂｏｒａｌｓｏＳｈｉｂｏｒｉｎ０１１１＂ｃｏｕｎｔｒｙ，ｆｕｒｔｈｅｒｄｅｖｅｌｏｐｔｈｅｍａｒｋｅｔｏｆｆｏｒｗａｒｄｉｎｔｅｒｅｓｔｄｅｒｉｖｅｒｔｉｖｅｓａｎｄｐｒｏｖｉｄｅａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｈｅｄｇｉｎｇｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｔＯａｖｏｉｄｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｒｉｓｋ．Ｉｎｔｈｉｓｓｉｔｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｆｉｒｓｔｃｏｍｅｓｔｏｖａｒｉｏｕｓｉｎｔｅｒｅｓｔｍｏｄｅｌｓｆｒｏｍｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇｈｉｓｔｏｒｙ．ＴｈｅｎｉｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅＬｉｂｏｒｍａｒｋｅｔｍｏｄｅｌｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ，ａｌｓｏｉｔｄｅａｌｓｗｉｔｈｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒｔｈｅｍｏｄｅｌ．１１１ｅｐａｒｔａｂｏｖｅｉｓｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔａｎｄｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒ，ａｎｄｍｏｓｔｏｆｔｈｅｍａｒｅｔｈｅｓｕｍｍａｒｙｏｆｏｔｈｅｒｓ’ｗｏｒｋ．

Ｓｉｎｃｅｔｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒ，ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｉｓｍａｉｎｌｙｏｎｔｈｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔｏｆｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｆｏｒｗａｒｄｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｄｅｒｉｖｅｒｔｉｖｅｓｉｎｎａｔｉｏｎａｌｍａｒｋｅｔ．ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏＬＦＭ，ｗｅｇｅｔｔｈｅｍｏｄｅｌｓｆｏｒｂｏｔｌｌｐｒｏｄｕｃｔｓ，ａｎｄ

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ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＬｉｂｏｒＭｏｎｔｅ—ＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄＩｔｏｆｏｒｍｕｌａＥｕｌｅｒｍｅｔｈｏｄ

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第１章引言

１．１利率模型的研究意义

在华尔街，曾经有一群人每天观察格林斯潘的公文包，以了解他是否要动用联储的货币政策来调控经济。他的公文包里承载着美国经济的未来，而这种货币政策就是调息。他曾经多次采用这种策略来刺激美国经济的发展，到了伯南克时代，这位学者型联储主席同样采用这种策略，来度过次级债危机，人们评价他是打开潘多拉魔盒的那个始作俑者。可以看到，利率政策的变化不仅影响了美联储，同时影响了整个华尔街。在国内，一年内几次升息，直接间接地影响着股市、楼市甚至老百姓家里的柴米油盐。

可以说，利率是金融甚至整个世界经济发展的重要衡量指标，它不仅支配了，整个国家的宏观经济，同时支配了我们个人的钱包。利率是指金钱的时间价值，目前很多人有房屋或其他贷款，利率上升时，如果收入没有增加，支出就要增加。而消费需求下降及借款成本上升，又会使企业盈利下降，进而可能裁减人员并导致失业率上升。所以中央银行的紧缩或宽松政策，都会对经济景气造成影响。最极端的例子是美国央行在过去两年多连续升息１７次，联邦基本利率由１％上升到８月初的５．２５％，堪称货币政策的经典之作。

利率对投资估值也很关键。无风险利率（如国债利率）可评估价格是否合理。例如现在ｌＯ年期国债利率约３％，而有１家公司股价为３３元，每股每年获利１．０元，哪种投资更合算？让我们算一笔账：假使该公司以后每年稳赚１．０元，则买股票的年盈利收益率为１．０元以３元－３％，盈利收益率与国债利率相同，那么有什么必要买股票，还要承担股票价格波动的风险呢？所以利率水平高低会决定股市的市盈率水平。例如当国债利率为３％时，加上２％的风险补偿，股市应该有５％的盈利收益率，即２０倍（１／５＊／＇，＝２０）的市盈率才算合理。而当国债利率上升到５％时，加上２％的风险补偿，股市需要有７％的盈利收益率，这时股市的市盈率应该大致下跌到１４倍（１／７％＝１４．３）左右才值得投资，否则就比较贵了。反之如果利率下跌，市盈率应该提高。到了２０世纪７０年代，利率的不确定性开始逐渐加剧，以致越来越多的金融

