《超级画板》第五篇 函数图像

《超级画板》第五篇 函数图像

函数及其图像，是中学数学课程的重要内容。《超级画板》提供了制作动态函数图像的丰富的功能，并具有辅助教学和学习的一些附加的功能，例如在函数曲线上取点，作函数曲线的切线，列出函数值的表格，对曲线和x轴之间的面积填充或作细分，等等。另外，还有许多办法作出教学所需要的特殊效果，那就要了解更多的操作方法了。

一 函数图像配合函数表

函数通常有三种表示方法：解析表达式、图像和表格。

用《超级画板》可以把三种表示方法紧密结合起来。输入解析表达式，画出图像，再让图像和表格关联，以显示出函数值的表格。

请看本书配套资源中的文件5-1图像和列表.zjz，如图5-1。

图5-1 这个课件有如下的功能:

（1）显示曲线所对应的函数的表达式 当鼠标指着左边对象工作区中编号为[5]的曲线条目时，旁边会显示出函数的表达式。从图中看到，y是x的平方根。

（2）呈现函数的定义域 所画的函数曲线，函数的定义域为[a,b]。在左上部的两个测量数据文本中显示出，a的当前值为0，b的当前值为9。

（3）显示描点画线时所取的点和对应的函数值表 函数曲线上，连同两端点共有19个点，把自变量x的范围[0，9]均匀分为18份。曲线就是根据这19个点描出来的。这19个点所对应的自变量x和函数y（x的平方根）的值可以在右上方的函数表里查出来。

（4）用一个按钮控制着函数表的显示或隐藏。

（5）改变描点的数目和对应的函数表 描点的数目并非固定是19。拖动下方参数n的变量尺上的滑钮，可以改变描点的数目。点的数目越多，曲线就画得越准确。当点的数目变化时，函数表也就随着改变。例如，当描点的数目减少到5时，函数表里也就只有5组数据了。

（6）可以显示或不显示曲线上所取的点 在函数曲线的属性对话框里，如图4-23，可

以在左下角勾选或不勾选画点。即使不把点显示出来，曲线仍然是根据这些点的位置而画出来的。

（7）可以选择用曲线或线段来组成图像 曲线的画法有两种方案：一种是用曲线来连接这些点，一种是用线段来连接这些点。当前是用曲线来连接的。如图在属性对话框的右部可以勾选或不勾选“折线段”。若勾选“折线段”，就是用线段来连接这些点了。

（8）在曲线上有一个样例点 曲线上有一个红点A。这个点的坐标，可以在属性对话框里查出来，是u000和u000^(1/2)。当u000变化时，点A的轨迹或踪迹比较准确地显示出曲线的样子。在图上，我们用x来标示A的横坐标，用f(x) 来标示A的纵坐标。图中看到，点A的横坐标和纵坐标都被测量出来了，从测量数据中可以对更多的自变量x的值查出对应的函数值，准确到10位小数。

（9）可以准确地设置函数定义域和样例点 为了更准确地控制参数a、b和u000, 我们制作了3个动画按钮和参数k的变量尺，并测量出floor(k)，但测量数据命名为k。打开动画按钮的属性对话框，可以查出动画的设置：动画的参数范围是floor(k)到pi*floor(k)；频率小于10；类型是一次运动且为逆向运动。例如，若用变量尺把k的值调整到2至3之间，这时测量数据显示k=2。若单击a的动画按钮的主钮，则a的值变为2；单击a的动画按钮的副钮时，则a的值变为2π。同样方法可以把b或u000的值准确地设置为整数或π的整数倍。如果想要a、b和u000准确地取其它数值，可以在动画按钮属性对话框里设置。

（10）可以改变函数的表达式，一图百变 单击“显示或隐藏说明”按钮，出现如图5-2所示的说明。按说明操作，可以变换函数的表达式。

图5-2

回忆学过的操作，可知上述功能除作函数表外都不难实现。而作函数表的功能，可以用文本作图命令中“文本”类倒3行的函数命令Grid(5,10,10,70, 20, ); 其中第1个参数5是函数曲线的编号；第2，3两个参数11和8是表格的行列数目；第4，5两个参数70和20是表格中一格的宽度和高度的像素数目。注意，表格的宽度和高度可以用鼠标拖动调整，行列的数目可以在属性对话框里修改。这命令也适用于参数曲线、极坐标曲线和点的轨迹。

你也可以把这个文件当作模板使用，只要把函数表达式和点A的坐标改一下，就能作出你所要的带有函数表的函数的图像了。

例如，上述文件的第2页（如图5-3），呈现出在[0, 2π]上的函数y=sinx 的图像和函数表，就是从第一页修改得到的。

这里重要的是两点修改：在曲线的属性对话框里把函数的表达式改成sin(x)；在点A的属性对话框里把“y-参数”（即A的y坐标）改为 sin(u000)。

此外，还要把定义域调整为[0, 2π]。方法是先用变量尺把k调到2和3之间，再单击b的动画按钮的副钮。

当描点个数n=9时，得到图5-3所示曲线。

图5-3

虽然只取了9个点，图像已相当准确了。拖动点A检查一下，便知分晓。

如果减少到只用4个点，误差就大了。图5-4显示出用4个点描出的曲线和对点A的跟踪的对比。

图5-4

用折线代替曲线，在描点数很多时效果相当好，在描点数很少的情形，误差比曲线大得多。图5-5是取6点用线段连接的情形。若用曲线，要好得多。你不妨试试。

图5-5

[习题5-1] 复制上述文件，利用它作为模板，分别作出适当的定义域上的二次函数，余弦函数以及对数函数的图像和函数表。

[习题5-2] 上述文件中只能把参数a、b和u000准确地调为整数或π的整数倍。请你设计变量尺和动画按钮，使操作者能够方便地把这些参数准确地调为分数或π的分数倍。（分子分母不超过100）。

二 基本的初等函数族

在中学课程中，有几族函数特别重要。这包括二次函数族 y=ax2+bx+c, 指数函数族y=ax, 对数函数族 y=loga x，幂函数族 y=xk 以及正弦函数族 y=A

sin(ωx+φ)

这些函数族都带有可变的参数。用超级画板作出函数图像和有关的参数尺，拖动参数尺上的滑钮，跟踪曲线的变化，可以对函数形态和参数的关系，有非常直观地了解。

打开本书配套资源中的文件5-2二次函数.zjz，如图5-6。

图5-6

用文本作图函数命令Function(y=a*x^2+b*x+c, -6, 6,500 , ); 可以作出图中的函数曲线；用文本作图函数命令Point(a, -2, a, , , a);Point(b, -3, b, , , b);和Point(c, -4, c, , ,c );可以作出可以拖动的坐标点a、b、c，用以控制参数a，b和c；曲线和x轴的交点x1和x2以及顶点D，也都是可以用文本作图函数命令作出的坐标点；有关的坐标可以根据课本上的公式写出来，你也可以从点的属性对话框里查出来。

