人教版2016第一轮复习理科数学课时提升作业(十八) 3.3三角函数的图像与性质 Word版含答案

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课时提升作业(十八)

三角函数的图像与性质

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2015·西安模拟)设函数y=2sin2x-1的最小正周期为T,最大值为M,则

( )

A.T=π,M=1

B.T=2π,M=1

C.T=π,M=2

D.T=2π,M=2

【解析】选A.由于三角函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的最小正周期T=,最大值为A+B;所以函数y=2sin2x-1的最小正周期T==π,最大值M=2-1=1.

2.(2015·榆林模拟)在(0,2π)内,使|sinx|≥cosx 成立的x 的取值范围为

( ) A.

B. C. D.∪

【解析】选A.在同一坐标系中画出函数y=|sinx|,y=cosx 的图像,如图可知,两交点横坐标分别为

,π,所以|sinx|≥cosx

成

- 2 - 立的x

的取值范围是≤x ≤π.

3.(2015·新余模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,则φ可能是 ( ) A. B.- C. D.

【解析】选C.因为函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,所以2〓+φ=k π+,k ∈Z,所以φ=k π+,k ∈Z,当k=0时,φ=,故选C.

【加固训练】如果函数y=3sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,则|φ|的最小值为 ( ) A. B. C. D.

【解析】选A.由题意,得sin

=〒1. 所以+φ=+k π,

即φ=+k π(k ∈Z),

故|φ|min =.

4.已知函数f(x)=cosx 在区间[a,b]上是减少的,且f(a)+f(b)=0,则a+b 的值可能是 ( )

A.0

B.π

C.2π

D.3π

【解题提示】结合余弦函数f(x)=cosx 的图像解答.

【解析】选B.因为

f(a)+f(b)=0,

所以f(a)=-f(b).

由余弦函数f(x)=cosx 的图像知

区间[a,b]的中点是+2kπ,(k∈Z),

所以a+b=2=π+4kπ(k∈Z),

故a+b的可能值是π.

5.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[-2π,0]上是增加的

B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增加的

C.f(x)在区间[3π,5π]上是减少的

D.f(x)在区间[4π,6π]上是减少的

【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可. 【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,

所以ω=,

因为当x=时,f(x)有最大值,

所以〓+φ=+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),

因为-π<φ≤π,所以φ=.

所以

f(x)=2sin,由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增加

的,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增加的.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.函数y=的定义域是.

【解析】由tanx-1≥0,得tan≥1.

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所以kπ+≤x<kπ+(k∈Z).

答案:(k∈Z)

7.cos23°,sin68°,cos97°从小到大的顺序是. 【解析】sin68°=sin(90°-22°)=cos22°.

因为余弦函数y=cosx在[0,π]上是单调递减的.

且22°<23°<97°,

所以cos 97°<cos23°<cos22°.

答案:cos97°<cos23°<sin68°

8.(2015·天津模拟)函数

f(x)=-sin,x

∈的最大值

是.

【解题提示】先由x的取值范围确定2x-的范围,再根据正弦曲线求解.

【解析】因为x ∈,

所以-≤2x-≤.

根据正弦曲线,得当2x-=-时.

sin取得最小值为-.

故f(x)=-sin 的最大值为.

答案:

【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1.

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.若x∈[0,π],且满足cosx≤0,

求函数f(x)=的最大、最小值.

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【解题提示】先求x的取值范围,然后换元求解.

【解析】由x∈[0,π],且满足cosx≤0,得x ∈.

f(x)==

令t=sinx,则t∈[0,1],

y==,

所以f(x)max ==,f(x)min=2.

10.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值.

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

【解析】(1)因为f(x)=2sin的最小正周期为π,且ω>0. 从而有=π,故ω=1.

(2)因为f(x)=2sin.

若0≤x ≤,则≤2x+≤.

当≤2x+≤,即0≤x ≤时,

f(x)是增加的;

当<2x+≤,

即<x ≤时,f(x)是减少的.

综上可知,f(x)在区间上是增加的,在区间上是减少的

.

(20分钟40分)

1.(5分)(2015·池州模拟)若θ∈(0,2π),则使0<sinθ<成立的θ的取值范围是( )

A. B.

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C. D.∪

【解析】选D.如图为y=sinx的图像,根据图像可得

因为0<sinθ<,0<θ<2π,所以0<θ<或π<θ<π,故选

D.

2.(5分)(2015·六安模拟)如果函数y=3cos(2x+φ)

的图像关于点

中心对称,那么|φ|的最小值为( )

A. B. C. D.

【解析】选A.函数关于点中心对称,则有3cos=0,

即

cos=0,所以

cos=0,

即+φ

=+kπ,k∈Z,即φ

=-+kπ,k∈Z,所以当k=0时,|φ|=,此时|φ|最小.

3.(5分)若S n =sin +sin+…+sin(n∈N*),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是

( ) A.16 B.72 C.86 D.100

【解析】选C.因为函数f(x)=sin的最小正周期为T=14,

又sin >0,sinπ>0,…,sinπ>0,sinπ=0,

sinπ<0,…,sinπ<0,sinπ=0,

所以在S1,S2,S3,…,S13,S14中,只有S13=S14=0,其余均大于0.

由周期性可知,在S1,S2,…,S100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.

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【加固训练】若f(x)=sin,x∈[0,2π],关于x的方程f(x)=m 有两个不相等实数根x1,x2,则x1+x2等于( )

A.或

B.

C. D.不确定

【解析】选A.对称轴x=+kπ∈[0,2π],得对称轴x=或x=,所以x1+x2=2〓=或x1+x2=2〓=,故选A.

4.(12分)已知函数f(x)=2asin+b 的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.

【解题提示】先求出2x-的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b 的方程组,可求解.

【解析】易知a≠0.

因为0≤x ≤,所以-≤2x-≤π.

所以-≤sin≤1.

若a>0,则解得

若a<0,则解得

综上可知,a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,b=19-12.

5.(13分)(能力挑战题)函数y=2cos(ωx+θ)

的图像与y轴交于点(0,),且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值.

(2)已知点A,点P是该函数图像上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=,x0∈时,求x0的值.

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【解题提示】(1)将M点坐标代入已知函数,计算可得cosθ,由θ范围可得其值,由ω=结合已知可得ω的值.

(2)由已知可得点P 的坐标为,代入y=2cos,并结合x0∈和三角函数值运算即可得出所求答案.

【解析】(1)将x=0,y=代入函数y=2cos(ωx+θ)中,得cosθ=, 因为0≤θ≤,所以θ=,

由已知T=π,且ω>0,得ω===2.

(2)因为点

A,Q(x0,y0)是PA的中点,y0

=,所以点P

的坐标为.又因为点P在y=2cos的图像上,且≤x0≤π,所以

cos

=,

且≤4x0

-

≤,从而得4x0

-

=,或4x0-

=,即x0=,或x0=.

【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=.

(1)求φ.

(2)求函数y=f(x)的单调增区间.

【解析】(1)令2〓+φ=kπ+,k∈Z,

所以φ=kπ+,又-π<φ<0,则-<k<-,

所以k=-1,则φ=-.

(2)由(1)得:f(x)=sin,

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

可解得+kπ≤x ≤+kπ,k∈Z,

因此y=f(x)的单调增区间为,

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k∈Z.

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