第04章 间接平差

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第四章12 3 4

间接平差

§1 间接平差原理§2 误差方程式 §3 间接平差的法方程 §4 间接平差的精度评定

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§5 间接平差实例

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教 学 目 的● 理解间接平差的基本思想● 理解间接平差的基本原理

● 掌握间接平差的方法和精度评定● 能用间接平差进行水准网平差

● 能用间接平差进行平面控制网平差

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两点之间最短的距离不一定是直线在人与人的相处以及做事情的过程中，我们有时很 难直截了当就把事情做好。我们有时需要等待，有时需

要合作，有时需要技巧。当我们遇到困难时，我们先要学会分析自己有没有这个能力去克服，如果暂时还没有， 那我们不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择绕过困难， 绕过障碍，这并不是逃避，更不是轻意放弃，而是换一 条路继续前行，或许这样，一切会变得更顺利。“通往

广场的路不止一条”告诉我们的也是这个道理。

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§1 间接平差原理1.间接平差的基本思想

在测量工作中，确定某些量或某个图形所需要的最少观测 个数 t ,称为必要观测数。 例如，为了确定三角形的形状，我们观测了其中的两个内 角，则三角形的形状可由这两个内角唯一确定，不需要进行平 差，该问题必要观测数 t =2。 但为了能及时发现粗差并提高测量成果的精度，通常对三 个内角都进行观测。由于观测误差的存在，致使观测值之间产 生不符值，即三角形内角和不等于180°,三角形的形状不能唯 一确定，需要采用测量平差的方法来进行处理，消除矛盾，获

取最优结果，最终唯一确定三角形的形状。

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那么，当观测结果存在多余观测的情况时，如何

应用测量平差方法解决因多余观测而产生有矛盾呢?在上一章中，我们介绍了条件平差方法 它是以 n

个观测值的平差值作为未知数，通过它们之间存在的r 个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用 求条件极值的原理来解出唯一的那组改正数，从而求 得各观测量的最或是值 本章将介绍测量平差的另一基本方法—间接平差 法。

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下面就来讨论间接平差法怎样解决问题

如图4-1所示的单三角形，三角形的形状可由任意两个 内角唯一确定，我们不妨选取两个内角(如∠1和∠2)作为未

知参数，这两个角的大小一经确定，这个三角形的形状便唯一确定了，第三个角 ∠3=180°-∠1- ∠2,也就是说， 其它各量都可以表示成这 t 个独立未知参数的函数。

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设同精度观测三个内角分别为L1,L2,L3,其改正数为 L v ,L L v ,L L v ,选择 v1,v2,v3,平差值 L

1 1 1 2 2 2 3 3 3

t =2个量作为未知参数(未知数),这里就以∠1 ∠2的平差值 和X 可惟一确定该三角形的形状。 、X 为未知数，由 X X 1 2 1 2

而每一个观测值的平差值都可表示为两个未知数的函数，即 L1 v1 X 1 L v X2 2

(4-1)

2

X 180 L3 v3 X 1 2

式(4-1)为观测量的平差值与未知参数间的函数关系，称平差 值方程。将L1,L2,L3移至等式右端，可得误差方程 L v1 X 1 1 L v X2 2 2

(4-2)

X 180 L v3 X 1 2 3

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式(4-2)中未知数

、X X 1 2

的数值一经确定，与其相应

的一组改正数便随之确定。对任意的一组未知量，都可 求得一组对应的改正数，且不论未知数取何值，只要是

由式(4-2)求得的改正数，都满足下式(L1+v1)+(L2+v2)+(L3+v3)=180° 这说明由式(4-2)求得的改正数，都可达到消除不符

值的目的。但由式(4-2)所求得的改正数随未知数的取值不同而不同，有无穷多组解。而我们希望最终得到是这 无穷多组解中是最优的那一组解。那么怎样来获取这样 最优的那一组解呢?测量平差中，就是依据最小二乘法 原理来获取最优解的。

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根据最小二乘法原理的要求，在这无穷多组解中应选取其中能使V TPV=min(最小)的那一组改正数，它是最优的。 考虑到观测值等精度，观测值的权为1,权阵为单位阵， VTPV=min可表达为2 2 2 V TV v1 v2 v3 min

将式(4-2)代入，得V TV=(X1-L1)2 + (X2-L2)2 + (-X1-X2 + 180°-L3)2 =min

由于未知数X1、X2之间不存在关系，是自由变量，要使 L 上式为最小，可按数学中自由极值的求解方法，使 v1 X 1 1 T V V v2 X 2 L2 0 (4 2) X 1 180 v3 X 1 T X L 2 3 V V X 2 0

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得法方程 2X1 + X2 -L1 + L3-180°=0 X1 + 2X2-L2 + L3-180°=0 上式称为法方程，解算可得未知数X1、X2的最优估计值

X1=L1-(L1 + L2 + L3-180°)/3X2=L2-(L1 + L2 + L3-180°)/3 将X1、X2代入式(4-2)求得改正数 v1= -(L1 + L2 + L3-180°)/3 v2= -(L1 + L2 + L3-180°)/3 L v1 X 1 1 L v X2 2 2

v3= -(L1 + L2 + L3-180°)/3

X 180 L v3 X 1 2 3 (4 2)

