高中数学教育教学论文 浅谈导数的应用

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1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程,以能力立意,突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法,在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性,为我们所学过的有关函数问题,曲线问题提供了一般性的方法,运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减,使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位,和新课程改革的不断深入,因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注,已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义:函数y=f (x)在x=x 0处的导数,就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率,利用上述结论,可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1](2003年全国高考题新课程卷)

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线,称l 是c 1和c 2的公切线,当a 为何值时,c 1和c 2有且仅有一条公切线?写出公切线的方程。

解:函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为:

p 1: y -(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x -x 1)即:

y=(2x 1+2) x -x 12 ①

函数y=-x 2+a 的导函数y ‘=-2x

曲线c 2在点Q (x 2, -x 22+a )的切线方程为:

P 2:y -(-x 22+a)=-2x 2 (x -x 2)即:

y=-2x 2x+x 22+a ②

如果l 是个点P 和点Q 的公切线,则①和②均为l 的方程 有:???+=--=+a x x x x 2221

21

1 消去x 2得:0122121=+++a x x 令,2

1,21,0)1(2441-=-==+?-=?x a a 此时点P 和Q 重合。 21,21c c a 和时-=∴有且仅有一条公切线,公切线方程为:4

1-=x y 。 [评述]导数的几何意义使得导数与解析几何结合奠定了基础,而本题引入公切线新颖别致,交汇自然,同时本题又渗透了同一法的解题思想。

二、 利用导数求函数的单调区间

2 若函数)(x f y =在某个区间内可导,则当0)('>x f 时,)(x f 在此区间内为单调增函数:当0)('<x f 时,)(x f 在此区间上为单调减函数。

利用上述结论,可以研究函数的单调性。

例2:(2004全国高考试题)已知的单调区间求函数ax e x x f R a ?=∈2)(,。 解:函数f(x)的导数

ax ax e ax e x x f ?+?=2'2)(

ax e ax x )2(2+=

(1) 当a=0时,若x<0,则0)(,0;0)(''

>><x f x x f 则若

.),0(,)0,()(,0为增函数在区间为减函数在函数时当+∞-∞=∴x f a

(2) 0)2()(,02'>?+=>ax e ax x x f a 由时当解得:02>-<x a

x 或 0)2()(2'<?+=ax e ax x x f 由解得:.02<<-x a

∴当a>0时,函数f(x)在区间(-10,-a

2)及区间(0,+∞)为增函数,在区间(-a

2,0)内为减函数。 (3) 当a<0时,由a

x x f 20:,0)('-<<>解得. 由.20:,0)('a

x x x f -><<或解得 .)2,0()(,0内为增函数在区间函数时当a x f a -<∴,在区间(-10,0)及区间(-a

2,+∞)内为减函数。

[评述]本题考查导数的概念和运算,应用导数研究函数单调性的方法,同时考查了分类讨论的思想。 例3:证明:当)1(0x l x x n +>>时

解:设)1()(x l x x f n +-=

当0>x 时,01111)('>+=+-=x

x x x f

3 又)(x f 在0=x 处连续, ∴),0()(+∞在x f 单调逐增

∴当x>0时,0)0()1()(=>+-=f x l x x f n

即)1(x l x n +>成立

[评述]:本题根据所给不等式的特征,构造一个函数,并利用导数判断函数的单调性。然后利用函数的单调性证明不等式。

三、利用导数求函数的极值与最值

1. 利用导数求函数)(x f 极值:

① 求导函数)('x f

② 求方程)('x f =0的根。

③ 检验 )('x f 在方程 )('x f =0的根左右附近的符号。若)('x f 在根左侧附近为正,右侧附近为负,则)(x f y =在这个根处取极大值;若)('x f 在根左侧附近为负,右侧附近为正,则y=f (x )在这个根处取极小值。

2. 利用导数求在闭区间[a, b]连续,在开区间(a, b)可导的函数f(x)在[a, b]最值:

(1) 求f(x)在(a, b)极值;

(2) 比较f(x)在端点处函数值f(a), f(b)与各极值大小,其中最大的一

个是最大值,最小的一个为最小值。

例4:(2004浙江高考试题)

设曲线y=e -x (x ≥0)在点m(t,e -t )处的切线l 与x 轴,y 轴所围成的三角形面积为s(t)

1) 求切线l 的方程

2) 求s(t)的最大值。

解:(1)因为,)('x e x f --=所以切线l 的方程为

l: )(t x e e y t t --=---

即:0)1(=+-+--t e y x e t t

(3) 对切线l :0)1(,=+-+--t e y x e t t

令)1(,0,1,0+==+==-t e y x t x y t 又令约

4 ∴)1()1(2

1)(+?+=

-t e t t s t =)0()1(2

12≥+-t e t t )1)(1(21)('t t e t s t +-=- ∵当0)(),1,10('>-t s t

0)('),10,(1<+-t s l t

∴12)1(,1)(-==e s t t s 目处取极大值在

又)1(82

1)(<=?s ∴12)1()(-=e s t s 的最大值为

[评述]:本题考查导数后几何意义及利用导数求函数的最值。导数为我

们解决函数的最值问题提供了一般性解法。

四、利用导数求数列的和

先根据所给数值的特征,构造一个易求和后新数到,求出它的和,然后再采用两边求导数引去求和要求新后和。

例5:求无穷数列之和:

解:???++???+++-12321n nx x x

设数到:)10(1<<=-x x a n n

则+++21x x …+n x +…=

x

-11 此式两边对x 求导数:

++++-12321n nx x x …=2)1(1x - [评述]:本题是数列求和中一个经典问题,一般解法是利用错位构减法。这是利用导数求和,新颖简法。

总之,导数融数形于一体,是中学数学知识一个重要交汇点,是解决有关问题的工具,它常与函数、不等式数到、自量、解析几何等相关内容交叉渗透,自然交汇在一起,使许多数学问题的解决新颖别致,自然流畅,从而为这些问题的解决提供了通解通法。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/hv64.html

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