云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）理科数学（高清扫描含

云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 【解析】

1．由已知得A?{x|x≥0}，B?{x|2≤x≤4}，∴A?eRB?{0≤x?2或x?4}，故选C． 2．z?5i5i(1?2i)??2?i，故选A． 1?2i(1?2i)(1?2i)1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 B 8 B 9 C 10 C 11 D 12 B 2203．∵{an}是等比数列，a1?8，，∴a4?1或（舍），又a4a4?a3a5?a4?a1a7，∴a7?1，故8选B．

b31x2y2c21a2?b21?4．椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，可得2?，可得，解得，?a22aba4a243x2y2x，故选A． ∴双曲线2?2?1的渐近线方程为：y??2ab1ππ1ππ15．sinx??x?，x??sinx?，命题中所说的条件是x?，即x?是sinx?2662266的充分不必要条件，故选C． 6．当x?2时，M?2，1?111513??2；x?，M?，1???1?2；x??1，M?，x2x2221?13?2≥2，程序结束．输出M?，故选B． x2177．所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱，其体积为V?1?1?2??1?1?3?，

22故选B．

??????????????????????????8．∵MA?MB?MC?0，∴M是△ABC的重心，∴AB?AC?3AM，∴m?3，故选B．

9．如图1所示，∵AB2?AC2?BC2，∴?CAB为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC的中点O?，△ABC和△DBC所在的平面互 相垂直，则圆心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的 大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为R?2，球的

图1

表面积为S?4πR2?16π，故选C．

10．函数f(x)??x3?bx(b为常数)，所以f(x)??(x2?b)x?0的根都在区间[?2,2]内，所

以b≤2?b≤4；又因为函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，所以f?(x)??3x2?b?0在区间(0，1)上恒成立，所以b≥3，综上可得：3≤b≤4，故选C． 11．由抛物线定义得|PF|?x?2，又|PA|?(x?2)2?y2?(x?2)2?8x，

(x?2)2?8x|PA||PA|8x?1；当x?0时， ．当x?0时，∴??1?2|PF||PF|x?2x?4x?4|PA|8x8?1?2?1?4|PF|x?4x?4x??4x44号．∵x?≥2x??4，

xx，当且仅当x?2时取等

∴|PA||PA|8的取值范围是[1，2]，故选D． ?1?≤2，综上所述，4|PF||PF|x??4xx212．设公共切线与曲线C1切于点(x1，x12)，与曲线C2切于点(x2，ae)，则

aex2?x12aex2?x12x22x1?ae?，将2x1?ae代入2x1?，可得x1?2x2?2，代入2x1?aex2x2?x1x2?x1x2可得a?4(x2?1)4(x?1)4(2?x)?，设，求导得，可得f(x)在(1，2)上单f(x)?f(x)?exexex24，故选B． e2调递增，f(x)在(2，??)上单调递减，所以f(x)max?f(2)?

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 答案 【解析】

13 14 1 15 16 ?1??,0?? ?3?11 362015 20165?511． ?6?636π?tan??11?π??14．∵???0，?且tan?????3，∴?3，∴tan??，

4?1?tan?2?2??13．P?1?8sin??6cos?8tan??6?lg?lg10?1．

4sin??cos?4tan??1b11111∴??2，∴??1，∵an?bn?1且bn?1?n2，∴bn?1?15．，又b1?，

b1?1bn?1?1bn?11?an2?bn2∴lg(8sin??6cos?)?lg(4sin??cos?)?lg?1?1n??n?1，∴bn?，∴??是首项为?2，公差为?1的等差数列，∴b?1b?1n?1n?n?∴b2015?2015． 20161)．根据题意，16．令y?kx?k?1，则化为y?1?k(x?1)，即直线y?kx?k?1恒过M(?1，3]的图象与直线y?kx?k?1，如图2所示，由图象可知当直线画出y?f(x)，x?[?1，介于直线MA与MB之间时，关于x的方程f(x)?kx?k?1(k?R且k??1)恰有4个不

