高中数学第二章概率1离散型随机变量及其分布列教学案北师大版选修23

1 §1 离散型随机变量及其分布列

[对应学生用书P20]

拼十年寒窗挑灯

苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。

(1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数． (2)

在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．

(3)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数． 问题1：上述现象有何特点？

提示：各现象的结果都可以用数表示．

问题2：现象(3)中红球的个数x 取什么值？

提示：x ＝0,1,2,3,4.

问题3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？ 提示：可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．

1．随机变量

将随机现象中试验(

或观测)

的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X ，Y 来表示．

2．离散型随机变量

如果随机变量X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.

1．抛掷一枚均匀的骰子，用X 表示骰子向上一面的点数．

问题1：X 的可能取值是什么？

提示：X ＝1,2,3,4,5,6.

问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？

提示：都等于16

.

2

问题3：试用表格表示X 和P 的对应关系． 提示：

问题4：试求概率和． 提示：其和等于1.

1．离散型随机变量的分布列的定义

设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2…，随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：

P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)，(1)

或把上式列成表

上表或(1)式称为离散型随机变量X 的分布列． 2．离散型随机变量的性质 (1)p i ＞0；(2)p 1＋p 2＋p 3＋ (1)

1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．

2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．

3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．

[对应学生用书P21]

3

[例1] 的结果：

(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X ；

(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ；

(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X .

[思路点拨] 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．

[精解详析] (1)X 的可能取值为1,2,3，…，10，X ＝k (k ＝1,2，…，10)表示取出第k 号球．

(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.X ＝k 表示取出k 个红球，(4－k )个白球，其中k ＝0,1,2,3,4.

(3)X 的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i ，j )表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i 点，且骰子乙得j 点，则X ＝2表示(1,1)；X ＝3表示(1,2)，(2,1)；X ＝4表示(1,3)，(2,2)

，(3,1)；…；X ＝12表示(6,6)．

[一点通] 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．

1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．

①在2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取一张，被取出的编号数为X ； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X ；

③从2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X ； ④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X ；

⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X .

解析：①②③中变量X 的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X 的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X 的取值确定，是6，不是随机变量．

答案：①②③

2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X ，则X ＝3表示的试验结果是________．

4 解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．

答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品

3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，试求X 的集合，并说明“X >4”表示的试验结果．

解：设第一枚骰子掷出的点数为x ，第二枚骰子掷出的点数为y ，其中x ，y ＝1,2,3,4,5,6. 依题意得X ＝x －y .

则－5≤X ≤5，

即X 的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．

则X ＞4?X ＝5，表示x ＝6，y ＝1，

即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．

[例2]

(1)求a ；

(2)求P (X ≥4)，P (2≤X ＜5)．

[思路点拨] (1)利用分布列中所有概率和为1的性质求解．

(2)借助互斥事件概率求法求解．

[精解详析] (1)由1

10＋3

10＋a ＋1

10＋1

10＝1，

得a ＝2

5.

(2)P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝110＋110＝1

5，

P (2≤X ＜5)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)

＝310＋2

5＋1

10

＝4

5.

[一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题：

(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．

5 (2)p 1＋p 2＋…＝1，且p i ＞0，i ＝1,2，….

4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a ·? ??

??13i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A ．1

B.913

C.1113

D.2713

解析：由分布列的性质，知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝a ·13＋a ·? ????132＋a ·? ????133＝1327

a ＝1.∴a ＝2713.

答案：D

5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 10

，k ＝1,2,3,4.求： (1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ? ??

??12

，k ＝1,2,3,4， (1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)

＝110＋210＝310. (2)P ? ??

??12

＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35

.

[例3] (103个球，设X 表示取出3个球中的最大号码，求X 的分布列．

[思路点拨] 先确定X 的所有可能取值，然后分别求出X 取各值时的概率即可．

[精解详析] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.

6

X ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 2

2

C 36

＝

120

；分)

X ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．

所以，P (X ＝4)＝C 2

3C 36＝320；

分)

X ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中

取．

所以，P (X ＝5)＝C 2

4C 36＝3

10；

分)

X ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球

中取．

所以，P ＝(X ＝6)＝C 2

5C 36＝1

2.

分)

所以，随机变量X 的分布列为

分)

[一点通] (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．

(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．

6．在射击的试验中，令X ＝???

??

1， 射中，

0，未射中，

如果射中的概率为0.8，求随机变量X 的

分布列．

解：由P (X ＝1)＝0.8，得P (X ＝0)＝0.2.所以X 的分布列为：

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