还可以用文本作图函数命令Variable(k, );作出一个参数k的变量尺，测量出k的整数部分floor(k)并将测量得到数据命名为k。这是为了用动画按钮驱动系数a、b、c取到整数值。这样的办法，在上一节已经用过，以后还会常用。

曲线方程中的系数是动态的，可以随a、b、c的变化而变化。在文本中嵌入动态的数据，在前一章已经用过。这次算是复习吧。如果忘了是如何操作的，可以双击方程的文本，使它进入编辑状态，就能看到原来的输入是：

y=$bl{a,21}x^2+$bl{b,21}x+$bl{c,21} 这就明白了。

再作3个动画按钮，用来分别驱动a、b、c 在一定范围变化，以便对曲线跟踪观察。例如，当a在-5到5之间变化时，对曲线的跟踪情形如图5-7。

图5-7

图中还测量了判别式b2-4ac的值。当判别式为负时，曲线和x轴没有交点。此外，这里的标题是漂亮的“可变换文本”，可以用文本作图的“文本”类函数命令TransformText(二次函数的图像);来实现。用可变化文本制作的文字，可以填充，可以选择后拖动角上的“把手”来改变其长宽。

当我们选择了曲线并对它跟踪时，有时可能希望停止跟踪，或又恢复跟踪。在对象工作区单击该“跟踪”条目前的小方框，可以在停止跟踪和恢复跟踪之间切换。若不想在对象工作区操作，可以作一个按钮来实现跟踪的显示和隐藏，方法是使用“动态alpha”功能和变量动画。在前一章也介绍过了。

总之，制作动态的函数图像的所有操作都是前面讲过的。这里是复习。 类似的方法，在文件5-3指数函数族.zjz 中，可以看出函数y=ax 的图像当a变化时的变化情形，如图5-8.

图5-8

而文件5-4指数函数和对数函数.zjz 则将指数函数和对数函数做了对比，如图5-9。

图5-9

至于幂函数，它的情形要复杂一些。随着幂指数k的不同，幂函数y=xk的定义域是不同的。当k取一般实数值时，其定义域为 (0，+∞)；而当k为整数时，其定义域为 (-∞，+∞)。文件5-5幂函数族的图像.zjz 的第一页，显示了k取一般实数值的情形。用动画按钮驱动k并对图像跟踪，如图5-10。该文件的第2页和第3页，则对应于k为偶数或奇数的情形。

图5-10

在三角函数中，最有用的是一般正弦波函数 y=A sin(ωx+φ)；作出随3个参数改变而变化的这样的图像的方法，在不少资料中有所讨论。用超级画板作这样的图像，不过是一个简单的常规操作。见文件5-6一般正弦波.zjz的第一页，如图5-11。

图5-11

注意这里的3个参数A、ω、φ，在输入函数表达式、建立变量尺以及制作

动画按钮时，实际用的参数是a、b、c。用动画按钮驱动a、b、c，可以得到指定的正弦曲线。如何通过参数的变化把基本的正弦函数y=sin x 的曲线变为某种特定的正弦曲线，是中学数学教材的传统内容之一。上述文件的第2页，提供了实现这种转化的具体操作，如图5-12。

图5-12

在图5-12中，有5条曲线。4条虚曲线是固定不动的，它们的表达式用同色的文本框分别标出在右上角。一条实曲线是可以变化的, 表达式在上方，就是 y=a sin(bx+c)。自上而下顺次单击3个动画按钮的主钮，驱动3个参数a、b、c分别变化，则红色的实曲线通过向左平移、沿x轴压缩、沿y轴放大由一条曲线顺次变为另外3条；再自下而上顺次单击3个动画按钮的副钮，则曲线通过沿y轴压缩，沿x轴放大，向右平移而复原。

从属性对话框中，可以查到这些曲线的方程和定义域。注意，可变化的实曲线，它的定义域是可变化的参数。

[习题5-3] 观察下面的一列文本作图函数命令，这些命令运行时将作出那些对象？命令中的数字有何意义？其中哪些命令可以用智能画笔和菜单操作实现(这些命令文本见文件“5-2二次函数.zjz”第2页)？

Function(y=a*x^2+b*x+c, -6, 6, 200, ); Point(a, -2, a, , , a); Point(b, -3, b, , , b); Point(c, -4, c, , , c);

Point((-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a), 0, , , , x_1); Point((-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a), 0, , , , x_2); Point(-b/(2*a), (4*a*c-b^2)/(4*a), , , , D); Variable(k, 0, 20, );

TransformText(二次函数的曲线);

Foot(6, 3, ); Foot(7, 3, ); Foot(8, 3, );

Segment(6, 14, ); Segment(7, 15, ); Segment(8, 16, );

MeasureExpress(floor(k),k);

MeasureExpress(b^2-4*a*c, b^2-4ac);

Text(y=$bl{a,21}x^2+$bl{b,21}x+$bl{c,21}); Trace(5, );

AnimationVar(a, a: a->5); AnimationVar(b, b: b->5); AnimationVar(c, c: c->5); AnimationVar(a, a: -k->k); AnimationVar(b, b: -k->k); AnimationVar(c, c: -k->k);

请把这些命令复制到文本作图的对话框的适当的栏里运行一遍，以证实自己的结论。

[习题5-4] 用一列文本作图函数命令，实现图5-12所示的课件。

三 正弦曲线和正切曲线的生成

任意角的三角函数的定义和单位圆上的点密切相关。让点在单位圆上运动，利用单位圆上对应线段随动点的变化而变化的情形，动态地画出三角函数的图像，是多媒体教学的传统内容之一。使用超级画板的文本作图功能，很容易生成这样的课件。

打开本书配套资源中的文件5-7正弦和正切曲线的生成的第一页，单击动画按钮，可以看到点6在单位圆上运动，点7在x轴上运动，过点6而平行于x轴的直线和过点7而垂直于x轴的直线交于点8，点8的踪迹在正弦曲线上。如图5-13。

图5-13

上述课件可以由执行下列系列文本命令而生成： CircleOfRadius(1, 1, );

Point(cos(t), sin(t), , , , 6); Point(t, 0, t, , , 7); Point(t, sin(t), , , , 8); Locus(7, , , 8 );

TransformText(正弦曲线的生成); Segment(1, 6, ); Segment(7, 8, );

Segment(6, 8, ); Trace(8, );

AnimationVar(t, );

单击该课件中的“文本命令”按钮，可以看到上述命令。将其复制再粘贴到文本作图的对话框里，单击“运行命令”按钮，就可以作出图5-13所示的各个对象。再将对象的属性如轨迹和动画的变量范围、文本和曲线的颜色适当设定就可以了。

上述命令所作出的对象，编号从5开始，因为坐标系已经使用了0到4的编号。而点（或其它后面可能使用的对象）就用编号来命名，这样后面的命令中引用时就方便得多。实际上，也可以只用前面6行文本作图命令，因为后面5行可以用智能画笔或菜单来实现。

文件5-7正弦和正切曲线的生成的第二页，用类似的方法生成正切曲线，如图5-14。

图5-14

对应的文本作图命令，单击该课件中的“文本命令”按钮，可以看到相关命令，共18行：

CircleOfRadius(1, 1, );