机构不愿对长期利率作出固定承诺。到了８０年代，浮动利率已经被广泛应用于借贷领域，其结果使得贷方更能控制其利率风险，并将其转嫁给借方。

这样利率模型自然成为金融学、金融工程、金融数学研究的主要课题之一。利率理论有着十分悠久的历史，它早于货币经济理论，甚至早于纯粹货币理论的产生。古典利率理论，由亚当斯密开始，而这种研究多为经济分析，不涉及复杂的数学模型。到了近代，学者们利用数学中的利器——随机分析揭开了利叫，ｉｂｏｒ（伦敦银行间同业拆借利率）上来，下一节将具体介绍这种模型的发展及种类。

研究Ｌｉｂｏｒ模型的另一层意义在于，２００７年诞生于上海的Ｓｈｉｂｏｒ（上海银行间拆借利率）。作为国内首个基准利率，它的产生代表着我国金融体系的趋于完善。市场基准利率是指一国的利率体系中能够真实反映资金成本和供求状况，且其变动必然引起利率体系中其他利率相应变动的利率。它是货币政策价格调控的基础，是货币政策传导和连接中央银行、金融市场、金融机构和企业居民的纽带，是金融产品的参照系，是存贷款利率实现全面市场化的先决条件。例如：欧元同业市场的Ｅｕｒｉｂｏｒ以及亚洲货币市场发挥定价参考作用的香港Ｈｉｂｏｒ、新加坡Ｓｉｂｏｒ与台湾Ｔａｉｂｏｒ等。我们的Ｓｈｉｂｏｒ和这些基准利率一样具有以下几个特点：

（１）通过报价制形成的；

（２）交易量不是选择基准利率的主要依据；

（３）都是由隔夜至１年期的各档次利率组成的利率体系，而非交易量最大的某一档利率；

（４）拆出利率报价应用比较广泛；

（５）报价银行团由信用等级高、交易规模较大、定价能力较强的一流银行组成；

（６）在各行报价基础上，剔除一定比例最高、最低的报价部分，对剩余的报价进行简单算术平均；

（７）由央行或银行业协会委托指定机构计算并按时对外公布。

我国基准利率的产生是商业银行内外定价的需要、是推动利率市场化改革的需要、是货币政策调控的需要。而就其上述几个特点可以看到，基准利率的产生具备一定的随机性，没有严密的数学背景作为支撑。国内对浮动利率数学模率尤其是浮动利率的神秘面纱。利率模型的研究也重点转向对常见的浮动利率

型的研究几乎就是空白，国外的研究进行了很多年，但可以找到的资料少之又少。

我们可以借鉴的是国际上研究Ｌｉｂｏｒ及其衍生产品的方法，将其应用于Ｓｈｉｂｏｒ的研究上去，为其建立严密的数学基础，以推进其更快更好的发展。各个银行对Ｓｈｉｂｏｒ的报价，应该基于Ｓｈｉｂｏｒ模型而不仅仅是简单的统计。这样，才能使基准利率在我国有良好的发展前景，使得Ｓｈｉｂｏｒ及其衍生产品迅速走入金融人士的视线，稳定国内利率市场。文章的后面将会详细介绍Ｌｉｂｏｒ模型的发展以及成果，并将其应用于对Ｓｈｉｂｏｒ衍生产品的定价中去，希望可以为基准利率的深远研究起到一定的推动作用。

１．２利率模型的种类及发展

利率模型发展了很多年，由于利率对于各种金融产品的研究定价具有基础作用，对利率研究不断进步，则历史上利率模型也多种多样。其中远期利率的定义为：令今天的时间ｆ０＝０，ｆ（Ｏ，ｆ）表示站在今天角度观测的ｆ时刻（ｒ＞０）的利率，则ｆ（Ｏ，ｒ）称为远期利率。而当ｆ趋近于０时，即得到短期利率。

目前市场上比较流行的利率模型主要有下面几类：

１．２．１均衡模型

均衡模型是在真实世界测度下建立的模型，考虑了市场参与者的风险偏好、投资机会、风险价格等因素，假设瞬时利率遵循的随机过程，由市场出清的条件推导出均衡的利率期限结构。此类模型依状态变量的多寡分为单因子模型以及多因子模型。

１．２．１．１单因子模型（Ｓｉｎｇｌｅ．ｆａｃｔｏｒｍｏｄｅｌｓ）

（１）Ｍｅｒｔｏｎ（１９７３）

ｄｒ（ｔ）＝＂ｄｔ＋仃ｄｚ

其中”和盯为常数。其缺陷为：假设利率的随机过程与股价的随机过程相同并不合理，因为利率的波动具有明显的均值回归的特征，即长期而言，利率会趋向长期利率的平均值，但股价没有这种趋势。此外在上述模型中，利率可能

