湖南省长沙市第一中学2015-2022学年高一12月月考数学试题(解析版

高一数学12月月考试卷

一、选择题

1. 已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()

A. {0}

B. {-1,0}

C. {0,1}

D. {-1,0,1}

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意可得．故B正确．

考点：集合的运算．

【易错点睛】本题主要考查集合的运算，属容易题．已知集合中的元素的满足的条件为，所以，所以此题选项为C，否则极易错选D选项．

2.lg＋lg的值为（）

A.

B. C. 1

D.

【答案】C

【解析】

;故选C.

3.下图中，能表示函数y＝f(x)的图像的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

由函数的定义(对于非空数集中的任一个数,都有唯一的值相对应),得选项D符合要求;故选D.

4.下列函数是偶函数的是：（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】

易知为奇函数,为偶函数,,为非奇非偶函数;故选B.

5.函数f(x)＝x ＋的零点个数为( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】A

【解析】

令，即，显然该方程无解，即函数的零点个数为0；故选A.

6.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】C

【解析】

对于A、B、D 均可能出现，而对于C是正确的．

7.已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是( )

A. (－∞，－4]∪

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

由题意，得，由图象，得或；故选

A.

8.某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ).

A.

B.

C. D. 1

【答案】B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个直三棱锥，其中高为1，底面是直角边为1,2

的直角三角形，则该几何体的体积为

；故选B.

9.函数的图像大致是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 因为，所以该函数的图象如选项C 所示；故选C.

10.如图，正方体

的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是

（ ）

A.

B. 平面

C. 三棱锥的体积为定值

D. 异面直线所成的角为定值

【答案】D 【解析】

在正方体中，平面平面，故正确；平面

平面

平面平面，故正确；的面积为定值，

，又

平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.

二、填空题

11.函数的定义域为______________，值域为______________.

【答案】

(1).

(2).

【解析】

若函数函数

有意义，则

，即

，即函数

的定义域为

；因为

，所以，即该函数的值域为.

12.当a为任意实数时，直线ax－y＋1－3a＝0恒过定点_____．

【答案】(3,1)

【解析】

将化为，即该直线恒过点.

13.一条光线从点射出，与x 轴相较于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为______

【答案】

【解析】

由光学知识可得反射光线所在的直线过点和

关于轴的对称点，其直线方程为

，即

. 14.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ?α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是_____

.

【答案】

【解析】

过点A 作面，，连接，易知 ，则是二面角的平面角，即，

是与所成的角，

即

，

是与平

面所成的角，

在中，

设，

则，，，即与平面所成的角的正弦值为

.

15.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)_____.

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

④每个面都是等腰三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体.

【答案】①③④⑤

【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体，其棱长分别为，各表面和对角面都为矩形，即①正确，是有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体，即②正确，

是每个面都是等腰三角形的四面体，即④正确，是每个面都是直角三角形的四面体，即⑤正确；故填①③④⑤.

三、解答题：

16.已知函数，

（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明； (Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．

试题解析：(Ⅰ) 设，且,则

∴∴，∴

∴

∴，即

∴在上是增函数.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数

∴当时，

∴当时，

综上所述，在上的最大值为，最小值为.

17.设集合，，

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）-1或-3；（2）．

【解析】

(1)因为A={1,2},并且,所以,所以, 从而求出a 的值，然后再一一验证是否满足.

(2)因为,所以可得,然后再讨论和两种情况，从方程的角度研究就是当

时

无实数根;时，有一个实数根和有两个实根两种情况. （1）有题可知：

∵∴

将2带入集合B 中得：

解得：

当时，集合符合题意；

当时，集合，符合题意

综上所述：

（2）若A∪B=A，则B?A，

∵A={1，2}，

∴B=?或B={1}或{2}或{1，2}．

若B=?，则△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣5）=24﹣8a＜0，解得a＞3，

若B={1}

，则，即，不成立．

若B={2}

，则，即，不成立，

若B={1，2}

．则，即，此时不成立，

综上a＞3．

18.已知三角形三个顶点是，，，（1）求边上的中线所在直线方程；

（2）求边上的高所在直线方程．

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：本题第（1）问，由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程；第（2）问，先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程。

解：

的中点

边上的中线所在的直线方程为

，即

,

边上的高所在的直线的方程为

即

考点：直线的方程．

点评：本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意两点式方程和点斜式方程的灵活运用．19.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B ＝.

(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；

(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD

.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)先利用等边三角形和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明;(2)先利用平行四边形和三角形的中位线证得线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明.

试题解析：(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，

所以△A1AC为等边三角形.所以A1C＝1.

因为BC＝1，A1B ＝，所以A1C2＋BC2＝A1B2.

所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.

因为BC ⊥A 1A ，BC ⊥A 1C ，AA 1∩A 1C ＝A 1，

所以BC ⊥平面ACC 1A 1.

因为BC ?平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1.

(2)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD .

因为ACC 1A 1为平行四边形，

所以O 为AC 1的中点.因为D 为AB 的中点，所以OD ∥BC 1.

因为OD ?平面A 1CD ，BC 1?平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD

.

20.如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，

.

(1)求证：

⊥平面； (2)求二面角余弦值的大小；

(3)求点到平面

的距离． 【答案】(1)略

(2)q = 450 (3)

【解析】

试题分析：方法一：⑴证：在Rt △BAD 中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC. ∵PA ⊥平面ABCD ，BDì平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD ⊥平面PAC.

解：（2）由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ，

知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. 又∵PA=AD ，∴∠PDA=450. 二面角P —CD —B 余弦值为。

（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=

，设C 到面PBD 的距离为d ，

由，有，即

，得

方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.………………2分

在Rt △BAD 中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），

∴

∵

，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC. …………4分 解：（2）由（1）得

. 设平面PCD 的法向量为，则，

即，∴故平面PCD 的法向量可取为

∵PA ⊥平面ABCD ，∴为平面ABCD 的法向量. ……………………………7分

设二面角P—CD—B的大小为q ，依题意可得. ……………………………9分

（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD 的法向量为，

则，即，∴x=y=z ，故可取为. ………11分

∵，∴C到面PBD 的距离为…………………13分

考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角；点、线、面间的距离计算。

点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB、CD 分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角；②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。

21.已知函数．

(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；

(2) 是否存在这样的实数a ，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)存在，.

【解析】

试题分析：(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.

试题解析：(1)∵，设，

则为减函数，时，t 最小值为， 2分

当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分

又

，∴6分 (2)

令，则； ∵，∴ 函数为减函数， 又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分 所以时，最小值为，此时最大值为；9分

又

的最大值为1，所以， 10分

∴，即， 所以，故这样的实数a 存在． 12分

考点：1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hw7l.html