高中数学教育教学论文 浅谈导数的应用

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：

p 1: y -(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x -x 1)即：

y=(2x 1+2) x -x 12 ①

函数y=-x 2+a 的导函数y ‘=-2x

曲线c 2在点Q （x 2, -x 22+a ）的切线方程为：

P 2：y -(-x 22+a)=-2x 2 (x -x 2)即：

y=-2x 2x+x 22+a ②

如果l 是个点P 和点Q 的公切线，则①和②均为l 的方程 有：???+=--=+a x x x x 2221

21

1 消去x 2得：0122121=+++a x x 令,2

1,21,0)1(2441-=-==+?-=?x a a 此时点P 和Q 重合。 21,21c c a 和时-=∴有且仅有一条公切线，公切线方程为：4

1-=x y 。 [评述]导数的几何意义使得导数与解析几何结合奠定了基础，而本题引入公切线新颖别致，交汇自然，同时本题又渗透了同一法的解题思想。

二、 利用导数求函数的单调区间

2 若函数)(x f y =在某个区间内可导，则当0)('>x f 时，)(x f 在此区间内为单调增函数：当0)('<x f 时，)(x f 在此区间上为单调减函数。

利用上述结论，可以研究函数的单调性。

例2：（2004全国高考试题）已知的单调区间求函数ax e x x f R a ?=∈2)(,。 解：函数f(x)的导数

ax ax e ax e x x f ?+?=2'2)(

ax e ax x )2(2+=

(1) 当a=0时，若x<0，则0)(,0;0)(''

>><x f x x f 则若

.),0(,)0,()(,0为增函数在区间为减函数在函数时当+∞-∞=∴x f a

(2) 0)2()(,02'>?+=>ax e ax x x f a 由时当解得：02>-<x a

x 或 0)2()(2'<?+=ax e ax x x f 由解得：.02<<-x a

∴当a>0时，函数f(x)在区间（-10，-a

2）及区间（0，+∞）为增函数，在区间（-a

2，0）内为减函数。 (3) 当a<0时，由a

x x f 20:,0)('-<<>解得. 由.20:,0)('a

x x x f -><<或解得 .)2,0()(,0内为增函数在区间函数时当a x f a -<∴，在区间（-10，0）及区间（-a

2，+∞）内为减函数。

[评述]本题考查导数的概念和运算，应用导数研究函数单调性的方法，同时考查了分类讨论的思想。 例3：证明：当)1(0x l x x n +>>时

解：设)1()(x l x x f n +-=

当0>x 时，01111)('>+=+-=x

x x x f

3 又)(x f 在0=x 处连续， ∴),0()(+∞在x f 单调逐增

∴当x>0时，0)0()1()(=>+-=f x l x x f n

即)1(x l x n +>成立

[评述]：本题根据所给不等式的特征，构造一个函数，并利用导数判断函数的单调性。然后利用函数的单调性证明不等式。

三、利用导数求函数的极值与最值

1. 利用导数求函数)(x f 极值：

① 求导函数)('x f

② 求方程)('x f =0的根。

③ 检验 )('x f 在方程 )('x f =0的根左右附近的符号。若)('x f 在根左侧附近为正，右侧附近为负，则)(x f y =在这个根处取极大值；若)('x f 在根左侧附近为负，右侧附近为正，则y=f (x )在这个根处取极小值。

2. 利用导数求在闭区间[a, b]连续，在开区间(a, b)可导的函数f(x)在[a, b]最值：

（1） 求f(x)在(a, b)极值；

（2） 比较f(x)在端点处函数值f(a)， f(b)与各极值大小，其中最大的一

个是最大值，最小的一个为最小值。

例4：（2004浙江高考试题）

设曲线y=e -x (x ≥0)在点m(t,e -t )处的切线l 与x 轴,y 轴所围成的三角形面积为s(t)

1) 求切线l 的方程

2) 求s(t)的最大值。

解：（1）因为,)('x e x f --=所以切线l 的方程为

l: )(t x e e y t t --=---

即：0)1(=+-+--t e y x e t t

（3） 对切线l ：0)1(,=+-+--t e y x e t t

令)1(,0,1,0+==+==-t e y x t x y t 又令约

4 ∴)1()1(2

1)(+?+=

-t e t t s t =)0()1(2

12≥+-t e t t )1)(1(21)('t t e t s t +-=- ∵当0)(),1,10('>-t s t

0)('),10,(1<+-t s l t

∴12)1(,1)(-==e s t t s 目处取极大值在

又)1(82

1)(<=?s ∴12)1()(-=e s t s 的最大值为

[评述]：本题考查导数后几何意义及利用导数求函数的最值。导数为我

们解决函数的最值问题提供了一般性解法。

四、利用导数求数列的和

先根据所给数值的特征，构造一个易求和后新数到，求出它的和，然后再采用两边求导数引去求和要求新后和。

例5：求无穷数列之和：

解：???++???+++-12321n nx x x

设数到：)10(1<<=-x x a n n

则+++21x x …+n x +…=

x

-11 此式两边对x 求导数：

++++-12321n nx x x …=2)1(1x - [评述]：本题是数列求和中一个经典问题，一般解法是利用错位构减法。这是利用导数求和，新颖简法。

总之，导数融数形于一体，是中学数学知识一个重要交汇点，是解决有关问题的工具，它常与函数、不等式数到、自量、解析几何等相关内容交叉渗透，自然交汇在一起，使许多数学问题的解决新颖别致，自然流畅，从而为这些问题的解决提供了通解通法。

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