出现负值，与实际情况不符。（详见参考文献【１】）

（２）Ｖａｓｉｃｅｋ（１９７７）

ｄｒ＝口（６一，．）ｄｆ＋ｏｒｄｚ

这个模型体现了利率的均值回归性质。假设瞬时利率于风险中性概率测度下，ａ为均值回归调整速度，ｂ为瞬时利率的平均值，ｏｒ为瞬时利率的标准差。上述三值都为正常数。该模型采用Ｏｍｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程，也称为弹性的随机游走。其为稳态分布，瞬时趋势项ａ（ｂ—ｒ）表示瞬时利率将以ａ的调整速度趋向长期平均值，此性质使短期利率动态过程表现出均值回归。然而，由于这里厂（ｆ）服从正态分布，利率可能出现负值。（详见参考文献［２】）

（３）Ｃｏｘ、Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ和Ｒｏｓｓ（１９８５）

ｄｒ＝ａ（ｂ一，）衍＋ｏｒ～／ｒｄｚ

假设风险价格为常数来实现无套利机会，该假设隐含了利率模型本身与个人偏好无关。ＣＩＲ舍弃了部分均衡的观念，从一般均衡的角度，把消费者偏好、生产过程、个人投资以及消费行为等当作模型的输入变量，消除了不完全市场的套利机会。同时解决了Ｖａｓｉｃｅｋ设定的瞬时利率的随机过程服从正态分布，从而可能导致利率呈现负值的问题。其经济含义为，利率增长时其波动率也随之增长。（详见参考文献【３】）

１．２．１．２多因子模型

（１）Ｂｒｅｎｎａｎ和Ｓｃｈｗａｒｔｚ（１９７９）

ｄｒ＝届（，．，１）ｄｔ＋（１（ｒ，，）奶

ｄｌ＝压（，，１）ｄｔ＋岛（，．，，）奶

此模型假设期初的长期利率隐含了对未来即期利率的预期，因此模型中的状态变量为瞬时利率，．与长期利率，。其中，血也＝触，Ｐ为长期利率与瞬时利率的相关系数，模型通过有限差分方法可以求解。另外，该模型也具有利率不

为负以及瞬时利率向长期利率回归的特性。（详见参考文献【４】）

（２）Ｌｏｎｇｓｔａｆｆ和Ｓｃｈｗａｒｔｚ（１９９２）

认为衍生证券的价值应同时反映期初利率与波动率水准。承袭了ＣＩＲ模型，将产出报酬和产出的变异转换成可以观测的因子，也即瞬时利率和瞬时利率的波动率。（详见参考文献【５】）

１．２．２无套利模型

无套利模型强调在风险中性概率测度下进行模型的建构。均衡模型是通过假设瞬时利率的随机过程，并且在无套利机会的条件下来确定零息债券的价格，无套利模型则不需要估计或假设瞬时利率的风险价格。此类模型容许模型内的部分参数随时间而改变，并且将市场所观察到的利率期限结构当作输入变量，模型中相关参数或变量的设定不得使利率期限结构的动态变化过程出现套利机会。

１．Ｈｏ．Ｌｅｅ模型（１９８６）

ｄｒ＝ｕ（Ｏｄｔ＋ｔｒｄｚ

该模型视期初的利率期限结构为输入变量，以二项分布结构推导出利率期限结构的动态变化，其均值与时间相关。确保模型与期初利率期限结构一致。（详见参考文献【６】）

２．ＯｒｉｇｉｎａｌＳａｌｍｏｎＢｒｏｔｈｅｒｓ模型（Ｋｏｐｐｒａｓｃｈｅｔａ１．，１９８７）

ｄｌｎｒ＝ｕ（ｔ）ｄｔ＋ａｄｚ

上一模型假设瞬时利率的概率分布为正态分布，则利率可能会变为负值，与实际利率经验不符；而且模型假设利率的波动率为常数也与经验不符，为了避免上述缺点，Ｓａｌｍｏｎ模型假设瞬时利率的概率分布为对数正态分布，得到此模型。（详见参考文献【７】）

３．ＢＤＴ模型（Ｂｌａｃｋ、Ｄｅｒｍａｎ和Ｔｏｙ，１９９０）

ｄｌｎｒ＝（Ｏ（ｔ）－＃（ｔ）Ｉｎｒ）ｄｔ＋ｏ＇（ｔ）ｄｚ

假设瞬时利率的概率分布为对数正态分布，这样利率。模型中除了包含期初利率期限结构的信息，也将波动率利率期限结构视为输入变量。此时利率的动

≯（ｆ）：——

态变化具有均值回归性，其中均值调整速度一’

回归的平均水平。（详见参考文献【８】）

４．Ｂｌａｃｋ和Ｋａｒａｓｉｎｋａｉ模型（１９９１）

ｄｌｎｒ＝事５ｌ（ｔ）（１ｎｕ（ｔ）－Ｉｎｒ）ｄｔ＋ａ（ｔ）ｄｚ矽（，）／ｏｒ（ｔ）Ｏｃｒ（ｔ）／Ｏｔ，而／≯（ｒ）为均数

ＢＤＴ模型通过纳入波动率期限结构使得利率的动态变化具有均值回归的特征。但会造成不当的拟合均值回归与未来短期利率的波动率，以致定价时的偏差。因此，本模型纳入利率上限曲线，并允许时间间隔长度为时间的函数。其中≯（，）为均值调整速度，“Ｏ）为瞬时利率的平均值。（详见参考文献【９】）