Point(cos(t), sin(t), , , , 6); Point(1, tg(t), , , , 7); Point(t, 0, t, , , 8); Point(t, tg(t), , , , 9); Locus(8, , , 9 ); Point(-pi, 0, , , , -π); Point(pi, 0, , , ,π ); Point(2*pi, 0, , , ,2π ); Point(3*pi, 0, , , ,3π );

TransformText(正切曲线的生成); LineOfEquation(x=1, ); Segment(1, 6, ); Segment(7, 6, ); Segment(7, 9, );

Segment(8, 9, ); Trace(9, );

AnimationVar(t, );

其中后面的7行可以用智能画笔或菜单命令来做，可不用文本命令。

注意在上述两段程序中，点（第一段程序的点7和第二段的点8）的x拖动参数为t , 不能省略。因为后面作轨迹时要把这个点作为主动点。

另外，文本作图的命令也可以粘贴到左面的程序工作区来运行。操作方法是把鼠标的光标放在最后一行的末尾，按着Ctrl键打Enter键即可。但是，当粘贴程序时，就生自动生成一个文本对象，所以程序中生成的所有对象的编号都要加1。如果不想修改程序，还是在文本作图对话框里运行为好。

如果想把正弦曲线描点作图的过程表现得更具体更生动，可以参看本书配套资源中的文件5-8画正弦曲线，如图5-15。

图5-15

单击“描点”按钮，圆周上的点7、x轴上的点8开始运动，过点7而平行于x轴的直线和过点8而垂直于x轴的直线交于点9。每当点7在圆上走过圆周的12分之一时，点8相应地向右走过π/6的距离，它们就暂停一下，点9就此留下正弦曲线上的一个点。随着点的增多，右上方函数表中的数据也相应地增加，直到点7回到起点，一条通过各点的正弦曲线就出现了。

再单击“画线过程”按钮，曲线消失而后自左向右重画一次，如图5-16。

图5-16

制作这样的课件，有3个难点。一个是点的运动如何走走停停；再者是所描各点如何能依次出现；还有就是函数表里的数字如何能依次出现？

下面给出具体的操作方法。

单击“文本命令”按钮，可以看到如下程序： CircleOfRadius(1, 1, );

MeasureExpress(floor(t/2)+(t-2*floor(t/2))*sign(1,t-2*floor(t/2))+sign(t-2*floor(t/2),1));

Point(cos(m000*pi/6), sin(m000*pi/6), , , , 7); Point(m000*pi/6, 0, , , , 8);

Point(m000*pi/6, sin(m000*pi/6), , , , 9); Point(cos(s), sin(s), s, , , 10); Segment(1, 10, 11); Locus(10, ,11);

Function(y=sin(x), 0, floor(m000)*pi/6+0.0001, m000+1, ); Function(y=sin(x), 0, u, 50, ); Point(pi/6, sin(pi/6), , , , ); Point(pi/3, sin(pi/3), , , , ); Point(pi, 0, , , , π); Point(2*pi, 0, , , , 2π);

TransformText(画正弦曲线); Grid(13, 8, 4, 70, 20, ); Segment(1, 7, ); Segment(7, 9, ); Segment(9, 8, );

AnimationVar(t, 描点);

AnimationVar(u, 画线过程);我们仔细读读这一系列文本作图命令，再运行它。

第1条命令CircleOfRadius(1, 1, );很清楚，就是画一个以原点为心的单位圆。 第2条命令是此课件的关键一招。根据命令，测量出带有参数t的一个表达式，命名为m000。其特点是：当t从奇数增长到偶数时，m000和t同比例地增长1；而当t从偶数增长到奇数时，m000保持不变。根据函数sign(x,y)和floor(x)的定义，不难理解这个特点。一时不明白也无妨，需要用这样性质的表达式，从这里复制就是了。

第3条命令Point(cos(m000*pi/6), sin(m000*pi/6), , , , 7);作出圆周上的动点7。当参数t从0变到24时，m000交替增长和暂停增长，从0变到12；所以点7正好在圆上运动一周，每走过圆周的12分之一时暂停一下。

第4条和第5条命令，作出在x轴上走走停停的点8和停下来就作点的点9；由于坐标中基本的变量仍是m000, 其运动状态和点7同步。

第6条和第7条命令，作出圆周上的点10（注意要填拖动参数s,下面才能作线段11的轨迹）和它到圆心的线段11。目的是为了下一步作线段11的轨迹。不这样做，就要作出圆周的12个分点和12条线段，要麻烦得多。

第8条命令，作出线段11的轨迹。在轨迹的属性对话框里，将其频率设置为13，参数范围设置为0到2*pi，就得到了等分圆周的12条半径。点10和线段11可以隐藏了。

第9条命令，又是关键一招。所作出的正弦曲线其定义区间的右端点floor(m000)*pi/6是动态的，它随着m000的增长而增长；描点的数目m000+1。再在曲线的属性对话框里勾选“画点”，并且把间断点最小值设置为0.1，使得当所描的相邻两点距离超过0.1时，两点之间就不再用曲线连接。这样，曲线的图像就只剩下至多13个孤立的点了。设置情形见图5-17。

图5-17

在这样的设置下，如果是注册版的超级画板，只要把表格和此曲线关联(选择表格和曲线，执行菜单命令“对象|曲线和表格关联”)，则当t从0增长到24时，随着点的增加，表格中的数据也同步增长。

第10条命令作出 [0,u] 上的正弦曲线，当参数u从0变到2π时，曲线就自左而右画出来了。

第11、12两条命令作出了两个点。这是因为按软件的内部设置，曲线上的点至少要有4个(对应地，函数表里至少要有4个数据)，当点数少于4时，即开始2个点描点的效果出不来，特别多作两个点来弥补。这两个点出现的效果，是使用动态alpha的功能来实现的。其动态alpha参数分别为255*sign(t,2)和255*sign(t,4)，即它们分别在t>2和t>4时出现，即点9经过时出现。（本来要做12个这样的点，现在主要用第9条命令所作的曲线代替了。）

第13、14两条命令作出了x轴上的两个点，用以标明正弦曲线周期为2π。 第15条命令作出可变换文本的标题。

第16条命令Grid(13, 8, 4, 70, 20, );作出和编号为13的曲线（第9条命令所作）关联的表格。这又是关键的一招。表中的数据会随着曲线上描点的数目的增加而增加。

以下的命令不必用文本作图也能实现了。最后的两条是作出t和u的动画按钮，设置都可以从属性对话框里查出。

[习题5-5] 模仿文件“5-3正弦曲线的生成”，完全使用文本作图命令，作出生成余弦函数图像的动画。

四 分段函数的图像 常用的分段函数，如整数部分函数floor(x), 符号函数sign(x,y), 绝对值函数abs(x)等，直接使用文本作图命令即可作出。可参看本书配套资源中的文件“5-9分段函数的图像.zjz”的第一页。如图5-18。