11同的根，又因为kMA?0，kMB??，所以??k?0．

33

图2

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

11解：（Ⅰ）由已知得acosC?c?b，即sinAcosC?sinC?sinB，

22又sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC，

1∴sinC?cosAsinC． 2∵sinC?0，∴cosA?1． 2π． 3…………………………………………………………（4分）

又∵A?(0，π)，∴A?………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由正弦定理得b?∴l?a?b?c?1?23asinB22?sinB，c?sinC， sinA3323[sinB?sin(A?B)]

(sinB?sinC)?1??3?1π???1?2?sinB?cosB?1?2sinB????． ?2?26????………………………………（10分）

∵A?π， 3π?π5π??2π?∴B??0，?，B???，?，

3?6?66??π??1??∴sin?B????，1?．

6??2??……………………………………（12分）

故△ABC的周长l的取值范围是(2，3]． 18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO， ∵四边形ABCD是菱形，∴AO?CO， ∵E为PC中点， ∴EO∥PA，

图3

∵PA?平面ABCD，∴EO?平面ABCD，

∵EO?平面BED，

∴平面BED?平面ABCD． ………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：方法一：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面EBD?平面ABCD， ∴平面PAB和平面EBD的交线与平面ABCD垂直， ∴?ABO即为平面PAB和平面EBD所成角的平面角，

∵BD是菱形ABCD的对角线，

1∴?ABO??ABC?30?，

2∴平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值为方法二：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC?BD，

3． 2……………（12分）

∵EO?平面ABCD， ∴EO?AC，EO?BD，

如图4，建立空间直角坐标系O?xyz， ∵y轴⊥平面BED，

?10)． ∴平面BED的法向量为u?(0，，…………………………………………（8分）

设F为AB中点，连接CF，菱形ABCD的边长为2a， 则CF?AB，∴CF?平面PAB，

?????3?3∴平面PAB的法向量为CF??0??2a，?2a，?，

???????u?CF3???， ∴cos??????2|u|?|CF|图4

∴平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值为19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A，

3． 2……………（12分）

8则P(A)?．

9………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B，

2C513P(B)?1?2?．

C918…………………………………………………………（8分）

（Ⅲ）不具有线性相关关系． ……………………………………………………（10分） 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围． 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛． 20．（本小题满分12分）

……………………………（12分）

x2y2（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab?c25,??a5??2∴? ∴a2?5，b2?1， ?25????5??1??1,???22?b?ax2∴椭圆C的标准方程为?y2?1． ………………………………………………（4分）

5（Ⅱ）证明：设点A，B，M的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)， 又易知F点的坐标为(2，0)．

显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程是y?k(x?2)，

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 (1?5k2)x2?20k2x?20k2?5?0，

……………………………………………（8分） ……………………………………………（9分）

20k220k2?5， ∴x1?x2?,x1x2?1?5k21?5k2????????????????又∵MA??1AF,MB??2BF，

将各点坐标代入得?1?∴?1??2?x1x2,?2?， 2?x12?x2…………………………………（11分）

x1x22(x1?x2)?2x1x2?? 2?x12?x24?2(x1?x2)?x1x2?20k220k2?5?2???21?5k1?5k2?????10． ………………………………………………（12分） 20k220k2?54?2??1?5k21?5k221．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：f(1)?ln1?0，即切点为(1，0)． 1f?(x)?1?lnx1?ln1?，∴f(1)??1，即切线的斜率k?1，

x212………………………………………（4分）

∴切线方程为y?x?1，即x?y?1?0． （Ⅱ）证明：方法一：

f(x)的定义域为(0，??)，要证f(x)?g(x)只需证x?ex?m?lnx?0，

∵当m≥?2时，ex?m≥ex?2，故只需证明x?ex?2?lnx?0． 设h(x)?x?ex?2?lnx，h?(x)?ex?2?x?ex?2?函数h??(x)?2ex?2?x?ex?2?1， x1?0在(0，??)内单调递增， x212又h?(1)?e1?2?1?e1?2???1?0，

1e

?2?26?666525(2.645?e4)?55h????e??e???0， 5456?5?30e55?6?∴h?(x)?0在(0，??)内有唯一的实根x0，且x0??1，?，