５．Ｈｕｌｌ和Ｗｈｉｔｅ模型（１９９０，１９９４ａ）

ｄｒ＝（Ｏ（ｔ）－ａ（ｔ）（ｂ－ｒ））ｄｔ＋ｃｒ（ｔ）ｒ，ｄｚ

本模型是对Ｖａｓｉｃｅｋ模型和ＣＩＲ模型的延展，参数设定由市场数据确定，几乎可以涵盖所有无套利单因子模型。（详见参考文献汐ｐ

６．ＨＪＭ模型（Ｈｅａｔｈ、Ｊａｒｒｏｗ和Ｍｏｒｔｏｎ，１９９０，１９９２）

ｄｆ（ｔ，丁）＝口ｏ，Ｔ）ｄｔ＋∑ｏ－，（ｔ，丁）也

ＨＪＭ模型是一种Ｎ因子连续模型，以外生方式指定远期利率的波动，而利率的期限结构是远期利率的函数。输入变量不容易得到，而且计算量较大。（详见参考文献【１０】和参考文献【１１】）

１．２．３ＬＦＭ模型

Ｌｉｂｏｒ作为一种特别的远期利率，产生于伦敦。根据银监会对Ｌｉｂｏｒ的定义：Ｌｉｂｏｒ（ＬｏｎｄｏｎＩｎｔｅｒｂａｎｋＯｆｆｅｒｅｄＲａｔｅ），即伦敦同业拆借利率，是指伦敦的第一流银行之间短期资金借贷的利率，是国际金融市场中大多数浮动利率的基础利率。作为银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本，贷款协议中议定的ＬＩＢＯＲ通常是由几家指定的参考银行，在规定的时间（一般是伦敦时间上午１１：００）报价的平均利率。最经常使用的是３个月和６个月的Ｌｉｂｏｒ。

下面公式中，最Ｏ）代表‘和气＋，之间的Ｌｉｂｏｒ，瓯代表气和气＋。之间的时间间

第ｌ章引言

隔，成。ｆ代表相关系数，ｉｌｉｉｃｒ，（ｔ）代表最（，）的波动率。“＜ｒ≤‘＜气：峨（，）＝ｏｋ（ｒ）Ｅ∞毫争皆＋ｏｋ（ＤＥ∽皿∽

ｆ＝七，＆一ｌ＜｜Ｌ≤气：ｄ吒（，）＝ｔｒｋ（ｔ）Ｆｋ（ｔ）ｄＺｋ（ｔ）

利用鞅测度变换原理和Ｉｔ０公式得到，为时下通用的研究Ｌｉｂｏｒ及其衍生产品的模型。ＬＦＭ（ＬｉｂｏｒＭａｒｋｅｔＭｏｄｅｌ），由Ｂｒａｃｅ，Ｇａｔａｒｅｋ，Ｍｕｓｉｅｌａ（１９９７）、Ｊａｍｓｈｉｄｉａｌｌ（１９９７）、以及Ｍｉｌｔｅｒｓｅｎ，Ｓａｎｄｍａｎｎ，Ｓｏｎｄｅｒｍａｎｎ（１９９７）引入并发展而成。这个模型作为Ｈｅａｔｈ，Ｊａｒｒｏｗ，Ｍｏｒｔｏｎ（ＨＪＭ）（１９９２）模型的延展，描述了远期Ｌｉｂｏｒ的走势，并突破了ＨＪＭ模型的一些技术上的问题。其研究目前几乎都是运用蒙特卡罗方法求解，也有少数研究者运用随机二叉树的方法求解。此模型为本文研究的基础，将于第二章详细介绍。

１．３利率衍生产品的种类及其研究方法

１．３．１利率衍生产品的种类

期货是最早引入以帮助企业控制利率风险的金融工具。基于美元的利率期货合同最早在ＣｈｉｃａｇｏＢｏａｒｄｏｆＴｒａｄｅ（ＣＢＯＴ）和ＣｈｉｃａｇｏＭｅｒｃａｎｔｉｌｅＥｘｃｈａｎｇｅ（ＣＭＥ）被引入。利率互换最早在１９８２年出现；１９８３年，出现了远期利率协议（ＦＲＡｓ）。