图5-18

要把这些图像画准确，必须注意其属性的设置。有断点的函数如y=floor(x)和y=sign(x,0)，描点数目要足够多，断点附近才画得准；为避免在断点处连线，要把间断点最小值设置小一些。像绝对值函数y=abs(x)这样的偶函数，描点数目要设置为奇数，否者会显示出较大的误差。

图5-18中，函数y=floor(x)的图像上还根据定义画出了每条线段的左端点。这可不是作函数曲线的命令的效果，而是另外添加的。你能从对象工作区查出来这个效果是如何实现的吗？

一般的分段函数，可以利用符号函数sign(x,y)来写出它的表达式，再用文本作图命令来画出其图像。例如，如果函数f(x)在 [-3，0]上的表达式为(x+1)，在(0,π)上的表达式为 cos(x)，在[π，6]上的表达式为 (x-π)^2-1, 则下面就是函数f(x)在[-3，6]上的统一的表达式：

f(x)=(1-sign(x,0))*(x+1)+sign(x,0)*sign(pi,x)*cos(x)+(1-sign(pi,x))*((x-pi)^2-1)

注意，这里使用(1-sign(x,0))和(1-sign(pi,x))而不用sign(0,x)和sign(x,pi),是为了正确地给出分界处的函数值。按上面的表达式，可得f(0)=1；如果把(1-sign(x,0))换成sign(0,x)，则有f(0)=0,就不对了。对表达式作测量，就知分晓。

上述文件的第二页，如图5-19，就是这个分段函数的图像。

图5-19

像这样分成3段的函数的图像，也可以分成三个函数的图像来画。这样便于对每段设置不同的颜色，见上述文件第3页。

[习题5-6] 在上一节制作图5-16中的动画时，测量过一个表达式： floor(t/2)+(t-2*floor(t/2))*sign(1,t-2*floor(t/2))+sign(t-2*floor(t/2),1)

把此表达式中的t改为x，作出此表达式的函数图像（参看上述文件第4页，如图5-20）。

[习题5-7] 利用符号函数sign(x,y)，用分段表达式在极坐标下写出一个正三角形周界的方程，再用文本作图命令画出图像（参看上述文件第5页，如图5-21）。

图5-20

图5-21

五 函数的导数和定积分

要作出函数曲线上某点处的切线，需要计算出函数的导数。

在程序工作区可以求函数的导数。要计算函数f(x)对x的导数，只要执行命令 Diff(f(x),x); 就行了。在第一篇的第5小节里提到过这一操作，在图1-83中有所显示。

本书配套资源中的文件“5-10函数曲线的切线”，说明了作出函数曲线切线的全过程，如图5-22。

图5-22

单击图中“显示或隐藏文本作图命令”按钮，可看到制作过程的文本命令如下：

Function(y=a^x*sin(b*x+c), -4*pi, 4*pi, 1000, 5); Variable(a, 6); Variable(b, 7); Variable(c, 8);

Point(x,a^x*sin(b*x+c) , x, , , 9);

LineOfPointSlope(9, b*(a)^(x)*cos(b*x+c)+sin(b*x+c)*(a)^(x)*ln(a) , ); Animation(9, );

TransformText(函数曲线的切线);

这里第1行命令，是要求作函数y=axsin(bx+c) 在区间[-4π,4π]上的图像，描点数为1000；最后的参数5注明其编号为5，此时对象的名字与编号保持一致，便于后面引用。

第2、3、4行，分别作出参数a、b、c的变量尺。 第5行，作出曲线上的一个点，编号为9。

第6行，作出点9处曲线的切线。切线的斜率：

b*(a)^(x)*cos(b*x+c)+sin(b*x+c)*(a)^(x)*ln(a)

是在程序工作区这样计算出来的：

Diff(a^x*sin(b*x+c),x);

>> b*(a)^(x)*cos(b*x+c)+sin(b*x+c)*(a)^(x)*ln(a) #

第7行作出点9的动画；第8行作出可变换文本的标题。 将上面的8行命令复制粘贴在文本作图对话框里运行时，要注意当前的对象编号最大为4。否则，要将文本命令中的对象编号作相应的改变。对于新建的文档，对象的编号最大总是4。如果复制粘贴在程序工作区运行，即使是新建的文档，也要将文本命令中的对象编号都加1，因为把程序向工作区粘贴时，会自动生成一个编号为5的文本对象。

新的高中课程标准中，要求讲一些有关定积分的内容。为配合这部分内容，超级画板提供了函数图像的积分分割表示，以及积分和的测量。

打开本书配套资源中文件“5-11曲边梯形的条形分割”，如图5-23。

图5-23

图中显示出函数y=x2在区间[-1，2]上的积分分割。拖动n的变量尺上的滑钮，可以改变分割的数目；积分下和和上和随着变化。

这里，对图像分割并测量出对应的积分和以及定积分，是新的操作。

文件中显示的7行程序，提供了测量出对应的积分和以及定积分的文本命令。

Function(y=x^2, -1, 2, n, 5); Variable(n, );

MeasureLowerArea(5); MeasureUpperArea(5); NumIntegral(5);

Text(曲边梯形的条形分割); Text(y=x^2, x∈[-1,2]);

上述第1、2行命令是作函数图像和变量尺，是司空见惯的了。第3、4、5行，分别测量出对应的积分下和、积分上和以及定积分，其中的参数5是函数曲线的编号；这些函数的名称在软件的文本作图对话框里没有，是本书特别为读者提供的。后面两条命令，作出两个文本对象，不用文本作图也能做。

怎样作出条形分割的图示呢？这在上面的文本命令中看不出来。为了作出这个效果，只要在曲线的属性对话框里勾选“x轴区域”就可以了。

[习题5-8] 作出函数y=cos(x)的图像和曲线上一个动点的切线。为切线设置动态颜色，使在函数递增处切线为红色，递减处为蓝色（参看文件“5-10函数曲线的切线”的第2页，如图5-24）。

图5-24 六 函数图象的翻转和旋转

很多函数之间存在联系，譬如说函数y=x^2与函数x=y^2互为反函数,它们关于y=x直线对称，我们该怎样来表现这一动态翻折过程呢？

（1） 在文本作图框输入“Function(y=x^2,-10,10,100,);

Function(x=y^2,-10,10,100,);LineOfEquation(y=x,);”,点击运行即可得到图5-25。 （2） 在函数y=x^2的图象上作点Ａ，依次选择点A，直线y=x，点击【变换】|【关于直

线的对称图形】，得到点Ｂ，连接AB；

（3） 在AB上作点C，选择点C，单击右键，点击“动画”，弹出对话框后，将动画类型改

为“一次运动”，点击确定。

（4） 在文本作图框输入“Locus(8,11);”，点击运行即可得到当点A运动时，点C的轨迹； （5） 点击动画，就可以看到轨迹曲线从函数y=x^2翻转到函数x=y^2（图5-26）。

图5-25 图5-26

凡是牵涉到函数图象关于直线对称都可以采用此法，譬如y=(1/2)^x与y=2^x关于y轴对称， y=log(2,x)与y=log(1/2,x)关于x轴对称，都可以依样处理，甚至几何图形也如此：

