高中数学 第3章 2第1课时 实际问题中导数的意义课时作业 北师大版选修2-2

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【成才之路】高中数学 第3章 2第1课时 实际问题中导数的意义

课时作业 北师大版选修2-2

一、选择题

1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示( ) A．t＝t0时做的功 C．t＝t0时的位移 [答案] D

[解析] W′(t)表示t时刻的功率．

2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t，(s的单位是s，t的单位是s)，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )

A．7米/秒 C．5米/秒 [答案] C

[解析] s′(t)＝2t－1， ∴s′(3)＝2×3－1＝5.

3．如果质点A按规律s＝3t运动，则在t＝3时的瞬时速度为( ) A．6 C．54 [答案] B

Δs[解析] 瞬时速度v＝Δlim ＝Δlim t→0Δtt→0

＋Δt－3×3

＝Δlim3(6＋Δt)＝18. t→0Δt2

2

2

2

B．t＝t0时的速度 D．t＝t0时的功率

B．6米/秒 D．8米/秒

B．18 D．81

4．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( )

[答案] D

[解析] 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．

选项A表示面积的增速是常数，与实际不符； 选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；

选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符； 选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际． [点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．

5．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为( )m/s

A．t0＋3t0 C．3t0＋3t0 [答案] B

[解析] ∵v′(t)＝3t＋3，

则当t＝t0s时的速度变化率为v′(t0)＝3t0＋3(m/s)． 即t＝t0s时轿车的加速度为(3t0＋3)m/s.

[点评] 运动方程s＝s(t)的导数表示的是t时刻时的瞬时速度，速度方程v＝v(t)的导数表示的是t时刻时的加速度．

二、填空题

6．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________．

[答案] 服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加． 7．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．

[答案] 0.08

[解析] 因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)＝1.05，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．

因为p′(t)＝(1.05)′＝1.05·ln1.05，

ttttt2

2

2

2

2

33

3

2

B．3t0＋3 D．t0＋3

3

2

所以p′(10)＝1.05×ln1.05≈0.08(元/年)．

因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．

8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________． [答案]

34V

10

12

[解析] 设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x·sin60°·l，

2∴l＝4V.∴S表＝2S底＋3S侧＝x·sin60°＋3·x·l＝2

2

3x3243Vx＋. 2x43V令S表′＝3x－2＝0

x3333

∴x＝4V，即x＝4V，又当x∈(0，4V)时，S表′<0；当x∈(4V，V)时，S表′>0 3

∴当x＝4V时，表面积最小． 三、解答题

9．甲、乙二人跑步的路程与时间的关系及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①②，试问：

(1)甲、乙二人哪一个跑得快？

(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时谁跑得较快？

[分析] 用路程与时间的关系以及导数的几何意义来比较甲、乙二人谁跑得快． [解析] 从图①可以看出在相同的时刻t，乙跑的路程要比甲跑的路程远，所以乙跑得快．

从图②可以看出甲是匀速跑的，而乙快到终点时，变化率越来越大，即速度越来越快，所以快到终点时乙跑得较快．

10．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本

C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求：

(1)日产量75件时的总成本和平均成本；

(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本．

1C2

[解析] (1)当x＝75时，C(75)＝×75＋60×75＋2 050＝7 956.25(元)，∴

475

1

4

≈106.08(元/件)．

故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7 956.25元，106.08元/件． ΔCC(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量＝

Δx101.25(元/件)．

(3)当日产量为75件时的边际成本 1

∴C′(x)＝x＋60，

2∴C′(75)＝97.5(元).

一、选择题

1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )

A．t＝1s时的速度 B．t＝1s时的加速度 C．t＝1s时的位移 D．t＝1s时的平均速度 [答案] B

[解析] v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．

2．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t－5t(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是( )

A．14 C．10 [答案] A

[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t－10t.

所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.

3．下列四个命题：

①曲线y＝x在原点处没有切线； ②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；

③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数； ④函数y＝x的导函数的值恒非负． 其中真命题的个数为( ) A．1

B．2

53

2

3

2

－C90－75

＝

B．4 D．6

C．3 [答案] A

D．4

[解析] ①中y′＝3x，x＝0时，y′＝0，∴y＝x在原点处的切线为y＝0； ②中f(x)在x＝0处导数不存在； ③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度； ④中y′＝5x≥0.

所以命题①②③为假命题，④为真命题．

4．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C [答案] D

[解析] 本题主要考查导数的有关应用． 432

根据题意，V＝πR(t)，S＝4πR(t)，

3球的体积增长速度为V′＝4πR(t)·R′(t) 球的表面积增长速度S′＝2·4πR(t)·R′(t)， 又∵球的体积以均匀速度C增长，

∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C． 二、填空题

5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝3t＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.

3

[答案]

2

[解析] s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，设6t＋1＝10， 3则t＝. 2三、解答题

6．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：

2

2

4

23

(1)f′(t)的符号是什么？为什么？

(2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65℃，你能画出函数在点t＝3min时图像的大致形状吗？

[解析] (1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数．

(2)f′(3)＝－4表明在3min附近时，温度约以4℃/min的速度下降，如图所示． 7．当销售量为x，总利润为L＝L(x)时，称L′(x)为销售量为x时的边际利润，它近似等于销售量为x时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．

某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C(x)＝100＋2x＋0.02x，R(x)＝7x＋0.01x.

求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg和300 kg时的边际利润． [解析] (1)总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x，边际利润函数为

2

2

2

L′(x)＝5－0.02 x.

(2)当日产量分别是200 kg、250 kg和300 kg时的边际利润分别是L′(200)＝1(元)，

L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．

8.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35nmile/h，A地至B地之间的航行距离约为500nmile，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(nmile/h)的函数：y＝f(x)； (2)求x从10变到20的平均运输成本； (3)求f′(10)并解释它的实际意义．

500480 0002

[解析] (1)依题意得y＝(960＋0.6x)＝＋300x，函数的定义域为0

xx480 000所以y＝＋300x(0

x480 000480 000Δy(2)Δy＝f(20)－f(10)＝＋300×20－(＋300×10)＝－21 000，∴

2010Δx－21 000

＝＝－2 100. 20－10

即x从10变到20的平均运输成本为－2 100元，即每小时减少2 100元．

480 000

(3)f′(x)＝－＋300， 2

x48 000∴f′(10)＝－＋300＝－4 500.

10

f′(10)表示当速度x＝10 nmile/h，速度每增加1 nmile/h，每小时的运输成本就要减

少4 500元．

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