利率衍生产品就是这类价值依赖于利率变动的金融产品的总称，在国内，近两年的可赎回债券、外汇理财产品、人民币理财产品大多为利率衍生产品。目前的主要品种有：

＞远期利率协议（ＦＲＡ）：指合约双方同意在未来某日期按事先约定的利率

借贷的合约；

＞利率期货：以固定收益工具或利率为基础资产的期货；

＞利率互换（Ｓｗａｐ）：双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样

的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而另一方的现金流根据固定利率计算。（不交换本金）；

＞利率上限（Ｃａｐ）：交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率

第１章引言

上限的卖方向买方承诺，在规定的期限内，如果市场参考利率高于协定利率上限，则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或等于协定利率上限，卖方无任何支付义务。作为补偿，买方支付一定数额手续费；

＞利率下限（Ｆｌｏｏｒ）：交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利

率上限的卖方向买方承诺，在规定的期限内，如果市场参考利率低于协定利率下限，则卖方向买方支付市场利率低于协定利率下限的差额部分；如果市场利率高于或等于协定利率下限，则卖方无任何支付义务。作为补偿，买方支付一定数额手续费；

＞利率双限（Ｃｏｌｌａｒ）：将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用；＞互换期权（Ｓｗａｐｔｉｏｎｓ）：是基于利率互换的期权，给予持有者一个在未

来某个确定时间进行某个确定的利率互换的权利。

１．３．２主要利率衍生产品的研究方法

目前，对于利率衍生产品除了第二章将介绍的ＬＦＭ（ＬｉｂｏｒＭａｒｋｅｔＭｏｄｅｌ）和ＬＳＭ（ＳｗａｐＭａｒｋｅｔＭｏｄｅｌ），其研究方法主要是利用等价鞅测度定理并套用Ｂ．Ｓ公式得到衍生产品的价格。市场上交易最活跃的利率衍生产品即为，利率上限（下限）和欧式互换期权。下面其给出简要的计算方法以及相应的结果，详细推导过程见参考文献［１２】。

１．利翠上限（Ｆ限）期权

利率上限（下限）期权是Ｌｉｂｏｒ远期利率的看涨（看跌）期权，考虑面值为Ｍ，敲定价为Ｋ的ｎ期远期期权，作为利率上限，其价格记为Ｃ（乙，Ｋ），期权的到期支付额为Ｍ暖（厶（７：１）一Ｋ）＋，则其价值计算如下：

黑划“（譬袋）：Ｍ矿 （ｍａｘ｛Ｌ。（Ｔｎ）一Ｋ，ｏ））￡＋。（Ｏ）、只＋。（乙＋，）７７“

假设厶服从对数正态分布，则可以套用Ｂ—Ｓ公式，得到如下结果：（ｊ≯（ｏ）＝＾彳瓯厶。（ｏ）（厶（ｏ）Ⅳ（盔）一ＫⅣ（攻））

４＝半

‘第１章引言～’畋：竖鳖竽盟：羁一盯厄盯√瓦１

其中，４＝巧＋。一互，厶（ ）为远期利率，￡（ ）零息票债券在掌时刻价值。同理可得利率下限的表达式：

《撇（ｏ）＝膨瓯只＋ｌ（０）（ＫＮ（－ａ０－Ｌ．（０）Ｎ（－ｄ，））碣＝警１７＂

，“。

畋：堑鳖笋盟：盔一仃厄Ｏ－、／』”

２．互换（Ｓｗａｐ）

考虑一个远期利率互换，本金为１，两方同意在日期｛乙小￡柑…，￡埘）以浮动利率｛厶（ｆ），厶＋，（ｆ），…，厶＋ｍ－１（ｆ））换得固定利率最，。（ｆ），则此固定利率可以由下式表示：

最朋Ｏ）＝卫＿ｒ———一＝寺型二业∑瓯＋川￡＋．，（ｆ）∑瓯＋一只＋，（ｒ）

３．互换期权（Ｓｗａｐｔｉｏｎ）

互换期权是互换利率的看涨期权，考虑面值为Ｍ，敲定价为Ｋ的互换期权，其价格记为Ｓｗａｐ．，。（乙，Ｋ），期权的到期支付额为Ｍ瓯（最，。（乙）一Ｋ）＋，则其价值计算如下：ｓ（，ｎ：薹兰：：：！兰：：！：！兰：：：：！！：墨！垒二墨±翌！尘

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Ｊ－１）＝ＭＥ斛１（ｍａｘ｛Ｓ，。。（乙）一Ｋ，０＞）∑曩川￡＋Ｊ（厶）

