2、压轴题训练及答案

压轴题训练（24-25题）

1. (2012 黑龙江省齐齐哈尔市) 如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若

?MBN?45°，易证MN?AM?CN．

、CD上，若（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB?BC?CD，点M、N分别在AD1?MBN??ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

2（2）如图3，在四边形ABCD中，AB?BC，?ABC??ADC?180°，点M、N分别在DA、CD的

1延长线上，若?MBN??ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，

2不需证明．

2. (2012 福建省莆田市) (1)如图①，在Rt△ABC中，?ABC?90°，BD?AC于点D．

求证：AB?AD?AC；

(2)如图②，在Rt△ABC中，?ABC?90°，点D为BC边上的点，BE?AD于点E，延长BE交AC于

2ABBDAF??1，求的值； BCDCFC(3)在Rt△ABC中，?ABC?90°，点D为直线(点D不与B、C重合)，直线BE?AD于．．BC上的动点．．

点F．若

点E，交直线AC于点F．若不必证明．

ABBDAF??n，请探究并直接写出所有可能的值(用含n的式子表示)，BCDCFC

１

3 (2012 广西贺州市) 如图，抛物线y??交于点C，连接BC. （1）求点A、B、C的坐标.

123x?x?2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴22（2）点P为AB上的动点(点A、O、B除外)，过点P作直线PN⊥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M，设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式.

（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt△COB相似时点P的坐标.

4. (2012 浙江省宁波市) 如图，二次函数

，0),B(2，0),交y轴于y?ax2?bx?c的图象交x轴于A(?1C(0，?2),过A,C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA?PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为

２

45，求点M的坐标． 55. (2012 广东省汕头市) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB?6，BC?8.把△BCD沿对角线BD折叠.使

DE点C落在C?处，BC?交AD于点G；E、F分别是C?D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△F沿EF折叠，使点D落在D?处，点D?恰好与点A重合. （1）求证：△ABC≌△C?DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．

86 (2012 四川省乐山市) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，?n)，抛物

线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m?n）分别是方程x?2x?3?0的两根． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

2

３

7. (2012 辽宁省沈阳市) 已知，如图①，?MON?60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不

与点O重合），且AB?4（1）求AP的长；

（2）求证：点P在?MON的平分线上．

（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，

3，在?MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP?BP，?APB?120°．

EF，FC，OP．

①当AB?OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值； ．．②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围． ．．

8. (2012 江苏省徐州市) 本题10分）如图，直线y?x?b（b?4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比

例函数y??4的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧）． xCE∥x轴，DE∥y轴，CE与DE相交于点E，⊙O是以CD长为半径的圆．

（1）△CDE是 ▲ 三角形；点C坐标为 ▲ ，点D坐标为 ▲ （用含有b的代数式表示）； （2）b为何值时，点E在⊙O上？

（3）随着b取值逐渐增大，直线y?x?b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．

备用图

y

x

y??4x备用图

４

猜想、探究题

9. (2011 山东省枣庄市) 如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线个单位，得到抛物线点C，顶点为D. （1）写出h、k的值；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

y?x2向左平移1个单位，再向下平移4

，与y轴交于y?(x?h)2?k.所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）

y Ａ Ｏ Ｂ x Ｃ Ｄ

12. (2012 四川省宜宾市) 如图，在△ABC中，已知AB?AC?5，BC?6，且△ABC≌△DEF，将

△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理

由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

５

动态几何

10. (2008 山西省太原市) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?1与y??3x?3交于点A，分4别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点． （1）求点A，B，C的坐标．

（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．

（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出

BE的值；如果不存在，请说明理由． CDy A D B O C x 11. (2008 浙江省湖州市) 已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比

k(k?0)的图象与AC边交于点E． x（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；

例函数y?（2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

６

12. (2008 浙江省宁波市) 如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC?AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于E，且PD?PE． （1）求证：PD是?O的切线．

P 2（2）若?O的半径为43，PC?83，设OC?x，PD?y． ①求y关于x的函数关系式． ②当x?3时，求tanB的值．

A

O D E C B 13. (2008 浙江省台州市) 如图，在矩形ABCD中，AB?9，AD?33，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y． （1）求?CQP的度数；