（1） 作△ABC和线段DE；

（2） 在文本作图框输入“PointOnPolygon(5,6,8,);”，运行后△ABC的边上多处点F； （3） 依次选择点F和线段DE，点击【变换】|【关于直线的对称图形】，得到点G，连接

FG；

（4） 在FG上作点H，选择点H，单击右键，点击“动画”，弹出对话框后，将动画类型改

为“一次运动”，点击确定；

（5） 在文本作图框输入“Locus(14,17);”，点击运行即可得到当点F运动时，点H的轨

迹；但此时的轨迹只是一条线，双击这条线，弹出属性对话框，将最大值那一栏的的“1”改成“3”，点击确定即可得到图5-27；

（6） 点击动画，就可以看到△ABC关于线段DE作翻转运动。

图5-27

用的比较多的函数图象的变换除了翻转，就是关于点旋转了。譬如说：在圆锥曲线的教学中，总是要分焦点在x轴上和在y轴上讨论，其中以抛物线最麻烦，因为抛物线的开口方向有4种的不同情况，它的标准方程也有4种形式。

（1） 在文本作图框输入“ConicOfEquation(y^2=2*x, );ConicRightFocus(5, );

Directrix(5, , );”，点击运行即可得到图5-28。

（2） 在文本作图框输入“Rotate(5, 1, t);Rotate(6, 1, t);Rotate(7, 1, t);”，点击

运行即可得到图5-29。

（3） 在文本作图框输入“MeasureNormalOfConic(8);”，运行后测量出新得到抛物线的标

准方程；

（4） 作出参数t的动画，将动画类型改为“一次运动”，将参数范围的最小值改为0，最

大值改为pi/2，点击确定。

图5-28 图5-29

（5） 点击动画按钮左边部分，当动画停止时（图5-30），我们看到抛物线的方程为

x2?2*1.0000*y；点击动画按钮中部分，动画停止后，抛物线的方程为 y2?2*1.0000*x；

（6） 双击动画按钮的绿色部分，弹出动画属性对话框，将参数范围的最小值改为t，最

大值改为t+pi/2；点击动画按钮左边部分得到图5-31，继续点击得到图5-32；

图5-30 图5-31

图5-32

我们还可以测量出焦点坐标，准线方程以及圆锥曲线的一般方程等，那么当参数t变化时这些测量值都会随之改变。参看配套资源“5-12函数图象的翻转.zjz”和”5-13函数图象的旋转.zjz”。

[第五篇的小结]

本篇说明了与函数曲线有关的基本功能。

要注意掌握的，首先是作出函数曲线的文本命令中的参数的意义：函数表达式、变量的下界、变量的上界以及描点的个数。这些参数都可以使用字母和数学表达式。

函数曲线的属性设置对话框里，提供了丰富的变化。在本篇中用到了“画点”、“x轴区域”、“间断点最小值”、“曲线的点数”以及“折线段”，请注意体会这些功能的作用。

对于函数曲线，可以通过Grid命令作出函数表；还可以借助程序工作区的求导运算作出动态的切线；以及作出积分分割、测量积分和等。

本篇中有一些技巧和新出现的文本作图命令，特别注意加强练习。

附录：函数作图软件的评价和选择 1．选择软件很重要

在中学特别是高中课程中，涉及函数作图的内容很多。用计算机作函数图象，不但快捷精确美观，而且具有很强的交互性，能够产生种种动态效果；如果使用得当，有助于减轻教师负担，提高学生兴趣，帮助学生理解数学概念，开阔思路，培育探索精神。

近年来，有关使用计算机软件作函数图象的文章屡见不鲜，所涉及的软件五花八门。有动画软件Flash,课件制作平台Authoware,常用程序语言VB，儿童学习编程语言LOGO，文稿演示软件PPT,数学软件如Matlab、Mathematica、Maple，统计图表软件Excel,面向数学教学的动态几何软件《几何画板》和基于动态几何的

多功能教学软件《超级画板》等等。此外，还有些作者推荐用图形计算器；在网上也能搜索到大量的以函数作图为主要功能的免费或共享软件。

这些文章有的涉及教学设计，有的讲解具体操作，有的论述教育价值。但具体说来，常常是根据其作者的实际体验，推荐一种软件作为函数作图的工具。至于为何推荐某种软件，作者总说是功能强大，容易学习，使用方便。至于强大的功能具体在何处，是不是教学上要用的；容易学习和使用到什么程度，如何界定和比较，则避而不谈，语焉不详。有些文章标题说的是“轻轻松松”画某种函数图象，实际上所介绍的方法非常繁琐。原因可能是文章的作者对函数作图软件知之甚少，只是说说自己的体会而已。

常有老师看了这些文章后莫衷一是，就问：究竟用哪种软件来画函数图象最好？

有一种意见认为，各种软件都差不多，软件的选择应当多样化。这是不了解实际情况的说法。不同的软件差别可以很大。有些软件虽然有函数作图的功能，但主要不是为中学教学而设计的，很多教学上的需求它不予支持，花时间精力学了，后来又发现不够用，再换另一种软件，就很不合算。至于学习软件的时间精力投入，以及作图操作的效率，不同的软件差别很大。函数作图是经常要用的，选择软件不恰当，将导致成倍甚至几十倍的时间和精力的浪费，影响教与学的效率和效果。

就上面所提到的种种方案中，多数老师看到有关Flash，Authoware，VB，LOGO以及PPT等操作较复杂的软件的文章后，一般就知难而退，不会选择这些软件来画函数图象。当然，如果是特别想学习这些软件，又当别论。这些软件各有自己的长处，但不擅长画函数图象。用于函数图象的教学和学习活动，费时费力。

至于图形计算器，在没有条件使用计算机时，不失为一种选择。有条件使用计算机，还是用计算机效果好得多。比起图形计算器来，计算机操作方便，图形细致美观，还有种种扩展功能。只是一定要有合适的软件，否则就反而不如图形计算器了。

下面，结合上文提及的另几种软件(数学软件如Matlab等，统计图表软件Excel，动态几何软件《几何画板》和基于动态几何的多功能教学软件《超级画板》)，讨论一下选择函数作图软件的要点。 2．选择函数作图软件的要点

许多文章都提到了选择软件的理由。例如，有篇文章就列举了这样5条理由：(1)软件的普及性高；(2)入门操作容易；(3)同步性好；(4)省时省力；(5)功能强大。这些理由已经相当全面，足以作为评价和选择函数作图软件甚至一般教学软件的基本纲领。但为了便于将几种软件作具体的对比，有必要将这5个条件归类和细化。

这5条中实际上包含了3个方面的要求：

一是要求软件容易得到，容易安装。容易得到的最高标准是免费下载或复制，容易安装的最高标准是即插即用。这样要求比“普及性高”更具体。普及性高当然好，但是也要看是如何普及。如果是合法正版，或开发商支持教育，免费复制，当然欢迎。如果是因非法复制而普及，则不宜提倡。使用盗版是有风险的。既有法律上的风险，也有道德上的风险，对学生的思想品德有潜移默化的腐蚀作用。

