2011朝阳区期中理科--答案正式

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学测试题答案（理工类） 2011.11

一、选择题： 题号 答案 （1） D （2） B （10） （3） B （11） （4） C （5） A （12） （6） C （7） C （13） （8） A （14） 二、填空题： 题号 （9） 答案 1 730 π6?2； 44(?2k,?2k?1)；1k??1或? 10??2,??? ?5或9 （注：两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)当a?1时, 由已知得x(x?2)?0.

解得0?x?2.

所以M?{x|0?x?2}. ???????3分 (Ⅱ) 由已知得N?x?1?x?3. ???????5分 ①当a??1时, 因为a?1?0，所以M?{x|a?1?x?0}.

因为M?N，所以?1?a?1?0，解得?2?a??1;

?????8分 ②若a??1时, M??，显然有M?N，所以a??1成立;

?????10分 ③若a??1时, 因为a?1?0，所以M?{x|0?x?a?1}.

又N?x?1?x?3，因为M?N，所以0?a?1?3,解得?1?a?2. ?????12分 综上所述,a的取值范围是[?2,2]. ?????13分 （16）（本小题满分13分）

解：（I）因为f(x)?a?b+1=2sinxcosx?cos(π?x)?2cosx?1 ?2sinxcosx?2cosx?1

=sin2x?cos2x, ????4分 所以f(?)??1. ?????6分

1

2????π4 （II）由（I）得，f(x)=sin2x?cos2x=2sin(2x?). ????8分 因为x??0,?，所以2x????,?. ????9分

4?44??2??4?π???π3π??????时，即x?时，f(x)的最大值是2； ????11分 428?? 当2x???时，即x?0时，f(x)的最小值是?1. ????13分

44 所以当2x?（17）（本小题满分13分）

解：（I）由题意，当n?1时，得2a1?a1?3，解得a1?3. 当n?2时，得2a2?(a1?a2)?5，解得a2?8. 当n?3时，得2a3?(a1?a2?a3)?7，解得a3?18.

所以a1?3，a2?8，a3?18为所求. ?????3分 (Ⅱ) 因为2an?Sn?2n?1，所以有2an?1?Sn?1?2n?3成立. 两式相减得：2an?1?2an?an?1?2.

所以an?1?2an?2(n?N)，即an?1?2?2(an?2). ????5分 所以数列?an?2?是以a1?2?5为首项，公比为2的等比数列. ?????7分 （Ⅲ）由(Ⅱ) 得：an?2?5?2n?1，即an?5?2n?1?2(n?N).

则nan?5n?2n?1?2n(n?N). ?????8分

n?1 设数列5n?2的前n项和为Pn,

?????012 则P)?2n?2?5?n?2n?1， n?5?1?2?5?2?2?5?3?2?...?5?(n?1123n?1 所以2P?5n?2n， n?5?1?2?5?2?2?5?3?2?...?5(n?1)?2 所以?Pn?5(1?2?2?...?2?12n?1)?5n?2n，

n 即Pn?(5n?5)?2?5(n?N). ?????11分

所以数列?n?an?的前n项和Tn=(5n?5)?2?5?2?nn(n?1)， 2 整理得，Tn?(5n?5)?2?n?n?5(n?N). ?????13分

n2? 2

（18）（本小题满分13分）

解：（I）因为cosB? 又sin2B?cos237，所以sinB?. ????1分 44A?Cπ?B?2sinBcosB?cos2 221 ?2sinBcosB?(1?cosB)

2 =2?7311?37. ?????6分 ?+=

4488a2?c2?b23?， ????7分 （II）由已知得cosB?2ac4 又因为b?3， 所以a?c?3? 又因为a?c?22223ac. ????8分 23ac?3?2ac， 2 所以ac?6，当且仅当a?c?6时，ac取得最大值. ????11分 此时S?ABC?11737. acsinB??6??224437. ?????13分 4 所以?ABC的面积的最大值为（19）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由已知得：k(x)?f?(x)?ax2?bx?c. ?????1分