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？ （3）①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的

Q

7？ 27C

D

C

D C P

D

A

R

B

A

（备用图1）

B

A

（备用图2）

B

７

14. (2010 福建省福州市) 如图，在△ABC中，?C?45?，BC?10，高AD?8，矩形EFPQ的一边PQ在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H. （1）求证：

AHEF?； ADBC（2）设EF?x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒１个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

AEHFBQD

PC（第21题）

15. (2010 江苏省常州市) 如图，在矩形ABCD中，AB?8，AD?6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP?CQ.设AP?x. （1）当PQ∥AD，求x的值；

（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；

（3）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围.

８

16. (2010 浙江省湖州市) 如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不

含端点A，D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E.

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围.

PA D

EBC17. (2011 福建省莆田市) 已知抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点，与

y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，?3).

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

① 如图1，当△PBC面积与△ABC面积相等时，求点P的坐标； ②如图2，当?PCB??BCA时，求直线CP的解析式．

９

18. (2012 天津市) 已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11，0)，点B(0，6)，

P?t．点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B?和折痕OP．设B

（Ⅰ）如图①，当∠BOP?30时，求点P的坐标；

?

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB?上，得点C?和折痕PQ，若AQ?m试用含有

t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C?恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

１０

19. (2012 辽宁省朝阳市) 平面直角坐标中，对称轴平行y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为?3，???9??；2??1?Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为?，）． 0?，且BC?5，AC?3（如图（1）

2??（1）求出该抛物线的解析式；

（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时，Rt△ABC停止移动．D(0，4)为y轴上一点，设点B横坐标为m，△DAB的面积为s．

①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；

②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

20. (2012 山东省济宁市) 如图，抛物线y?ax2?bx?4与x轴交于A?4，0?、B??2，0?两点，与y轴交于

点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式；

·BC； （2）当动点P运动到何处时，BP?BD（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

2 １１

21. (2012 广西玉林市) 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是(0，4)，现有两动

点P， Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止．设运动时间为t（秒），当t?2（秒）时，PQ?25．

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变，求出S的值． （3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

22. (2012 广东省) 如图，抛物线y?123x?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接22BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）.

１２

1)，B(2，，0)O(0，0),23. (2012 山东省菏泽市) 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0，将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到?A?B?O. （1）一抛物线经过点A?、B?、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB?A?B的面积是?A?B?O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB?A?B是哪种形状的四边形？并它的两条性质.

?y

2 B? 1 A

A?

-1

O

B

1

2

x

24. (2011 四川省眉山市) 如图，在直角坐标系中，已知点A转90°得到点C；顶点在坐标原点的抛物线经过点B． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2，4?，将点B绕点A顺时针方向旋?01?、B??4，?d1?1；

（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

１３

1. 解：（1）图2，猜想：MN?AM?CN 证明：延长NC至点F，使CF?AM，连接BF

?四边形ABCD是等腰梯形 ??DAB??ADC 又?AD∥CB

??ADC??BCF ??BCF??DAB

又?AB?BC AM?CF ?△AMB≌△CFB

??2??3 BM?BF

1??MBN??ABC

2??1??2??MBN ??1??3??MBN 即?MBN??NBF

又?BN?BNBM?BF

?△MBN≌△FBN ?MN?NF

?NF?NC?CF ?MN?AM?CN

（2）图3 猜想：MN?CN?AM

2. 1）证明：如图①，∵BD?AC，?ABC?90°，∴∠ADB＝∠ABC. 又∵ ∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC．