假设厶服从对数正态分布，则可以套用Ｂ—Ｓ公式，得到如下结果：

第１章引言

西：垫！竺掣ａ４ｔ．跏叼≯（ｏ）＝Ｍ（善瓦州只＋Ｊ（ｏ））（最，ｍ（ｏ）Ⅳ（４）一删（畋））

ｄ：－ｗ“。ｚ—ｏ塑：呸一盯厩，／７－ｖＶ 打

其中，最＝ｔ。一ｔ，鼠．（幸）为互换利率，ｅ（枣）零息票债券在宰时刻价值。１．４本文的主要研究内容与章节构架

第一章为引言部分，论文简单阐述了利率模型的发展历史，并对利率衍生产品进行简单的叙述。具体介绍国际上比较流行的十二种利率模型，并对其各自的优缺点进行比较。为下文详细介绍伦敦银行同业拆借利率市场模型（ＬＦＭ）做出必要的铺垫。

第二章详细介绍了伦敦银行同业拆借利率市场模型（ＬＦＭ），包括模型的具体推导过程，根据随机分析原理和Ｉｔｏ公式，得到最终的模型。接下来，对模型涉及的参数的计算方法，由于本文不是实证研究，没有对其进行数理统计的研究，在下文的介绍中也直接把参数作为已知条件来引用。

第三章介绍两个具体的模型，一个是上海银行在去年推出的有关上海银行间同业拆借利率的衍生产品，另外一个是工商银行汇财通Ｂ款（区间型Ｌｉｂｏｒ衍生产品）。主要采用伦敦银行间同业拆借利率市场模型模拟远期利率，并最后采用蒙特卡罗模拟来求解。

第四章首先介绍蒙特卡罗方法，接下来对模型一（Ｓｈｉｂｏｒ模型）进行Ｅｕｌｅｒ方法和改进Ｅｕｌｅｒ方法的数值模拟，并对两种方法得到的结果进行比较。对于模型二（Ｌｉｂｏｒ区间型产品）进行Ｅｕｌｅｒ方法的蒙特卡罗模拟，并对不同初值得到的结果进行比较。

第２章Ｌｉｂｏｒ市场模型（ＬＦＭ）简介

２．１ＬＦＭ的由来

自从１９８１年第一个利率互换交易以来，利率衍生品市场发展得极为迅速，产品交易的数量和复杂程度都在增长。因此，利率衍生物建模和定价领域成为研究者以及实际交易者争先进入的一个领域。

而利率衍生品的定价离不开对利率模型的研究，尤其远期浮动利率模型。因为无论是利率上限（下限）还是互换的定价，都离不开对其基础资产——利率使用的利率模型．Ｉ，ＦＭ（Ｌｉｂｏｒ市场模型），此模型由Ｂｒａｃｅ，Ｇａｔａｒｅｋ，Ｍｕｓｉｅｌａ（１９９７）以及Ｍｉｌｔｅｒｓｅｎ，Ｓａｎｄｍａｎｎ，Ｓｏｎｄｅｒｍａｎｎ（１９９７）建立。与其他传统模型相比，Ｌｉｂｏｒ市场模型具有几个优点：第一，它与Ｂｌａｃｋ公式匹配的很好，这样隐含波动率可以很容易得到，避免了其他模型必须数值拟合过程；第二，市场模型基于观察到的市场利率，例如Ｌｉｂｏｒ和互换利率，因此不需要用瞬时利率或远期利率来对利率上限（下限）以及互换进行定价或者对冲。

就像ＨＪＭ模型一样，Ｌｉｂｏｒ市场模型基本上是应用蒙特卡罗模拟来求解。值得庆幸的是，随着Ｌｉｂｏｒ市场模型的发展，一些新的蒙特卡罗方法中的数值解法的产生，推动了模型的发展。的分布以及市场数据拟合的研究。最近利率模型的突破性发展产生了现今广为