?5?当x?(0，x0)时，h?(x)?0； ??)时，h?(x)?0． 当x?(x0，从而当x?x0时，h(x)取得最小值． 由h?(x0)?0得x0ex0?2?1?ex0?2， x01?ex0?2?lnx0， x0代入h(x0)?x0?ex0?2?lnx0得h(x0)?故h(x0)?1?6??ex0?2?lnx0?h??， x0?5?设?(x)?1x?2?e?lnx， x11x?2， ?e?2xx??(x)??∵当x?(0,??)时，??(x)?0， ∴?(x)在(0,??)单调递减，

?6?5?????e?5?64?561?ln??e524?51116(e)?(2)3??ln??lne?ln1.7283?0， 4352e51451556?6?∵0?x0?，∴?(x0)?????0，即h(x0)??(x0)?0．

5?5?综上所述，当m≥?2时，f(x)?g(x)． 方法二：

设h(x)?x2?x?lnx，定义域为(0，??)，则h?(x)?2x?1?1)时，h?(x)?0，h(x)单调递减； 当x?(0，……………………………………（12分）

1(2x?1)(x?1)． ?xx当x?(1，??)时，h?(x)?0，h(x)单调递増． 所以h(x)≥h(1)?0，即x2?x?lnx≥0，则

lnx≤x?1． x设?(x)?ex?2?x?1，定义域为(0，??)，则??(x)?ex?2?1．

当x?(0，2)时，??(x)?0，?(x)单调递减； 当x?(2，??)时，??(x)?0，?(x)单调递増． 所以?(x)≥?(2)?0，即ex?2?x?1≥0，则ex?2≥x?1． 当m≥?2，x?(0，??)时，ex?m≥ex?2≥x?1． 所以ex?m≥x?1≥所以ex?m?lnx，因为两个不等号分别当x?2，x?1时取得， xlnx． x………………………………………（12分）

综上所述，当m≥?2时，f(x)?g(x)． 方法三：

设h(x)?ex?2，则h?(x)?ex?2， 由h?(x)?1可解得x?2，h(2)?1，

1)处的切线方程为y?1?x?2，即为y?x?1， 即h(x)在点(2，由（Ⅰ）可知f(x)在x?1处的切线方程为y?x?1， y?f(x)，y?h(x)，y?x?1在同一坐标系

内的图象如图5所示， 可得f(x)≤x?1≤h(x)，① 因为m≥?2，所以ex?m≥ex?2， 即f(x)≤h(x)≤g(x)，

又因为①式中取等号的条件不相同， 所以f(x)?g(x)．

图5

………………………………………（10分）

（采用方法三证明第（Ⅱ）问时，过程不严密，第（Ⅱ）问给分不超过6分） 22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

证明：（Ⅰ）如图6，∵PA切⊙O于A， ∴BA2?BD?BC，

图6

∵B为线段PA的中点，

∴PB?BA，

∴PB2?BD?BC，即∵?PBD??CBP， ∴△PBD∽△CBP．

PBBC， ?BDPB……………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP， ∴?BPD??C， ∵?C??E，

∴?BPD??E， ∴AP∥FE．

……………………………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）圆的普通方程为：(x?1)2?y2?1． ∵x??cos?，y??sin?，

∴圆C的极坐标方程为：??2cos?． …………………………………………（5分）

?1)为点P的极坐标， （Ⅱ）设(?1，??1?2cos?1，??1?1，??则?解得?ππ

??，??.11??33???2)为点Q的极坐标， 设(?2，??2(sin?2?3cos?2)?33，?则? π??2?，3???2?3，?解得?π

?2?，?3?∵?1??2，

∴PQ??1??2?2，

∴线段PQ的长为2． …………………………………………………………（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

（Ⅰ）解：当a?2时，不等式为|x?2|?|x?1|≥4．

17∵方程|x?2|?|x?1|?4的解为x1??，x2?，

221??7??∴不等式的解集为???，????，???． ……………………………………（5分）

?2??2?（Ⅱ）证明：由f(x)≤1得|x?a|≤1， 解得a?1≤x≤a?1， 而f(x)≤1的解集为[0，2]， ∴??a?1?0，?a?1?2，∴a?1， ∴1m?12n?1(m?0，n?0)， ∴m?2n?(m?2n)??11?2nm?m?2n???m?2n?2≥4． ………………………………（10分）

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