∴

ABAD2?，∴ AB?AD?AC． ACAB

（2）解：方法一：如图②，过点C作CG?AD交AD的延长线于点G． ∵BE?AD，∴ ?CGD??BED?90°，CG∥BF．

１４

ABBD??1 BCDC∴AB?BC?2BD?2DC，BD?DC．

又∵?BDE??CDG，∴△BDE≌△CDG．

1∴ED?GD?EG．

2又∵

由（1）可得：AB?AE?AD，BD?DE?AD．

22AEAB2(2BD)2AE4DEAE?4DE??2． ???4∴ ，∴， ∴

EG2DEDEBD2BD2又∵CG∥BF，

AFAE??2． FCEGABBD1??1， BD?DC?BC，BCDC2方法二：如图③，过点D作DG∥BF交AC于点G． ∴

AB?BC．

∵DG∥BF，∴

由（1）可知： AB?AE?AD，BD?DE?AD．

22FCBC??2，FC?2FG． FGBDAEAB2BC2???4． ∴

DEBD2BD2AFAEAFAF??4，∴??2． FGEDFC2FGAF2（3） ①当点D在BC边上时，的值为n?n.

FCAF2 ②当点D在BC延长线上时，的值为n?n．

FCAF2 ③当点D在BC延长线上时，的值为n?n．

FC ∵DG∥BF，∴

（注：写对一种得1分，写对二种得3分，写对三种得5分）

3. 解：（1）点A、B、C在二次函数图像上

123x?x?2得y?2 22123把y?0代入y??x?x?2

22把x?0代入y??得x1??1 x2?4

∴A(-1，0) B(4，0) C(0，2)

（2）设直线BC的解析式为y?kx?b(k?0)，

１５

1?k???4k?b?0?则? ?2 ?b?2??b?2∴直线BC的解析式为y??∵OP=t 1x?2 2∴P(t,0) M(t,?∴

113t?2) N(t,?t2?t?2) 2221311S1?N1P1?M1P1??t2?t?2?(?t?2)??t2?2t(0?t?4)2222

1113S2?M2P2?N2P2??t?2?(?t2?t?2)?t2?2t(?1?t?0)

2222（不写出点t的取值范围不给分）

（3）①若△OPN∽△OCB，当OP与OC是对应边时，则

OPNP ?OCBO

13?t2?t?2t2 即?2 24化简得：t?t?4?0

2解得：t1??1?17 2t2??1?17（不合题意，舍去） 2 １６

②若△OPN∽△OBC，当OP与OB是对应边时，则

OPOB?PNCO ?1t2?3t?2即t24?22 化简得：t2?2t?4?0 解得：t3?1?5

t4?1?5（不合题意，舍去）

∴ 符合题意的点P的坐标为(?1?172,0)和(1?5,0) 4. 解：（1）设该二次函数的解析式为：y?a(x?1)(x?2)．将x?0，y??2代入，得?2?a(0?1)(0?2)． 解得a?1．

?抛物线的解析式为y?(x?1)(x?2)，即y?x2?x?2．（2）设OP?x，则PC?PA?x?1． 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2?22?(x?1)2．

解得x?32，即OP?32． （3）①?△CHM∽△AOC，??MCH??CAO．

情形1：如图，当H在点C下方时

??CAO??MCH，

?CM∥x轴．yH??2． ?x2?x?2??2．

解得x?0（舍去），或x?1．?M(1，?2)． 情形2：如图，当H在点C上方时

??M?CH??CAO，

由（2）得，M?为直线CP与抛物线的另一交点，

设直线CM?的解析式为y?kx?2．

１７

把P?，0?的坐标代入，得解得k?由

?3?2??3k?2?0． 244，?y?x?2． 334x?2?x2?x?2， 37， 3解得x?0（舍去），或x?此时y?10?710?，?M??，?． 9?39?45． 5②在x轴上取一点D，过点D作DE?AC于点E，使DE???COA??DEA?90°，??OAC??EAD．

ADDE?△AED∽△AOC．??，

ACOC45AD5??，解得AD?2．

25?D(1，0)或D(?3，0)．

过点D作DM∥AC，交抛物线于M， 则直线DM的解析式为：

y??2x?2或y??2x?6．

当?2x?6?x?x?2时，方程无实数解． 当?2x?2?x?x?2时，

22解得x1??1?17?1?17，x2?． 22??1?17???1?17?，3?17M，3?17或?点M的坐标为M????????． 22????