由g(x)?k(x)? 显然有b?11x为偶函数，得g(x)?ax2?bx?c?x为偶函数， 221. ????2分 21. ????3分 2 又k(?1)?0，所以a?b?c?0，即a?c? 又因为k(x)?121x?对一切实数x恒成立， 22122即对一切实数x，不等式(a?)x? 显然，当a?11x?c??0恒成立. ????4分 221时，不符合题意. ????5分 2 3

当a?1时，应满足 21?a??0,??2 ????1?4(a?1)(c?1)?0.??422注意到a?c? 所以k(x)?11 ，解得a?c?. ????7分 241211x?x?. ?????8分 424n2?2n?1(n?1)214??（Ⅱ）证明：因为k(n)?，所以.???9分 244k(n)(n?1)要证不等式

1112n成立, ?????k(1)k(2)k(n)n?2即证

111n?????. ????10分 22223(n?1)2n?4 因为

1111???, ????12分

(n?1)2(n?1)(n?2)n?1n?2111111111???????????? 2232(n?1)22334n?1n?211n??. 2n?22n?4 所以

?所以

1112n?????成立. ?????14分 k(1)k(2)k(n)n?2（20）（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)显然函数f(x)的定义域是(0,??). ????1分

1a(x?1)(x?)1a. ????2分 由已知得，f'(x)??ax?a?1??xx ⑴当a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1; 令f'(x)?0,解得x?1.

所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减. ????3分 ⑵当a?0时， ①当?11?1时，即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1; aa 4

1?x?1. a11 所以，函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(?,1)上单调递减;

aa 令f'(x)?0,解得? ????4分

1?1时，即a??1时, 显然，函数f(x)在(0,??)上单调递增； ???5分 a11 ③当??1时，即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x??;

aa1 令f'(x)?0,解得1?x??.

a11 所以，函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增,在(1,?)上单调递减.

aa ②当? ????6分 综上所述，⑴当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减； ⑵当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(? ⑶当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增； ⑷当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?1a1,1)上单调递减； a11,??)上单调递增,在(1,?)上单调递减. aa ?????7分 (Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.

设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?f(x)上的不同两点，且0?x1?x2， 则y1?lnx1?121ax1?(a?1)x1，y2?lnx2?ax22?(a?1)x2. 22 kAB1(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)y?y2 ?21?x2?x1x2?x1 ?lnx2?lnx11?a(x1?x2)?(a?1) ????8分

x2?x12曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率

k?f?(x0)?f?(x1?x2x?x2)??a?12?(a?1)， ????9分 2x1?x22 依题意得：

lnx2?lnx11x?x2?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1).

x2?x12x1?x225

化简可得：

lnx2?lnx12， ?x2?x1x1?x22(x2?1)x1. ????11分

x2?1x1 即lnx22(x2?x1)?=

x1x2?x1 设

2(t?1)4x2?2?, ?t (t?1)，上式化为：lnt?t?1t?1x1 即lnt?4?2. ????12分 t?1414(t?1)2 令g(t)?lnt?,g'(t)??. ?t?1t(t?1)2t(t?1)2 因为t?1,显然g'(t)?0，所以g(t)在(1,??)上递增, 显然有g(t)?2恒成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?4?2成立. t?1 综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”. ?????14分

6

化简可得：

lnx2?lnx12， ?x2?x1x1?x22(x2?1)x1. ????11分

x2?1x1 即lnx22(x2?x1)?=

x1x2?x1 设

2(t?1)4x2?2?, ?t (t?1)，上式化为：lnt?t?1t?1x1 即lnt?4?2. ????12分 t?1414(t?1)2 令g(t)?lnt?,g'(t)??. ?t?1t(t?1)2t(t?1)2 因为t?1,显然g'(t)?0，所以g(t)在(1,??)上递增, 显然有g(t)?2恒成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?4?2成立. t?1 综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”. ?????14分

6

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