2018届湖北省八校高三第二次联考理科数学试题(附答案)

2018届湖北省八校高三第二次联考理科数学试题

全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1．设集合A?{y|y?2x,x?R}，B?{x|y?1?x,x?R}，则AA．?1? B．(0,??)

B?

C．(0,1) D．(0,1]

2．若复数z满足2?zi?z?2i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则z?1?

A．5 B．2

C．3 D．3

3．在矩形ABCD中，AB?4,AD?3，若向该矩形内随机投一点P，那么使得?ABP与?ADP的面积都不小于2的概率为 A．

11 B．

34C．

44 D． 794．已知函数f(x)?(x?1)(ax?b)为偶函数，且在(0,??)单调递减，则f(3?x)?0的解集为

A．(2,4) B．(??,2)(4,??) C．(?1,1) D．(??,?1)(1,??)

x2y2?1的离心率为2，则a的值为 5．已知双曲线?a2?a2A．1 B．?2

C．1或?2 D．-1

6．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项和分别为A,B,C，则

A．A?B?C B．B2?AC

C．A?B?C?B3 D．A2?B2?A(B?C)

7．执行如图所示的程序框图，若输入m?0,n?2，输出的x?1.75，则空白判断框内应填的条件为

A．m?n?1? B．m?n?0.5? C．m?n?0.2? D．m?n?0.1? 8．将函数f?x??2sin?2x?向左平移

?????图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象3??个单位得到函数g?x?的图象，在g?x?图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 12A．x???24 B．x??4 C．x?5?? D．x?2412

9．在(1?x)2?(1?x)3??(1?x)9的展开式中，含x2项的系数是

A．119 B．120 C．121 D．720 10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤

无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为 A．

256160 B．160 C． D．64

33

x2y2?1，直线l:x?4与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A,B11．已知椭圆C:?43两点，点C在直线l上，则“BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．下列命题为真命题的个数是

①ln3?3ln2； ②ln???e； ③215?15； ④3eln2?42 A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面向量a与b的夹角为450，a?(1,?1),b?1，则a?2b?__________．

?x?y?2?0?14．已知实数x,y满足约束条件?x?y?k?0，且z?x?2y的最小值为3，则常

?x?1?数k?__________．

15．考虑函数y?ex与函数y?lnx的图像关系，计算：

?1e2lnxdx?__________．

16．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD?2，CD?4， ?ABC为正三角

形，则?BCD面积的最大值为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

若数列?an?的前n项和为Sn，首项a1?0且2Sn?an2?an(n?N?)．

（1）求数列?an?的通项公式； （2）若an?0(n?N?)，令bn?

18．（12分）

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA?FC，且?DAB??DBF?60?． （1）求证：AC?平面BDEF；

（2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

19．(12分)

某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180?，180,200?，200,220?，220,240?，240,260?，260,280?，[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．

（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量?的值；

2（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布N?,?

1，求数列?bn?的前n项和Tn．

an(an+2)????????（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于?～240度之间的概率；

（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于?～240 度之间的．．户数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)．

20．（12分）

如图，圆O:x2?y2?4，A(2,0),B(?2,0)，D为圆O上任意一点，过D作圆O的切线分别交直线

x?2和x??2于E,F两点，连AF,BE交于点G，若点G形成的轨迹为曲线C.

（1）记AF,BE斜率分别为k1,k2，求k1?k2的值并求曲线C的方程； （2）设直线l:y?x?m(m?0)与曲线C有两个不同的交点P,Q，与直线

x?2交于点S，PQ的面积与?OST面积的比值?与直线y??1交于点T，求?O的最大值及取得最大值时m的值．

21．(12分)已知函数f(x)?(1+ax)e?1．

（1）当a?0时，讨论函数f(x)的单调性； （2）求函数f(x)在区间[0,1]上零点的个数．

2x（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）

?2t?x???2已知直线l的参数方程为?（t为参数，a?R），曲线C的极坐标方程为?sin2??4cos?. ?y?a?2t??2（1）分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l经过点(0,1)，求直线l被曲线C截得线段的长．