１８

5. 1）证明：?四边形ABCD为矩形，

?∠C?∠BAD?90?，AB?CD，由图形的折叠性质，得CD?C?D，∠C?∠C??90，

??∠BAD?∠C?，AB?C?D.

又?∠AGB?∠C?GD， ?△ABG≌△C?DG（AAS）． （2）解：设AG为x.

?△ABG≌△C?DG，AD?8，AG?x， ?BG?DG?AD?AG?8?x.

在Rt△ABG中，有BG?AG?AB，

222?AB?6，

?(8?x)2?x2?62.

解得x?7. 4AG7?. AB24??tan∠ABG?

（3）解法一：由图形的折叠性质，得∠EHD?90，DH?AH?4，

?AB∥EF，

?△DHF∽△DAB， HFDHHF1???， ，即ABAD62?HF?3.

又?△ABG≌△C?DG， ?∠ABG?∠HDE，

7EHEH??tan∠ABG?tan∠HDE?，即， 244HD7?EH?.

6725?EF?EH?HF??3?.

66解法二：由图形的折叠性质，得

∠DHF?90?，DH?AH?4，∠AFE?∠DFE，

AF?DF，∠BDC?∠BDC??∠EAF，

?在Rt△ABG中，∠BAD?90?，AD?8，AB?6，

?BD?AB2?AD2?10.

１９

又?∠BAD?∠DHF?90?，

?AB∥EF，

?△DHF∽△DAB， ?DFDHDB?DA， ?DF?12DB?5，

?AF?5.

?AB∥EF，

?∠FAB?∠EFA.

?在矩形ABCD中，AB∥CD， ?∠DBA?∠BDC，

?∠FBA?∠EAF，

?△FAB∽△EFA， ?FAABEF?FA， EF?FA2?25AB?6.

6. 解：（1）解方程x2?2x?3?0，得x1?3，x2=-1．?m?n，?m??1，n?3

?A??1，?1?，B?3，?3?．

?抛物线过原点，设抛物线的解析式为y?ax2?bx．

????1?a?b，解得a??1，b?1??3?9a?3b.22． ?抛物线的解析式为y??112x2?2x．

（2）①设直AB的解析式为y?kx?b．

????1??k?b，解得k??13??3?3k?b.2，b??2． ?直线AB的解析式为y??132x?2．

２０

3????． ?C点坐标为?0，2??0?，B?3，-3?， ?直线OB过点O?0，?直线OB的解析式为y??x．

?△OPC为等腰三角形，?OC?OP或OP?PC或OC?PC．

设P?x?， ?x，22（i）当OC?OP时，x?(?x)?9． 4解得x1??3232?3232（舍去）．?P． ，-，x2???1???4?44?4（ii）当OP?PC时，点P在线段OC的中垂线上，?P2?，-（iii）当OC?PC时，由x?(?x?2?3?43??． 4?329)?， 24解得x1?33??3，x2?0（舍去）．?P ，-3??22??2?3232?3??33??3，-或或P，?P，-?P点坐标为P??1?2?3???． ?444422??????②过点D作DG?x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH?x轴，垂足为H． 设Q?x，?x?，D?x，???121?x?x?． 22?111S△BOD?S△ODQ?S△BDQ=DQ?OG?DO?GH?DQ(OG?GH)

2221??11??3??x???x2?x???3??2??22??4?0?x?3，

3?27?x????，

2??162?当x?

2733??3时，S取得最大值为，此时D?，-?．

1628??2 ２１

7. 解：（1）过点P作PQ?AB于点Q

?PA?PB，APB?120°AB?43 11AB??43?23 2211?APQ??APB??120°?60°

22AQ在Rt△APQ中，sin?APQ?

