2013年全国中考数学（100套）选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题01：代数问题

专题1：代数问题

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一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】

1. （2013年湖南永州3分）我们知道，一元二次方程x=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i=﹣1（即方程x=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i=i，i=﹣1，i=i?i=（﹣1）?i=﹣i，i=（i）

2

1

2

3

2

4

2

2

2

2

=（﹣1）=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i

2

3

4

2012

24n+1

=i?i=（i）?i=i，同理可得i

4n4n4n+2

=﹣1，i

4n+3

=﹣i，

i=1．那么i+i+i+i+…+i

4n

+i

2013

的值为【 】

[来源学*科*网]A．0 B．1 C．﹣1 D．i

2. （2013年山东泰安3分）观察下列等式：

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187… 解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是【 】 A．0 B．1 C．3 D．7

3. （2013年山东潍坊3分）对于实数x，我们规定?x?表示不大于x的最大整数，例如?1.2??1，?3??3，

x?4???2.5???3，若????5，则x的取值可以是【 】.

?10?A.40 B.45 C.51 D.56

4. （2013年四川宜宾升学3分）对于实数a、b，定义一种运算“?”为：a?b?a2?ab?2，有下列命题：①1?3=2；

②方程x?1=0的根为：x1=－2，x2=1；

????2??x?4<0③不等式组?的解集为：﹣1＜x＜4；

??1?x?3<0?15? ?在函数y?x???1?的图象上． ④点?，22??其中正确的是【 】 A．①②③④

B．①③

C．①②③

D．③④

二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 1. （2013年湖南怀化3分）分解因式：x2?3x?2? ▲ .

2. （2013年湖北黄石3分）在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。已知二进位制与十进位制的比较如下表：

请将二进制数10101010写成十进制数为 ▲ .

3. （2013年浙江台州5分）任何实数a，可用?a?表示不超过a的最大整数，如?4??4,?3??1，现对72进

第1次第2次第3次?????????行如下操作：72????72??8????8??2????2??1，这样对72只需进行3次操作后变为

1，类似地，①对81只需进行 ▲ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ▲ . 【答案】①3；②255。

4. （2013年山东滨州4分）观察下列各式的计算过程： 5×5=0×1×100+25， 15×15=1×2×100+25， 25×25=2×3×100+25， 35×35=3×4×100+25， …

[来源学*科*网]

请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为 ▲ ．

5. （2013年山东济宁3分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有 ▲ 盏灯．

6. （2013年山东莱芜4分）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为 ▲ ．

2??a?ab?a?b?7. （2013年山东临沂3分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b??．例如4﹡2，因为4＞2，2??ab?a?a

22

8. （2013年山东淄博4分）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是 ▲ ．

[来源:学&科&网]

9. （2013年江苏淮安3分）观察一列单项式：1x，3x，5x，7x，9x，11x，…，则第2013个单项式是 ▲ ．

2222

?1111??11111??11111??1111?10.（2013年江苏南京2分）计算?1?????????????1????????????2345??23456??23456??2345?的结果是 ▲ 。

[来源:Z_xx_k.Com]

11. （2013年江苏南通3分）已知x?2m?n?2和x?m?2n时，多项式x2?4x?6的值相等，且m?n?2?0，则当x?3?m?n?1?时，多项式x2?4x?6的值等于 ▲ 。

【答案】3。

12. （2013年贵州黔东南4分）观察规律：1=1；1+3=2；1+3+5=3；1+3+5+7=4；…，则1+3+5+…+2013的值是 ▲ ．

2

2

2

2

?x?a?013. （2013年宁夏区3分）若不等式组?有解，则a的取值范围是 ▲ ．

1?2x＞x?2?

∴a的取值范围是a＞﹣1。

14. （2013年四川乐山3分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若．．

n?11?x＝n，如<0.46>=0，<3.67>=4。给出下列关于的结论： 22①<1.493>=1； ②<2x>=2； ③若

1x?1=4，则实数x的取值范围是9?x<11； 2④当x≥0，m为非负整数时，有m?2013x=m?2013x； ⑤x?y=x?y。

其中，正确的结论有 ▲ （填写所有正确的序号）。

三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】

1. （2013年湖北孝感10分）已知关于x的一元二次方程x2??2k?1?x?k2?2k?0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得x1?x2?x12?x22?0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

2. （2013年浙江舟山10分）某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量． （1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？

（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？

（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%．每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？

3. （2013年浙江衢州10分）“五?一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示． （1）求a的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．

（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？

[来源:Z|xx|k.Com]

【分析】（1）根据原有的人数﹣a分钟检票额人数+a分钟增加的人数=520建立方程求出其解就可以。

4. （2013年浙江嘉兴12分）某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量． （1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？

（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？

5. （2013年浙江温州10分）某校举办八年级数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后计入总分。下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）

（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四项得分分别按10%，40%，20%，30%折算计入总分，根据猜测，求出甲的总分；

（2）本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包括80分）的学生获一等奖。现获悉乙、丙的总分分别是70分，80分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问：甲能否获得这次比赛的一等奖？

[来源

6. （2013年山东菏泽10分）已知：关于x的一元二次方程kx2??4k?1?x?3k?3?0 （k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y?x2?x1?2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．

7. （2013年江苏扬州12分）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= ▲ ，d（10-2）= ▲ ； （2）劳格数有如下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（

m ）=d（m）-d（n）． n根据运算性质，填空：

d?a3?d?a?= ▲ （a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）= ▲ ，d（5）

= ▲ ，d（0.08）= ▲ ；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．

8. （2013年贵州黔东南12分）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式； （2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？

9. （2013年贵州黔西南12分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

2（1?2）式子的平方，如：3?22?，善于思考的小明进行了以下探索：

设a?b2?m?n2??（其中a、b、m、n均为整数），则有 a?b22?m2?2n2?2mn2．

∴a?m2?2n2，b?2mn．这样小明就找到了一种把部分a?b2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a?b3?m?n3▲ ，b＝ ▲ ；

??2，用含m、n的式子分别表示a、b，得 a＝

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ▲ ＋ ▲ 3＝( ▲ ＋ ▲

3)2；

（3）若a?43?m＋n3??，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．

2

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