立信09级本科《微积分（一）》期末试卷A及参考答案

上海立信会计学院2009～2010学年第一学期

09级本科《微积分（上）》期终考试试卷（A）

（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，禁止使用计算器） 共8页

班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 合成人 审核人 总分 签 名 签 名 （10﹪） （10﹪） （60﹪） （14﹪） （6﹪） 得分 得 分 评卷人 审核人 一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分）

（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号 内。） 1．函数y?f(x)在点x?x0处连续且取得极大值，则f(x)在x0处必有（ D ） （A）f?(x0)?0 （B）f??(x0)?0

（C）f?(x0)?0且f??(x0)?0 （D）f?(x0)?0或不存在 2．函数F(x)??xaf(t)dt在[a,b]上可导的充分条件是：f(x)在[a,b]上（ B ）

f(1?3x)?f(1)?（ B ）

2x（A）有界 （B）连续 （C）有定义 （D）仅有有限个间断点 3．已知函数f(x)在x?1处可导，且导数为2，则lim1x1xx?0（A）3 （B）－3 （C）－6 （D）6 4．lim1?e1?ex?0的极限为 （ D ）

（A）1 （B）－1 （C）1或－1 （D）不存在

１

5．已知某商品的需求函数为Q?e，当P?3时，下列解释正确的是（ B ） （A）价格上升1％，需求增加0.6% （B）价格上升1％，需求减少0.6% （C）价格上升1％，需求增加60% （D）价格上升1％，需求减少60% 二、填空题（将正确答案填在横线上） 得 分 评卷人 （本大题分5小题，每小题2分，共10分）

?P5

x1的值等于

x?0ex?e?x223 ?5xsinx2．?dx? 0

?－51?x4kx?2x?1?23．已知lim???e，则k? 2

x??2x?1??(100)4．f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f(x)? 100!

1tanx?sinx与ax3是等价无穷小，则a? 5．已知当x?0时，21．lim得 分 评卷人 三、计算题（必须有解题过程）

（本大题分12小题，每小题5分，共60分）

21．计算极限lim(n?n?n)

n????n??解：原式?lim?? 3分 2n????n?n?n?1 ? 5分

2x??5e?cosxx?02．设函数f(x)??sin2x，问当a取何值时，f(x)在x?0处连续。

x?0??tanax解：f(0)?4 1分 2分

f(0?0)?lim(5ex?cosx)?4

x?0?0sin2x2x24分 ?lim?

x?0?0tanaxx?0?0axa2当f(0?0)?f(0?0)?f(0)，即?4

a1a?时，f(x)在x?0处连续 5分

2?3．求极限lim(x?)cot2x

?2x?f(0?0)?lim2解：原式?limx??22

tan2x２

x??2分

　?limx??21

2sec22x4分

1 5分 2111????) 4．lim(222n??n?1n?2n?nn111n?(????)?解：采用夹逼准则 3分 　　　?n2?nn2?1n2?2n2?nn2?1而limnn??n2?n=limnn??n2?1=1， 故原式=1 5．已知y?xln(x?1?x2)?1?x2，求dy

解：y??ln(x?1?x2)?x(ln(x?1?x2))??(1?x2)? 1分

1?x??ln(x?1?x2)?x(1?x2xx?1?x2)?1?x2 3分 ??ln(x?1?x2) 4分

d?y??ln(x?1?x2)dx 5分 6．已知隐函数方程y?xey?1确定了y是x的函数，求dydx。

解：dy?eydx?xeydy 3分

?dydx?ey1?xey 5分 7．求函数y?x?1x?1在[0,4]上的最大值，最小值。

解：y??2(1?x)2?0　　函数单调增

y)??1，y3min?y(0max?y(4)?5 8．求

?dxx1?ln2x

解：?dxx1?ln2x.??11?ln2xdlnx ?arcsinlnx?C. 9．若f(x)的原函数为sinxx，问f(x)与sinxx间有什么关系？并求?xf?(x)dx?解：f(x)???sinx?xcosx?sinx?x???x2 2分 ?f(x)dx?sinxx?C 3分

３

4分

5分 3分 5分

3分

5分

?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?xcosx?2sinx?C 5分

x10．如果

?2ln2xdte?1t??6，求x。

解：令u?et?1,dt?左边??2udu 1分 21?u312uxdu?2arctan3?2arctane?1 3分 xe?1u1?u22??=?2arctanex?1? 36arctanex?1??4,?x?ln2 5分

?1?1?x211．设f(x)??1??1?e?x解：

x?0，求

x?01?2??f(x?1)dx

???2f(x?1)dxx?1?t0???f(t)dt???41分

1dx1?????dx???x201?e1?x2分?ln(1?e)x0???arctanx0?ln2?1 5分

?1?sinxx?0，试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f?(x)。 2cosxx?0?1?sinx?1解：f??(0)?lim??1 1分

x?0?xcos2x?1f??(0)?lim?0 2分

x?0?x12．已知f(x)??所以x=0处不可导。 3分

??0??cosxx?f(x)?? 5分

?sin2x?x?0?四、应用题

（本大题共2题，每题7分，总计14分）

x1．求由曲线y?e，y轴及该曲线过原点的切线所围成的图形面积和该图形绕x轴旋转一周所形成的立体体积。 得 分 评卷人 解：设切点为(m,e),在该点切线斜率为y?(m)?e, 1分

过原点的切线为y?ex，又因为切点在曲线和切线上，得m =1 2分

mmm切点(1,e),切线y?ex 3分

11eS??0exdx??0exdx??1 5分

2V???0e2xdx???0(ex)2dx?

11?6e2??2. 7分

４

2．设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数为P?60?（Q为销售量），假设供销平衡。

Q，1000（1）求Q?500件时的边际收益；（2）求Q为多少时利润为最大？并求最大利润。 解：成本函数C(Q)?60000?20Q 1分

Q2收益函数R(Q)?PQ?60Q? 2分

1000Q2利润函数L(Q)?R?C???40Q?60000 3分

1000边际收益R?(Q)?60?Q500 R?(500)?60?500500?59 L?(Q)?40?Q500?0 Q?20000,L??(20000)?0 生产20000件产品时有最大利润为340000元 得 分 评卷人 五、证明题 （本大题6分）

证明：当x?0时，ex?1?x

证:令f(x)?ex,由拉格朗日中值定理知　　　ex?1?e??x(式中?介于0与x之间) 当x?0，0???x，e??1,得　　　ex?1?x即ex?1?x 当x?0，x???0，　e??1则e?x?x从而有ex?1?x，　即ex?1?x

综上述:当x?0,时恒有ex?1?x

或：证：令f(x)?ex?x?1，f?(x)?ex?1 ?x?0,f?(x)?0,f(x)? f(x)?f(0)?0,ex?1?x 同理，?x?0,f?(x)?0,f(x)?

f(x)?f(0)?0,ex?1?x 所以，当x?0时，ex?1?x。

５

4分

5分

6分

7分 2分 3分 4分 5分

6分 1分

3分

6分

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