AP?AQ??AP?AQ2323???4

sin?APQsin60°32（2）过点P分别作PS?OM于点S，PT?ON于点T

??OSP??OTP?90° 在四边形OSPT中， ?SPT?360°??OSP??SOT??OTP ?360°?90°?60°?90°?120°

??APB??SPT?120° ??APS??BPT 又??ASP??BTP?90° AP?BP ?△APS∽△BPT ?PS?PT ?点P在?MON的平分线上

（3）①8?43 ②4?43?t≤8?43 ?b?b2?16b?b2?168．（1）等腰直角，C（，），

22?b?b2?16b?b2?16D（，）． …………………………………………………4分

22（2）当点E在⊙O上时，如图，连接OE，则OE＝CD． 易知△BAO是等腰直角三角形，从而∠BAO＝∠ABO＝45°．

?b?b2?16b?b2?16由E（，），

22可得xE2?yE2，从而xE?yE，

∴点E在?AOB的平分线上，即∠AOE＝∠BOE＝45°．.

又CE∥x轴，DE∥y轴，

∴四边形CAOE、EOBD为等腰梯形．………………………………………………5分 ∴OE＝AC＝BD．又OE＝CD， ∴CD＝AC＝BD． 过点C作CF⊥x轴，垂足为点F． 则△AFC∽△AOB．∴

（第28题）

CFAC111??．∴CF?OB?b． BOAB333 ２２

b?b2?1611即yC?b．∴＝b．

233解得b＝±32．∵b?4，∴b＝32． ……………………………………………6分 （3）过点O作等腰直角三角形ABO的高OG，则OG?即圆心O到直线AB的距离d?22OB?b， 222b． 2∵△DCE是等腰直角三角形．CD?2DE?2(yD?yE)?2b2?16 若⊙O与直线AB相切，则d?CD，即d2?CD2． ………………………………7分

8383b2即．∵b?4，∴b＝． ?2(b2?16)，解得b＝±332∴当b＝83时，直线AB与⊙O相切． ……………………………………………8分 383时，直线AB与⊙O相离． ……………………………………9分 3从而，当4

83时，直线AB与⊙O相交．………………………………………………10分 3猜想、探究题

9. 解：（1）y?(x?h)2?k的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

，k=-4. ∴ h??1 （2）由（1）得y?(x?1)2?4.

当y?0时，(x?1)2?4?0． 解之，得 x1??3，x2?1． ∴

A(?3，，0)B(1，0).

又当x?0时，y?(x?1)2?4?(0?1)2?4??3， ∴C点坐标为?0，-3?.

又抛物线顶点坐标D??1，?4?，作抛物线的对称轴x??1交x轴于点E， DF?y轴于点

．易知

在Rt△AED中，AD?2?4?20； 在Rt△AOC中，AC?3?3?18； 在Rt△CFD中，CD?1?1?2；

222222222 ２３

y ∴ AC?CD?AD． ∴ △ACD是直角三角形．

（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点．

由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，?BAC?45?，AC?18?32． 由△AOM∽△ABC，得

222Ａ E G Ｏ Ｂ x M Ｃ F Ｄ AOAM． ?ABAC4即3?AM，AM?3?32?92.

4324过M点作MG?AB于点G，则

?AG?MG??92???4???81?9，OG?AO?AG?3?9?3.

4421642（-，-）又点M在第三象限，所以M.

3944?∠B?∠C， 10. （1）证明：?AB?AC， 又?∠AEF?∠CEM?∠AEC?∠B?∠BAE，

?∠AEF?∠B， 又△ABC≌△DEF，?ABE∽△ECM； ?∠CBM?∠BAE，△ （2）?∠AEF?∠B?∠C，且∠AME?∠C，

?AE?AM； ?∠AME?∠AEF，当AE?EM时，则△ABE≌△ECM，

?CE?AB?5，?BE?BC?EC?1

当AM?EM时，?∠MAE?∠MEA，

?∠MAE?∠BAE?∠MEA?∠CEM，即∠CAB?∠CEA.

CEAC?CAE∽△CBA，??，又?∠C?∠C，△

ACCBAC2252511?CE??.?BE?6??；

CB666? （3）设BE?x，又?△ABE∽△ECM，CMCECM6-x?，??， BEABx5x2619?x??(x?3)2?， ?CM??5555 ２４

?AM?5?CM?又当BE?x?3?11616(x?3)2?，?当x?3时，AM最短为， 5551BC时，?点E为BC的中点， 2?AE?BC，?AE?AB2?BE2?4，

?EM?此时，EF?AC，CE2?CM2?12. 51161296?S△AEM????.