23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）

已知函数f(x)?2x?4?x?1,x?R （1）解不等式f(x)?9；

（2）若方程f(x)??x2?a在区间[0,2]有解，求实数a的取值范围．

理科数学答案

1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 A 11 A 12 C 213．10 14．?2 15．e?1 16．4?43 【提示】

11．若BC//x轴；不妨设AC与x轴交于点G，过A作AD//x交直线l于点D 则：FD?AG?DE，EG?CE两次相除得：FG?AD?DE

BCACCDADCDEGBCCEFG又由第二定义：AD?AF?DE??1?G为EF的中点

BCBFCEEG反之，直线AB斜率为零，则BC与x轴重合

12．构造函数F(x)?lnxlnx求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数F(x)?也可）

xx216．设?ADC??,?ACD??，由余弦定理可知：AC?20?16cos?， AC2?12又由正弦定理：2AC2sin?

cos????sin??8ACsin?sin?AC?S?BCD?1?1312sin?3AC2?12?BC?CDsin(??)?2BC(sin??cos?)?2BC(?)?4sin(??)?43 323222AC28AC所以最大值为4?43 17．（1）an?(?1)n?1或an?n；（2）Tn?32n?3． ?42(n?1)(n?2)

解析：（1）当n?1时，2S1?a12?a1，则a1?1an2?anan?12?an?1? 当n?2时，an?Sn?Sn?1?， 22即(an?an?1)(an?an?1?1)?0?an??an?1或an?an?1?1

?an?(?1)n?1或an?n …………………………6分

（2）由an?0，?an?n，bn?1111 ?(?)n(n?2)2nn?2111111111132n?3?Tn?[(1?)?(?)??(?)]?[1???]??2324nn?222n+1n?242(n+1)(n?2)………………12分 18．（1）见解析；（2）15．

5解析：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，

∵四边形ABCD为菱形，∴AC?BD，且O为AC中点， ∵FA?FC，∴AC?FO, 又FOBD?O，∴AC?平面BDEF.

…………………5分

（2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，∴?DBF为等边三角形， ∵O为BD中点，∴FO?BD，又AC?FO，∴FO?平面ABCD. ∵OA,OB,OF两两垂直，∴建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示，

………7分 设AB?2，∵四边形ABCD为菱形， ?DAB?60?，∴BD?2,AC?23. ∵?DBF为等边三角形，∴OF?3.

∴A?3,0,0,B?0,1,0?,D?0,?1,0?,F0,0,3，

???∴AD??3,?1,0,AF??3,0,3,AB??3,1,0. ?AF?n??3x?3z?0设平面ABF的法向量为n??x,y,z?，则?， ???AB?n??3x?y?0??????取x?1，得n?1,3,1.设直线AD与平面ABF所成角为?，则sin??cosAD,n???………10分

AD?nAD?n?15.

…………………12分 5注：用等体积法求线面角也可酌情给分 19．（1）x?0.0075,??225.6；（2）（ⅰ）

13（ⅱ）分布列见解析，E(Y)? 55解析：（1）由(0.002?0.0095?0.011?0.0125?x?0.005?0.0025)?20?1得x?0.0075

………………2分

??170?0.04?190?0.19?210?0.22?230?0.25?250?0.15?270?0.1?290?0.05?225.6 …………………4分

11（2）（ⅰ）P?225.6?X?240????1?2PX?240????5……………6分2? （ⅱ）因为Y～B?3,1?，?P?Y?i??Ci?1??4?，i?0,1,2,3.

???5?3i3?i

?????5??5?所以Y的分布列为

Y 0 64 1251 2 3 1 125P 48 12512 125所以E(Y)?3?1?3.