再者是要求软件易学易用。这包含了5条中的入门操作容易和省时省力两条。易学易用的通俗说法就是傻瓜化，要画函数图象，输入函数表达式，自变量区间，以及样本点的个数就够了（或者更简便：只输入表达式，另外两项缺省，必要时由用户修改）。如果表达式中含有字母参数，仍照数学表达式的习惯输入就是，计算机见到命令就作图。如果不仅要画图还要作函数表，就用作表的命令。如果要连续改变参数观察图形的动态变化，再输入一个命令即可。这叫傻瓜化。但是，傻瓜化也要用不同命令告诉计算机不同的操作，命令多了就不便记忆，最好是把命令和自然语言联系起来，利用联想的办法来掌握命令。要作函数表就用命令hsb,要作变量尺就用命令blc,如果对应的汉字多了，还可以用前2后1等规则，例如作参数方程曲线就用命令csx,这叫联想化。考虑到用户习惯不同，同一件事由于教学要求不同也许要用不同的模式，有时用菜单，有时用对话框，有时用文本命令等，所以应当有多种模式供用户选择，即多样化。所以，易学易用可以具体落实到操作傻瓜化，命令联想化和模式多样化。其中最基本的要求是操作傻瓜化。

重要的是软件的功能要够用。5条中的同步性好也是功能问题。其实只要能够随需应变，要同步就同步，要异步就异步，要单步就单步，教学的需求可以充分满足就好。函数图象的教学几乎贯穿高中3年，有许多需求，不仅仅是列表描点连线。例如，在函数曲线上作动点，从动点向两坐标轴作垂足，拖动动点

观察自变量的变化和函数值的变化的联系；作出含参数的函数图象，让参数连续变化，跟踪函数图象对函数族进行观察；利用函数曲线上的两个动点动态地呈现二分法计算零点的过程；对函数曲线作平移、反射和放缩等变化，以观察一个函数如何连续地转化为另一个函数；过曲线上一点作切线，观察切线斜率的符号和函数增减性的关系；对曲线形成的曲边梯形作积分分割，计算积分和观察它趋向于定积分的过程；为了让学生自主探索，还应当有动态测量功能，能够实时测量出点的坐标，直线的斜率等等。即使是列表描点连线，也可能有更多的需求，例如让样本点的个数由少到多变化，考察所画曲线的准确程度和样本点个数的关系。总之，对教学中可能出现的与信息技术有关的创意，应当力求支持。软件应当服务于教学的需求，而不应让教师学生适应软件的已有的功能。有些看来是细节，但却反映了软件是否服务于教学需求的问题。例如，用Excel作函数表时，函数表达式中的自变量x要用A1代替，参数也不能原样输入。对编程人员来说，直接根据数学表达式列表作图是很容易的事，为何不让老师学生更方便一些呢？

为了清楚简便，下面笔者用表格的方式，将对上述几种软件的有关函数图象教学的功能的考察结果列出。对每个功能的实现，分为容易、能够和困难三个等级。这几种软件的扩展能力都很强，理论上能实现的功能很多。这里所谓困难，是说非常繁琐或笔者还不知道如何实现；所谓能够，是指可以组合软件的几个操作步骤来实现；所谓容易，是指简单的一两步就能傻瓜式的实现。

表中最后一行“几何量的动态测量”，主要指测量点的坐标和直线的斜率。表中第一行“常用数学软件”，包括Matlab、Maple、Mathematica和Maxima。这类软件的操作方式大同小异，函数命令极为丰富，笔者未能充分了解，因此表中有些项就填上“不详”。

从表上看出，选择有关函数图象的教学辅助软件，首选我国自主开发的《超级画板》。已经会用《几何画板》的老师，继续使用它也是一种选择。若想更为省时省力，不妨试一试《超级画板》。至于Excel,本不是为教学设计的，用起来事倍功半，不少要做的事难以入手。

看了上表，会不会有读者认为制表人对《超级画板》有偏爱之嫌呢？用它实现表中的功能就都那么容易？容易到什么程度？让我们来具体了解一下吧。 3．用《超级画板》辅助有关函数图象的教学

用《超级画板》画函数图象或造函数表，实现的方法有好几种。下面说的方法操作更加简单，适合初学者使用。

《超级画板》免费版本的不少操作，要用文本命令执行。为了容易记忆命令，软件特别配备了一个可以免费下载的“方便空白页面”文档 (由教育部教育信息技术工程研究中心开发，目前仍在进一步扩展之中)，文件名取简称为“方便面.zjz”。该文档有10个空页面可供使用，其程序区支持100多个简单而容易记忆的命令。

命令的构造规律如下：

汉字命令不超过3个字时，取拼音的第一个字母组成英文命令。例如：函数表就是hsb,旋转就是xz,平移就是py。汉字命令长度超过3个字时，取前面2个字和最后一个字的拼音的第一个字母组成英文命令。例如：函数曲线就是hsx, 极坐标曲线就是jzx, 圆内接正n边形就是ynx,等等。这样很快就可以记着命令。

少数命令要用4个或更多的字母。例如，作圆锥曲线的切线的命令是yzqx；测量点的x坐标的命令是

cxzb；等等。

存盘时用“另存为”命令，把文件名从“方便面”改为自己需要的名字。以下举例说明有关函数图象的功能在方便空白页面上的操作方法。以下按上面比较表中提到的功能顺序说明： (1)列函数表描点连线

命令格式为“hsb(A，a，b, n);”，这里A是函数表达式，表达式中默认x是自变量，a和b是自变量的最小和最大值，n是样本点的个数。例如，要列出正弦函数在区间[0, 2π]上15个点处的函数表并且描点画曲线，只要在左方程序区输入或粘贴下列命令（注意,在英文状态下输入）：“hsb(sin(x),0,2*pi,15);”，再把光标放在命令最后的分号后面，按Ctrl + Enter 键，屏幕上的作图区就会出现函数表和对应的散点图。还有一个动画按钮。用鼠标把函数表和按钮分别拖到适当位置，单击动画按钮，就可以看到动态的画线过程（图1）。

图1

如果不想描点画线，只要造表，可用命令“hsb1(sin(x),0,2*pi,15);”代替上述命令。造表后若要显示曲线，可以在左下部单击“对象”按钮从程序区切换到对象区(图2)，然后在对象区勾选曲线对象(图3)即可。

图2 图3

如果还要显示出样本点，可以将鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开曲线的属性对话框(图4)，在对话框左下部勾选“画点”；若要改变样本点的个数，可在对话框右部改写曲线的点数；最后单击确定即可。如图4所示，我们还可以修改函数的表达式，x的变化范围等等。软件的这种设计，非常有利于探究性研究。

改变曲线的点数之后，表格的大小可能不够用，我们可以改变表格的行列数。将鼠标指着表格单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开表格的属性对话框(图5)，在对话框左下部可以修改其行列数。还可以双击表格第一行的文本“y”，将它改为sin(x)。