25525（本小题也可用几何法另解）

动态几何

11. 解：（1）在y?x?1中，当y?0时，x?1?0，

?x??1，点B的坐标为(?1，0)．

在y??1分 2分

33x?3中，当y?0时，?x?3?0，?x?4，点C的坐标为（4，0）． 448?x?，?y?x?1，???7由题意，得?解得? 315y??x?3．??y?．?4?7??815??点A的坐标为?，?．

?77?3分

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为(x，y)．

D2 y y D2 A E2 M4 x D4 图（1）

图（2） E1 D1 B O C x D3 A D1 M2 B O M1 C 由（1），得B(?1，，0)C(4，0)，?BC?5．

①当BD1?D1C时，过点D1作D1M1?x轴，垂足为点M1，则BM1?M1C?1BC． 25533?BM1?，OM1??1?，x?．

2222

２５

3315?315??y????3?，点D1的坐标为?，?．

428?28?4分

2②当BC?BD2时，过点D2作D2M2?x轴，垂足为点M2，则D2M2?M2B2?D2B2．

3?M2B??x?1，D2M2??x?3，D2B?5，

4?3??(?x?1)2???x?3??52．

?4?解，得x1??2123?12?24，x2?4（舍去）．此时，y???????3?． 54?5?56分

?1224??点D2的坐标为??，?．

?55?③当CD3?BC，或CD4?BC时，同理可得D3(0，，3)D4(8，?3)． 由此可得点D的坐标分别为D1?，?，D2??9分

?315??28??1224?，?，D3(0，，3)D4(8，?3)． 55??评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5

分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形AE1OD1为平行四边形时，

BE132． ?CD120BE12． ?CD210BE2272． ?CD12010分

②当四边形AD2E1O为平行四边形时，

11分

③当四边形AOD1E2为平行四边形时，

12分

12. （1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2， 由题意得y1?kk，y2?．

x2x1?S1?1111x1y1?k，S2?x2y2?k． 2222?S1?S2，即△AOE与△FOB的面积相等．

２６

（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E?，3?，F?4，?，

?k??3???k?4??S△ECF?11?1??1?EC?CF??4?k??3?k?， 22?3??4?11?S△EOF?S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△ECF?12?k?k?S△ECF?12?k?S△ECF

221?1??1??S?S△OEF?S△ECF?12?k?2S△ECF?12?k?2??4?k??3?k?

2?3??4??S??当k??12k?k． 121?1?2?????12??6时，S有最大值．

S最大值??1?3．

?1?4?????12?（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN?OB，垂足为N．

由题意得：EN?AO?3，EM?EC?4?11k，MF?CF?3?k， 34??EMN??FMB??FMB??MFB?90?，??EMN??MFB．

?又??ENM??MBF?90，

?△ENM∽△MBF．

1??14?k4?1?k?3ENEM3??12?， ???，?1?MBMFMB3?1k?3?1?k?4?12??MB?29． 42222221?9??k??1??MB?BF?MF，????????3?k?，解得k?．

8?4??4??4??BF?k21?． 432 ２７

?21??存在符合条件的点F，它的坐标为?4，?．

?32?

13. 解：（1）连结OD， ?OB?OD，

??OBD??ODB． ···················································································· 1分 ?PD?PE，

??PDE??PED． ····················································································· 2分 ?PDO??PDE??ODE

PED??OB D ??BEC??OB D ?? ?90?，

?PD?OD． ······························································································ 3分

?PD是圆O的切线． ···················································································· 4分 （2）①连结OP， 在Rt△POC中， OP2?OC2?PC2

?x2?192． ·························································································· 5分 在Rt△PDO中，

PD2?OP2?OD2 ························································································ 6分

?x2?144．

································ 7分（x取值范围不写不扣分） ?y?x2?144(0≤x≤43)． ·②当x?3时，y?147，

···························································································· 8分 ?PD?73， ·

?EC?3，

而CB?33， 在Rt△ECB中，

tanB?