…………………………12分 551x2520．（1）k1?k2??，（2）m?? ，?y2?1(y?0)；

434解析：（1）设D(x0,y0)(y0?0)，

易知过D点的切线方程为x0x?y0y?4，其中x02?y02?4

取得最大值25． 54?2x04?2x04?2x04?2x0y0y016?4x02?4y021),F(?2,)，?k1?k2?则E(2, ?????22…………3分y0y04?4?16y016y0421yy1x设G(x,y)，由k1?k2????????y2?1(y?0) 4x?2x?244故曲线C的方程为x?y2?1(y?0)42

…………………5分

（2）??y?x?m22?x?4y?4?5x2?8mx?4m2?4?0，

2设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??8m,x1?x2?4m?4，

…………………7分55由?=64m2?20(4m2?4)?0??5?m?5且m?0,m??2

……………8分

与直线x?2交于点S，与直线y??1交于点T

?S(2,2?m),T(?m?1,?1)

??

，令3+m?t,t?(3?5,3?5)且t?1,3,5

则

……………10分

当

，即t?45,m??时，33取得最大值25. …………………12分521．（1）见解析；（2）见解析. 解析：（1）

f'(x)?(ax2?2ax?1)ex ……………1分

x当a?0时，f'(x)?e?0，此时f(x)在R单调递增；

……………2分 2当a?0时，?=4a?4a

2①当0?a?1时，??0，ax?2ax?1?0恒成立，?f'(x)?0，此时f(x)在R单调递增；

……3分

②当a?1时，令f'(x)?0?x1??1?1?11,x2??1?1? aax f'(x) (??,x1) ＋ x1 0 (x1,x2)－ x2 0 (x2,??) ＋ f(x) a a 即f(x)在(??,?1?1?1)和(?1?1?1,??)上单调递增；在(?1?1?1,?1?1?1)上单调递减；

……5分

aa综上：当0?a?1时，f(x)在R单调递增；

当a?1时，f(x)在(??,?1?1?1)和(?1?1?1,??)上单调递增；在(?1?1?1,?1?1?1)上单调

aaaa递减；

…………………6分

（2）由（1）知，

当0?a?1时，f(x)在[0,1]单调递增，f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有一个零点；

当a?1时，?1?1?1?0且?1?1?1?0，?f(x)在[0,1]单调递增；f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上

aa有一个零点；

当a?0时，令f'(x)?0?x??1?1?1?0（负值舍去）

a①当?1?1?1?1即?a1?a?0时，f(x)在[0,1]单调递增，f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有一3个零点；

②当?1?1?1?1即a??1时

a3

11若f(1)?0即?1?a??时，f(x)在[0,?1?1?1)单调递增，在[?1?1?1，1]单调递减，f(0)=0，

e3aa此时f(x)在区间[0,1]上有一个零点；

若f(1)?0即a?1?1时，f(x)在[0,?1?1?1)单调递增，在[?1?1?1，1]单调递减，f(0)=0，此eaaa时f(x)在区间[0,1]上有零点x?0和在区间[?1?1?1，1]有一个零点共两个零点；综上：当a?

1?1时，f(x)在区间[0,1]上有2个零点；e 1当a??1时，f(x)在区间[0,1]上有1个零点.

…………………12分e

222．（1）x?y?a?0，y?4x；（2）8.

解析：（1）显然y??x?a?x?y?a?0

…………………2分由

可得

，即

，

…………………5分

（2）直线

?2t ?x???2??y?a?2t?2 ?过(0,1)，则a?1

将直线的参数方程代入得

?t1?t2??62，? ???t1?t2?2由直线参数方程的几何意义可知，

.

注：直接用直角坐标方程联立计算也可

1923．（1）；（2）a?[,7].

4解析：（1）

可化为

…………………10分

?x?2??1?x?2?x??1或或?； ??3x?3?95?x?9?3x?3?9???或

不等式的解集为

或

；

；

…………………5分

（2）由题意：f(x)??x2?a?a?x2?x?5,x?[0,2]

2故方程f(x)??x?a在区间[0,2]有解?函数y?a和函数y?x2?x?5图象在区间[0,2]上有交点

当x?[0,2]时，y?x2?x?5?[19,7]

419?a?[,7] …………………10分

4

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