德克教育二次函数基础知识拔高讲解

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二次函数知识点

1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2的性质

（a?0）(1)抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h?222b4ac?b. ?k的形式，其中h??，k?2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

22当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2bb?4ac?b2?2（?，）(1)公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线x??. ??2a2a4a4a?2a?2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是x?h.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.

2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??b,故：

22a①b?0时，对称轴为y轴；②b?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

a③b?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

a(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

2当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0，c)：

2①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b?0.

a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 x?0(y轴) (0,0) y?ax2 当a?0时 2y?a?x?h? 开口向上 2y?a?x?h??k 当a?0时 开口向下 y?ax2?k x?0(y轴) x?h (0, k) (h,0) (h,k) x?h bx?? 2ay?ax?bx?c 2b4ac?b2，(?) 2a4a第- 1 -页 共4页

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11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2 (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). (3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标

为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组

?y?kx?n的解的数目来确定： ?2y?ax?bx?c?①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

0?，B?x2，0?，由于(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，bcx?x??,x?x?x1、x2是方程ax?bx?c?0的两个根，故 12 12aa2AB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c ?4x1x2???????aaa?a?213．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程y?ax2?bx?c就是二次函数y?ax2?bx?c当函数y的值为0时的情况． (2)二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；

当二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y?0时自变量x的值，即一元二次方程ax?bx?c?0的根．

(3)当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y?ax?bx?c有两个不相等的实数根；当二次函数y?ax?bx?c的图象与

2222x轴有一个交点时，则一元二次方程

ax2?bx?c?0有两个相等的实数根；当二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴没有交点时，则一

2元二次方程ax?bx?c?0没有实数根 14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 15.平移问题：“括号内左加右减，括号外上加下减”

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1、（2010年黄石市）已知二次函数

y?ax2?bx?c的图象如图所示，有以下结论：①a?b?c?0；②

a?b?c?1；③abc?0；④4a?2b?c?0；⑤c?a?1其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①②

B． ①③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

（1）（2）

2、(2010 湖北 天门)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为_________． 3、（2009年内蒙古包头）已知二次函数

0)、(x1，0)，且1?x1?2，y?ax2?bx?c的图象与x轴交于点(?2，2)的下方．下列结论：①4a?2b?c?0； 与y轴的正半轴的交点在(0，②a?b?0；③2a?c?0；④2a?b?1?0．其中正确结论的个数是 个． 4.（10?烟台?11）二次函数则一次函数

y?ax2?bx?c的图象如图所示， a?b?c在同 xy y?bx?b2?4ac与反比例函数y??1 O 1 x

一坐标系内的图象大致为（ ） O A．

y x

y x

y x

y x O B． O C． 2

O D． 5．（2011年杭州月考）已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如右图所示，给出以下结论： ①abc?0 ②当x?1时，函数有最大值。③当x??1或x?3时，函数y的值都等于0. ④4a?2b?c?0其中正确结论的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 11.（2011河南模拟）已知二次函数y?A

x2?2ax?3（a为常数）图像上的三点：

123

?xy?，B?xy?，C?xy?，其中，x=a?3，x?a?1,x?a?2，

1,12,23,3则

yyy1,2,3,的大小关系是 。

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12、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。

13、已知a?b?c?0，a≠0，把抛物线y?ax2?bx?c向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式.

14、二次函数y=?2x+12x?13的图象位置不动，原坐标系的x轴向上移动2个单位，y轴向右移动3个单

2

位，得到的函数图象的解析式是 。

15、求抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的抛物线的解析式 16、 已知：函数y=x2-2x-3，试画远以下函数的图象。 (1)y=|x2-2x-3|

（三条边均不在坐标轴上的三角形面积的求法）

1．(12分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，

与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝(1)求这个二次函数的解析式；

(2)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什

2．（本小题10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(?10)，、，(0?点B在x轴上．已3)，C D 图1

C D 图2

G E A O B x A C B 么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

y y

1

． 3

知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x?1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长． ，（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

A O F B x y C x=1 P （第2题）

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