CE1?． ························································································· 9分 CB3２８

14. 解：（1）如图，?四边形ABCD是矩形，?AB?CD，AD?BC． 又AB?9，AD?33，?C?90?，

?CD?9，BC?33．

?tan?CDB?BC3CD?3，??CDB?30?． ?PQ∥BD，??CQP??CDB?30?．

（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，

??RPQ??CPQ，RP?CP．

由（1）知?CQP?30?，??RPQ??CPQ?60?，

??RPB?60?，?RP?2BP．

?CP?x，?PR?x，PB?33?x．

在△RPB中，根据题意得：2(33?x)?x， 解这个方程得：x?23．

（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，

0?x≤23，S1132△CPQ?2?CP?CQ?2x?3x?2x，

?△RPQ≌△CPQ，?当0?x≤23时，y?322x 当R在矩形ABCD的外部时（如图2），23?x3?3，

在Rt△PFB中，??RPB?60?，

?PF?2BP?2(33?x)，

又?RP?CP?x，?RF?RP?PF?3x?63， 在Rt△ERF中，

??EFR??PFB?30?，?ER?3x?6．

２９

D

Q

C P

A R （第24题）

B

D

Q

C P

A B

（图1R ）

D

Q

C A

E F B

P

（图R 2）

?S△ERF?1332ER?FR?x?18x?183， 22?y?S△RPQ?S△ERF，

?当23?x?33时，y??3x2?18x?183．

?32x(0?x≤23)?综上所述，y与x之间的函数解析式是：y??2．

??3x2?18x?183(23?x?33)?②矩形面积?9?33?273，当0?x≤23时，函数y?大值是63，而矩形面积的32x随自变量的增大而增大，所以y的最277?273?73， 的值?27277； 27而73?63，所以，当0?x?23时，y的值不可能是矩形面积的当23?x?33时，根据题意，得：

?3x2?18x?183?73，解这个方程，得x?33?2，因为33?2?33，

所以x?33?2不合题意，舍去． 所以x?33?2．

综上所述，当x?33?2时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的

15. 解：（1）?四边形EFPQ是矩形，∴EF∥PQ ．

∴?AEF ∽?ABC． ………………2分

A7． 27又?AD?BC，∴AH?EF．

∴

AHEF?． ………………4分 HFEADBCAHx4?． ∴AH?x． （2）由（1）得 8105BQDP4∴EQ?HD?AD?AH?8?x，

第21题图1 544242∴S矩形EFPQ?EF?EQ?x(8?x)??x?8x???x?5??20． ……6分

555

３０

C

∵?4?0，∴当x?5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．………………8分 5A（3）如图１，由（2）得，EF?5，EQ?4．

∵

?C?45? ∴?FPC是等腰直角三角形

EMFN∴PC?FP?EQ?4，QC?QP?PC?9．

BDQPC分三种情况讨论：

① 如图２，当0≤t?4时，

21题图2 第

设EF、PF分别交AC于M、N，则?MFN是等腰直角三角形，

∴FN?MF?t．

∴S?S矩形EFPQ?SRt?MFN?20?121t??t2?20； 22A② 如图３，当4≤t?5时，则ME?5?t，QC?9?t． ∴S?S梯形EMCQ1???5?t???9?t????4??4t?28； 2?BDEMF③ 如图４，当5?t?9时，设EQ交AC于K，则KQ?QC?9?t．

第 21题图3

QCP∴S?S?KQC?1122?9?t???t?9? ． ………………13分 22A综上所述：S与t的函数关系式为：

?12??2t?20(0≤t?4)，?S???4t?28(4≤t?5)，

?1?(t?9)2(5≤t≤9).?2

16. 解：（1）当PQ∥AD时，x=4. （2）

EkBDQCFP 21题图4 第

2分

３１

如图，连接EP、EQ，则EP?EQ，设BE?y，

?(8?x)2?y2?(6?y)2?x2

得y?4x?73 4分

?0≤y≤6 ?0≤4x?73≤6. ?74≤x≤254 （3）S?1?4x2?39x?56△BPE2·BE·BP?12·4x?73·(8?x)?6 S?14x?△ECQ2·CE·CQ?17?4x2?25x2·(6?3·)x?6 由题意?AP?CQ，?S1梯形BPQC=2S矩形ABCD?24 ?S?S?4x2?39x?56?4x2梯形BPQC?S△BPE?S△ECQ?24?6??25x6整理得：S?4x2?32x?1003?43(x?4)2?12(74≤x≤254) 当x?4时，S有最小值12.