２．２ＬＦＭ的推导过程

２．２．１符号说明

１．ｔｏ＝０，＾，ｔ２，…：为市场上交易的利率上限的重置日期（以年为单位时间），在美国最流行的利率上限为每季重置；

２．瓯＝ｔｋ“－ｔｋ：为时间间隔，一般为一常数；

３．ｍ（ｔ）：表示ｆ时刻后的第一个重置时间，即ｒｅ（ｔ）为最小的正整数使得

｜ｌ≤乙（ｔ）；

４．Ｅ（ｆ）：在时间‘和气¨间的Ｌｉｂｏｒ远期利率，ｆ为观察时点；

５．ｅ（ｔ，气）：ｔｋ为到期日的零息票债券在ｆ时刻的价值，根据远期利率定义可以得到下式１＋ａｔＦＡｔ）＝瓦ｅ（ｔ丽，ｔＤ；

６．吼（ｆ）：Ｅ（，）在ｒ时刻的波动率；

７．屹（ｆ）：尸Ｏ，ｔｋ）在，时刻的波动率；

８．互Ｏ）：标准布朗运动符号。

２．２．２ＬＦＭ模型

１．Ｆｋ（ｔ）的基本模型，利用等价鞅测度定理证明（定理的具体推理过程详见附录Ａ，下面对Ｌｉｂｏｒ市场模型的证明直接引用此定理）

等价鞅测度定理：ｆ，ｇ为基于同一不确定因素的可交换债券的价格，令秒：』，则口可以看作／相对于ｇ的价格，也就是说不以货币作为计价单位

ｇ

（ｎｕｍｅｒａｉｒｅ），而以ｇ作为计价单位。则口是一个鞅。

基本模型：以Ｐ（ｔ，‘＋。）作为计价单位可以得到最Ｏ）为鞅。即丘Ｏ）满足下式：

ａＳ（ｔ）＝吒（，）Ｅ（ｔ）ｄＺｋ（ｔ）

其证明过程如下：

应用等价鞅测度定理，由尸Ｏ，气）和Ｅ（ｆ）的关系可以得到（２．１）

啪，＝瓦１鼍畿产眨２）

令定理中ｆ＝÷（尸（ｆ，ｔｋ）－－Ｐ（ｔ，气＋。”，ｇ＝尸（，，＆＋１），由（２．２）式可以得出定哝

理中ｐ２舌。鱼——瓦矿２，÷（尸（，，，。）一Ｐ（ｔ，０１））Ｅ，应用等价鞅测度定理可知最ｏ）以ｇ＝Ｐ（ｔ，气＋。）计价单位计算为鞅，也就是说（２．１）式成立。

ｔｇｏＰＥ（ｔ）＝最（ｏ）ｅｘｐ｛一告ｆ吒（ｓ）２凼＋ｆ吼ｏⅪ乙（ｓ））

２．ＥＯ）的一般模型，利用鞅测度变换定理（定理的具体推理过程详见附录Ａ，下面对Ｌｉｂｏｒ市场模型的证明直接引用此定理）

滚动远期风险中性世界（ｒｏｌｌｉｎｇｆｏｒｗａｒｄｒｉｓｋ－ｎｅｕｔｒａｌｗｏｒｌｄ）：对于任一在下一重置时刻到期债券，一直具有远期风险中性的特征。

鞅测度变换定理：在滚动远期风险中性世界里，假设厂，ｇ，ｈ为基于同一不确定因素的符合对数正态分布的金融产品的价格，则厂相对于计价单位ｇ的价格变到．厂相对于计价单位ｈ的价格，变化的期望增长为（％一％）町，即Ｅ（ｆ／ｈ—ｆ／ｇ）＝（ｏｈ一％）町。

一般模型：以Ｐ（ｔ，‘＋。）作为计价单位可以得到Ｅ（ｆ）的表达式女ｎ－Ｆ－鬻＝，妾，锴１

Ｅ（，），筑）＋４鼻（ｆ）扒啪胤Ｄ“７“７旺３）

证明过程如下：

在本模型中’令定理中／咧垆瓦１等蒙笋，贝Ｕ吁嘶

令ｇ＝尸ｏ，气＋ ），＾＝Ｐ（Ｌ乙（。）下面用技巧化简％一％，对１＋瓯Ｅ（，）＝瓦Ｐ瓦（ｔ，五ｔｉ）两边同时推对数得

ｌｎ（Ｐ（ｔ，气））一ｌｎ（Ｐ（ｔ，＆“））＝ｈｌ（１＋瓯ＥＯ））

利用Ｉｔｏ引理，使ｄＺ（ｔ）项前面系数相等，得到

删飞－护篙鬻

将ｋ累加则可以得到

第２章Ｌｉｂｏｒ市场模型（ＬＦ】Ｉｆ）

Ｊ…ｊ４吒一旷，妾，篙搿Ｊ＝册Ｉｒｆ＼’，

带入厂＝Ｅ在计价单位ｇ＝Ｐ（ｔ，ｔｋ＋。）下的公式即上文（２．１）式，得到最终的Ｌｉｂｏｒ市场模型鬻＝。妾，篙ｄｔ州崛∽

Ｅ（，）ｔ舄）１＋４Ｅ（ｆ）”７”７

■．ｒ‘，，』’，Ｖ，，３．带相关系数的远期利率模型不同远期利率的唯一扰动就是相关系数：Ｂ，。ｄｔ＝ｄＺｅ（ｔ）ｄＺｋ（ｔ）＝ｄ（ｚＩ，互），这样，远期利率模型另外一种写法为ａｆｔ（沪ｏｋ（蝴）／圭ｆｆｉＡ＋ｌ哗东挚删眦胤ｆ）（２．４）

下面对这个方程进行简单的证明

考虑远期利率Ｅ（ｆ）＝Ｅ（ｆ，瓦．．，瓦），期望得到Ｑ‘测度下的方程，根据基本模型可知Ｅ（ｒ）在纱测度下的方程的漂移项为０，应用定理，类似鞅测度变换定理这里不再详细证明（Ｘ在不同测度Ｓ，Ｕ下的漂移项之差满足下面的公式：朋ｙｄｔ＝ｍＳｄｔ一（ｄＩｎ（置））（ｄＩｎ（Ｓ／Ｕ，）））。