图4 图5

(2)函数曲线作图 如果只要作函数曲线，不要函数表，可以在“方便面.zjz”文档的程序区简单地使用命令“hsx(A);”，A是函数表达式。自变量范围默认为[-10,10],样本点个数默认为100，这些参数可以用上面所说的方法在图4所示对话框里修改。

例如，要画函数

y?1?x1?x2 的图象，可在程序区输入：“hsx((1+x)/(1+x^2));”，再把光标放在命令

最后的分号后面，按Ctrl + Enter 键即可，如图6。

图6

(3)描点数目动态变化 类似上面的设置曲线属性的操作，用鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开曲线的属性对话框(图4)，在对话框左下部勾选“画点”；在对话框右部改写曲线的点数为n；单击确定。曲线上就显示出样本点。

在程序区输入并执行“变量尺”命令“blc(n);”，可以作出n的变量尺；拖动变量尺上面的滑钮，可以改变n的数值，从而改变样本点的个数（图7）。容易观察出n增大到一定程度才能把曲线画得准确。

图7

(4)带参数动态曲线作图 这是用计算机作函数图象的热门问题，典型例子是一般正弦函数y＝asin(bx+c)的作图。在《超级画板》中，带参数的函数曲线的作图和不带参数的没有什么不同，只不过多加一条命令来建立控制参数的变量尺而已。具体说来就是在程序区输入两条命令“hsx(a*sin(b*x+c));blc3(a,b,c);”。前一条命令根据参数的缺省值画曲线，后一条命令建立3个参数的变量尺。一次或分别执行后生成曲线和3条变量尺，拖动变量尺上的滑钮改变参数值，就可以看到曲线随参数的变化而连续变化（图8）。

图8

(5)函数曲线上作动点 用命令“hsx(x^2/2);”作一条抛物线，再用“坐标点”命令“zbd(u,u^2/2);”作一点A，此点当然在这条抛物线上。用命令“blc(u);”作u的变量尺，拖动变量尺上的滑钮，就可以控制点A在曲线上运动。

用《超级画板》的画笔功能，可以从点A向两坐标轴引垂足。在作图窗口上方有一个画有一支笔的图标，鼠标靠近它时会显示“画笔”字样，叫画笔图标。单击画笔图标，鼠标光标变成一只握笔的手，就进入了“智能画笔”状态。鼠标光标移动到点A处，按下左键沿着接近垂直于x轴方向拖动，光标靠近x轴时，附近会出现“垂足”字样，这时松开左键，就作出了自A到x轴的垂线段和垂足。类似可作出A到y轴的垂足（图9）。图中用箭头和白色小圈指出了画笔图标。作图完成后，要单击上方的“选择”图标（带有箭头图案，在画笔图标的左边），回到通常的选择状态。

图9

用智能画笔也可以直接在曲线上作点。作出的点可以在曲线上运动。

容易想到，用坐标点命令“zbd(u,0);”和“zbd(0,u^2/2);”也能作出这两个垂足。

如何直接拖动含有参数u的这几个坐标点呢？用鼠标指着点A单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开点A的属性对话框(图10)，在x-拖动参数后面的空白栏里填写u，单击确定后，点A就可以拖动了。拖动点A时，它的两个垂足会作相应的运动。

图10 图11

(6)对曲线跟踪 用命令“hsx(a^x);”作函数

y?ax的图象，再用命令“blc(a);”作参数

a的变量

尺。拖动变量尺上的滑钮，可以观察曲线随a变化的规律，但变化的中间过程却没有保留。使用《超级画板》的跟踪功能，可以弥补这个缺憾。操作很简单：鼠标指着曲线按右键打开右键菜单，单击“跟踪”即可。这时拖动变量尺上的滑钮，曲线变化时就留下了一系列的踪迹。

用手拖动变量尺上的滑钮很难做到速度均匀。做个动画按钮来控制可以得到更好的效果。操作方法是直接按右键打开右键菜单，单击“动画”打开参数输入对话框，在空白栏里键入字母a，如图11。单击确定后出现动画设置对话框如图12；在对话框中设置频率为50，最小值和最大值为0和5，类型选择一次运动。为方便观察，毫秒数取1000，如图12；最后单击确定完成动画设置。单击动画按钮，可以看到变量尺上a的数值由0开始增长，每次增加0.1；曲线则同步地相应变化，并留下痕迹。当a=5时停止变化，屏幕上呈现指数函数族的图象（图13）。

图12 图13 函数图象有关教学中的应用。 A.用反射说明对数函数

(7)对曲线作几何变换 《超级画板》提供了丰富的几何变换命令。这里举例说明反射，平移，旋转在

y?log2x和指数函数y?2x的图象关于直线y?x对称。

y?log2x的图象。用前述的方法在曲

用作函数曲线的命令“hsx(log(2,x));”作出对数函数

线的属性对话框里将变量范围改为0到10，点数改为1000使曲线在x=0附近画得更精确。用作坐标点的命令“zbd(8,8);”作坐标为(8,8)的点A；用画笔功能从原点到A连线段后回到选择状态。按着Ctrl键，顺次单击线段OA和曲线选择这两个对象（选择多个对象的方法之一是按着Ctrl键依次单击要选择的对象；也可以单击Insert键进入多选状态，就不用按Ctrl键了），打开右键菜单单击“关于直线的对称图形”，就作出了关于直线OA和函数

y?log2x的图象对称的曲线。为了便于将它和指

数函数

y?2x的图象比较，在它的属性对话框里将其线型修改为“点线”，宽度修改为5。再用命令

y?2x的图象，可以看到此图象和已有的点线重合，如图14。

“hsx(2^x);”作出指数函数

图14

当然，也可以用其他方法验证对数函数

y?log2x和指数函数y?2x的图象关于直线

y?x对称。例如，使用在曲线上取点测量的方法。

B.用平移将正弦曲线变成余弦曲线。

用命令“hsx(sin(x));”和“hsx(cos(x));”作正弦曲线和余弦曲线，用命令“zbd(u,0);”作坐标点A(u,0)。再输入并执行平移命令“py(6,1,8);”这里6是要平移的对象(正弦曲线)的对象编号，1是平移向量起点（原点）的编号，8是平移向量终点（点A）的编号。这些编号可以在左边对象工作区查到，也可以单击该对象使之在作图窗口下方的信息条上显示。执行命令后，图上又出现一条曲线，就是正弦曲线沿向量OA平移所得。为了动态呈现正弦曲线平移成为余弦曲线的过程，可在右键菜单中单击“动画”，作出参数u的动画。频率设置为30，变量范围设置为从0到3*pi/2（或-pi/2），类型为1次运动。单击动画按钮，可以看到曲线从正弦图象连续变为余弦图象。若对运动中的曲线跟踪，如图15所示。

图15 C. 奇函数图象旋转180与自身重合。

用命令“hsx(x^3-x);”作出奇函数

o

y?x3?x的图象。再执行“旋转”命令“xz(6,1,t);”