由改正数便可求出观测值的平差值。

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综上所述，间接平差法思想：针对具体的平差问题，选定 t 个未知量，建立观测值的平差值与未知数间 的函数关系(列平差值方程),进而转化为误差方程(将 观测值移到等号的右边),并依据最小二乘法原理，按 求自由极值的方法解算出未知量的最优估值。 间接平差法是以最小二乘为平差原则，以平差值 方程、误差方程作为函数模型的平差方法。

下面介绍间接平差法的一般公式。

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2.间接平差的基本原理设某平差问题中，有n个独立观测值L1,L2,…,Ln,其相应的权为P1,P2,…,Pn,权阵为

0 P1 0 0 P 0 2 P 0 0 P n ,X , 必要观测数为 t,选定 t 个未知参数，分别以 X 1 2未知数的函数，即列出 n 个平差值方程

,X t

表示 t 个未知参数的最优估值，将每一个观测值的平差值表达为

b X t X d L1 v1 a1 X 1 1 2 1 t 1 b X t X d L2 v2 a2 X 2 2 2 2 t 2 b X t X d Ln vn an X 1 n 2 n t n

(4-3)

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将式中观测值移至等式右端，并令 li = Li – di (i=1,2,…,n) 得到误差方程的一般形式为 b X v1 a1 X 1 1 2 b X v a X l t1 X t 1 t 2 X t l2 2 2 2 2 2 b X t X l v n an X 1 n 2 n t n

(4-4)

(4-5)

令

v1 v V 2 n 1 vn

V v1 n 1

v2

vn

T

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l1 l l 2 n 1 ln X 1 X 2 X t 1 X n

n 1

l l1

l2

ln

T

X X 1 t 1

X 2

X n

T

a1 a B 2 n t an

b1 b2 bn

t1 t2 tn

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则可得误差方程的矩阵形式 l V BXn 1 n t t 1 n 1

(4-6)

满足式(4-6)的解有无穷多组，为求解惟一一组最优估

必须满足 VTPV=min 值，根据最小二乘法原理，上式的 X的要求，由于 t 个参数独立，可按数学中求自由极值的方

法，使

V T PV V T 2V P 2V T PB 0 X X转置后得 BTPV = 0 (4-7)

满足上式 t 个方程的改正数便能使 VTPV 取得极小值。

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l V BX BT PV 0

(4 6) (4 7)

以上所得的式(4-6)和式(4-7)中，待求量的个数是 n 个改正数V 加 t 个未知参数，方程的个数为n+ t,有惟一

的解。满足这两个方程的解，可消除观测值之间的不符值，同时又是符合最小二乘法原理的最优估值，故称式 (4-6)和式(4-7)为间接平差的基础方程。 解算这组基础方程，通常是将式(4-6)代入式(4-7), 以便先消去V,得 BT Pl 0 BT PBX (4-8)

令NBB=BTPB,W=BTPl,并代入式 (4-8),得： W 0 (4-9) N XBB

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由式(4-8)或式(4-9)可解算出未知数，称该方程组为

间接平差的法方程。解之得t 1

N 1 W X BB

或

t 1

-1 T X (BT PB) B Pl

代入误差方程可得改正数V 将X l V BXn 1 n t t 1 n 1

观测值的平差值为 L V L 当权

阵P为对角阵，即观测值之间相互独立时，将误差方程的系数阵B、常数阵 l 及权阵P代入法方程(4-8)中， 展开后，可得法方程的纯量形式为

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[ pab] X [ paa ] X 1 2 [ pbb] X [ pab] X1 2

[ pbt ] X [ pat ] X 1 2

[ pal ] 0 [ pat ] X t [ pbl ] 0 [ pbt ] X t (4-11) [ ptt ] X t [ ptl ] 0

,再将未 实际计算时，先由式(4-9)解算未知数 X

知数代入误差方程式(4-6),计算观测值的改正数V, ,这 由改正数V与观测值求和即得观测值的平差值 L

些平差值之间已经消除了矛盾。至此，解决了间接平 差中求最或是值的问题。

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3.间接平差求平差值的步骤及示例 根据上述原理，实际间接平差法的计算步骤如下: (1) 根据平差问题的性质，确定必要观测个数 t , 选定 t 个独立量作为未知参数；

(2) 将每一个观测量的平差值分别表达成所选未知参数的函数，即平差值方程，并列出误差方程； (3) 由误差方程的系数 B 与自由项 l 组成法方程，

法方程个数等于未知数的个数 t ; ,计算未知参数 (4) 解算法方程，求解未知参数 X

的平差值； 代入误差方程，求解改正数， (5) 将未知参数 X

并求出观测值的平差值。

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间接平差步骤选择 t 个独立未知参数 L V Ln 1

V BX lBT PV 0

n 1

n 1

[ pvv] V T PV[ pvv ] r

BT PBX BT Pl 0

0

N BB X W 0

1 X N BB W

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hvrj.html