令Ｘ＝Ｅ（ｆ）＝疋（ｆ，瓦－．，瓦），Ｓ＝Ｐ（ｔ，瓦），Ｕ＝Ｐ（ｔ，Ｚ），根据定理可以得到耐ｄｔ＝ｍｋｄｔ－（ｄｌｎ（Ｘ））（ｄ坂Ｐ（ｔ，Ｔｋ）／Ｐ（ｔ，Ｚ））），由于在测度Ｓ＝Ｐ（ｔ，瓦）下，Ｘ＝Ｅ（ｆ）是一个鞅，则有砖＝０，化简上式得到

２．３ＬＦＭ的参数研究

２．３．１ＬＦＭ中的即时波动率％

１．特殊的Ｌｉｂｏｒ即时波动率：

下面将按顺序给出一般结论，基本上采用统计的方法求解。首先假设远期利率Ｅ（ｆ）的即时波动率是分段常数。特别地，Ｅ（ｆ）的即时波动率在每个到期日时间间隔中是常数。在这个假设下，可以把即时波动率写成如下矩阵形式。（其中，“Ｉｎｓｔａｎｔ．Ｖｏｌｓ＂和“Ｆｗｄ”分别为即时波动率和远期利率的缩写：

表２．１不同到期日和观察日的波动率矩阵

Ｔｉｍｅ－

Ｉｎｓｔａｎｔ．Ｖｒｏｌｓｔｅ（ｏ，瓦】

ｑ－ｌ（毛，互】Ｄｅａｄ（五，互】Ｄｅａｄ（％彩％一．】ＤｅａｄＦｗｄＲａｔｅ：巧（ｆ）

Ｅ（ｒ）０－２，１吒．２ＤｅａｄＤｅａｄ％（，）ｏＭ、Ｏ＂Ｍ，２ｏＭ３ＧＭＭ根据上表的矩阵格式，可以做出不同的假设，以简化统计计算量，降低波动率参数的个数。

第一个假设为波动率只与远期利率的距到期日时间有关即瓦一乙∽，而不是与到期日五和时刻ｆ分别相关。在这种情形下，可以得到下面的式子和表格，并记为模型一：

ｏｒｋ（ｔ）＝ｃｋ．Ｊ，ｌ（｜卜ｌ＝：仇 ｍｏ卜１）

表２．２在第一个假设下的波动率矩阵

Ｉｎｓｔａｎｔ．、，ｏｌｓＴｕｎｅ：ｆ∈（Ｏ，Ｔｏ】

吼（瓦，五】Ｄｅａｄ（五，互】Ｄｅａｄｒ丁丁１、上＾，一２，上＾ｆ—ｌＪＦｗｄＲａｔｅ：ＥＯ）

Ｅ（ｆ）Ｄｅａｄ仍仇ＤｅａｄＤｅａｄ

毛（ｆ）锄锄一１

‰一２编

第二个降低参数的假设令波动率与时刻ｒ无关，即得到下面的式子和表格，并记为模型二：

吼（，）＝％，。（ｆ）＝：ｓｋ

表２．３在第二个假设下的波动率矩阵

Ｉｎｓｔａｎｔ．ＶｒｏｌｓＴｉｍｅ：ｆ∈（ｏ，Ｔｏ】

＆（Ｔｏ，ｒｌ】Ｄｅａｄ（Ｔｌ，互】Ｄｅａｄ（％巾％一。】ＤｅａｄＦｗｄＲａｔｅ．正（ｆ）

Ｅ（，）屯屯ＤｅａｄＤｅａｄ

％（ｆ）ｓｕｓＭｓＭｓＭ

第三个降低参数的假设为把波动率分解成两个函数，这两个函数分别与到期日和现在的时刻相关，则得到下列式子和表格，并记为模型三：

ｃｒ，（ｔ）＝ｏ－ｋ，，（ｆ）＝：苁驴０（ｒ）

表２．４在第三个假设下的波动率矩阵

Ｉｎｓｔａｎｔ．、，ｂｌｓＴｉｍｅ：ｆ∈（０，Ｔｏ】

ｊｉＩ％

办％（Ｔｏ，互】Ｄｅａｄ（五，互】Ｄｅａｄ（％彩％一。】ＤｅａｄＦｗｄＲａｔｅ：互（ｆ）互（ｆ）唬％ＤｅａｄＤｅａｄ

毛（ｆ）九％九％九％币镰ＶＭ最后一个基于分解分段常数波动率的假设为把波动率分解成两个函数，这两个函数分别与到期日和距到期日的时间相关，则得到下列式子和表格，并记为模型四

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