作出以原点为中心将此图象旋转角度t所得到的曲线。命令中的参数6是函数图象的编号；参数1是原点(旋转中心)的编号；参数t是变量。为了动态地呈现旋转过程，可以作参数t的动画按钮，方法如同上面作参数u的动画按钮一样。频率可设置为30，t的变化范围从0到pi，类型仍选一次运动。单击动画按钮，可以看到图象旋转180与自身重合的过程。若对旋转的图象跟踪，如图16所示。

o

图16

(8)曲线上作动态切线 用命令“hsx(x^2-1);”作函数

y?x2?1的图象。用画笔功能在图象上

作点A。点A的编号是7；输入并执行“切线”命令“qx(7);”，就作出了曲线在点A处的切线，如图17。拖动点A，切线会作相应变化。

图17

有关作切线的命令，在《超级画板》的方便空白页面中还有2个，一个是作两圆的公切线的命令“gqx(C1,C2);”；另一个是作圆锥曲线(包括圆)的切线的命令“yzqx(P,C);”。容易想到，C1和C2是两圆的编号，P是点的编号，而C是圆锥曲线的编号。

(9)曲边梯形积分分割 对于已经作出的函数曲线，只要在曲线的属性对话框里(图4)勾选“x轴区域”，图上就可以显示出和样本点数目相应的积分分割。

例如，用命令“hsx(1/x);”作出函数

y?1x的图象，在曲线的属性对话框里右下部勾选“x轴

区域”，把变量范围改为1到4，点的数目改为n；单击确定后再用命令“blc(n);”作n的变量尺。这时图上会显示相应于n的积分分割（图18）。如果要测量对应于此分割的积分上和与积分下和，可以查出曲线的编号(图18中曲线编号为6)后使用命令“cjfsh(6);”和“cjfxh(6);”。测量数值积分(定积分)则使用命令“cszjf(6);”。拖动变量尺的滑钮，图形和积分上、下和会随之变化（图18）。 《超级画板》所测量的数据默认显示两位小数。如果要改变这个位数，可以双击该数据，使之进入可编辑状态；这时会看见一个符号“%.”，它右边的数字就是小数点后的位数。最多可以有16位。符号“%.”左边是说明数据的文本，可以自行修改。

图18

(10)几何量的动态测量 几何量的动态测量对探究性学习的意义是不言而喻的。下面举两个例子：

A 用测量检验函数和其反函数关于直线y=x的对称性。 用命令“hsx(ln(x));”作自然对数函数

y?lnx的图象，在曲线的属性对话框中（如图4）将

变量范围改为0到20，曲线的点数改为1000。再用命令“hsx(e^x);”作指数函数

y?ex的图象。

用命令“zbd(8,8);”作点A(8,8)，用画笔功能连线段OA。在线段属性对话框右下方选择“直线”；再用命令“zbd(u,e^u); zbd(e^u,u);”作点B和点C，两点分别在两条曲线上。用命令“blc(u);”作u的变量尺；拖动变量尺上的滑钮，看到两点分别在两条曲线上运动。用画笔功能连线段BC，作出BC与OA的交点D；选择B和点D（选择多个点方法如前所述），执行菜单命令“测量|线段或向量的长度”，测量出线段BD长度，同法测量出DC长度，观察到两长度相等；再顺次选择点O点D点B，执行菜单命令“测量|角的值”，测得∠ODB为直角；拖动变量尺上的滑钮，观察到OA始终是BC的垂直平分线，如图19。

当然，用测量来检验不是学习数学的目的，而是启发探索思路的手段。图19启发我们再作出两点

ue?u的正方形。根据“正方形对角线相互垂直平分”(u,u)和(e^u,e^u)；显然4个点构成边长为

的性质可得B和C关于直线OA对称。

图19 B.测量切线的斜率。 在图17中已经作出曲线

y?x2?1和它的过点A的切线。使用命令“cdxzb(7);”可以测量出点

A的x坐标；这里7是点A的编号。使用命令“cxl(8);”可以测量出切线的斜率；这里8是切线的编号。测量点A的x坐标时，命令的返回是m000，这说明m000可以代表该测量值。使用表达式测量命令“cbds(2*m000);”可以测量出点A的x坐标m000的2倍；结果它和斜率的测量值相等，这验证了函数的导数就是其曲线上的切线的斜率（图20）。

图20 4 小结，软件操作多样化及其他

从上面的说明可以看出，《超级画板》的免费版本已经实现了操作傻瓜化和命令联想化。不少文献中需要用颇多文字来讲解的功能操作，用《超级画板》来做，一两个命令就简捷地实现了。 看了这些例子，有助于从感性上理解何谓“功能强大”,何谓“操作方便”，何谓“轻松实现”；有助于评价所见到的有关函数图象教学的软件是否适用。

也有老师认为，软件太傻瓜化不利于某些特定的教学任务的完成。这种看法不无道理。软件的操作应当多样化，给用户选择的空间。《超级画板》的许多功能都有不止一种操作方法。例如，画函数曲线，至少就有6种操作方法。作几何图形方法也多，例如，作正方形的方法至少有5种；既可以用很傻瓜化的简捷方法，也可以用很基本的尺规作图方法，还可以用基于几何变换的其他方法。用最短时间学会一种操作方法，就能在教学过程中使用，以后熟悉了，更能左右逢源，出神入化。

有关函数图象的教学虽然内容丰富，涉及面很广，但远远不是中学数学教学的全部。中学数学教学内容还涉及画平面和立体几何图形，数字和代数式的计算，公式的书写编排，圆锥曲线的作图，参数曲线和极坐标曲线的作图，简单的编程，统计图表的制作，与概率有关的过程的模拟，这些都需要现代信息技术的支持，需要用计算机和软件来取代师生们非教学必需的重复性机械性劳动。以软件技术而论，国内专业人员可能暂时不如国外同行。但是，《超级画板》在设计思想上更加关注数学教学的需求，因而用起来更为方便，更能减轻教师的负担，更能提高学生的学习兴趣。

《超级画板》的全名是《Z+Z智能教育平台－超级画板》，它在安徽合肥，湖北宜昌，山东济南等地建立了实验基地，全国有100多所学校参与了“Z+Z智能教育平台应用于国家数学课程改革的实验研究”这一课题的研究，在这些示范学校的影响下，已经有上千所中学使用《超级画板》进行教学，老师们和同学们反映甚好，认为它对数学教学有明显的积极作用。几年来，很多人关心在教学中使用

信息技术的实际效果。笔者想，这要看使用什么样的软件。如果软件不适合教学，不能大幅度的减轻师生的负担，不能显著的提高学生的学习兴趣，效果就不会好。

很多文章或文件谈到教师的信息技术培训问题，但很少涉及教育软件研发设计人员的培训。其实，对他们的培训更加重要。如果软件设计时充分考虑到如何能让教师在学习和使用软件时付出的劳动最小，成千上万的老师就能大大减轻负担，使培训时间大大降低（像本文举例中所用的联想式命令，几乎可以使得培训时间接近于0），把更多的时间和精力投入到具有创造性的教书育人的工作之中。这样，少数软件设计人员多花费点时间和精力，让成千上万的老师节约更多的时间，使社会人力资源得到更合理的使用。这个问题在教育信息化中相当重要，可惜至今还很少有人研究。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hw1o.html