当x?74或x?254时，S有最大值x?754

?12≤S≤754 10分

17. 解：（1）假设存在这样的点Q．

∵ PE⊥PC, ∴ ∠APE+∠DPC=90 o, ∵ ∠D=90 o, ∴ ∠DPC+∠DCP=90 o, ∴ ∠APE=∠DCP，又 ∵ ∠A=∠D=90 o，

∴ △APE∽△DCP，∴ APDC?AEDP，AP?DP?AE?DC.

同理可得AQ?DQ?AE?DC.

∴ AQ?DQ?AP?DP，即AQ?(3?AQ)?AP?(3?AP),

∴ 3AQ?AQ2?3AP?AP2， ∴ AP2?AQ2?3AP?3AQ,

３２

6分

9分

∴ (AP?AQ)(AP?AQ)?3(AP?AQ)，

∵ AP?AQ， ∴ AP?AQ?3. ……………2分

3，即P不能是AD的中点. 2 ∴ 当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．

故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，

∵ AP?AQ， ∴ AP? 此时AP?AQ?3． ……………1分

（2）设AP=x， AE=y. 由AP?DP?AE?DC可得x(3?x)?2y， ∴ y?113139x(3?x)??x2?x??(x?)2? . 22222839（在0

8 ∴ 当x?

??a?b?c?0，?18. 解：（1）由题意，得?c??3，

?b???2．?2a?a??1，?解得?b?4，

?c??3．??抛物线的解析式为y??x2?4x?3．

（2）①令?x?4x?3?0，得x1过点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P1. 设直线BC的解析式为y?kx?m. 0)，C(0，?3)，?直线BC过点B(3，2?1、x2?3．?B(3，．0)

３３

?3k?m?0，?k?1， ?????m??3．?m??3．?直线BC的解析式为y?x?3． y?x?n． ?设直线AP1的解析式为，0)， ?直线AP1过点A(1?1?n?0．?n??1．

?直线AP1的解析式为y?x?1．

?y?x?1，解方程组? 2y??x?4x?3．?得??x1?1，?x2?2， ?y?0．y?1．?1?2（2，1）． ?点P1的坐标为

当点P在x轴下方时，如下图．

设直线

?1). AP1交y轴于点E(0，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3． 得直线P2P3的解析式为y?x?5．

?3?17?3?217x?，x?，??12?y?x?5，??22解方程组?得 ??2?7?17??7?17?y??x?4x?3．?y?，y?．22???2?2?3?17?7?17??3?17?7?17??P2?，，P，． ??3??2???22???2? ３４

综上所述，点P坐标为：P1)P2?1(2，，?3?17?7?17??3?17?7?17? ，，P，．??3??2???22???2?②?B(3， 0)，C(0，?3)，?OB?OC?3．??OCB??OBC?45°．设直线CP的解析式为y?kx?3． 解法一：如下图，延长CP交x于点Q．

设?OCA??，则?ACB?45°??．

??PCB??BCA，??PCB?45°??．

??OQC??OBC??PCB． ?45°?(45°??)??． ??OCA??OQC．又??AOC??COQ?90° ，?OAOC13?．??．?OQ?9．?Q(9，．0) OCOQ3OQ1?k?． 0)，?9k?3?0．?直线CP过点Q(9，31 ?直线CP的解析式为y?x?3．3解法二：如下图，过点B作x轴的垂线，交CP于点Q．

３５

??ABC?45°，??CBQ?45°． ??ABC??QBC．又??QCB??ACB，BC?BC， ?△CAB≌△CQB． ?BQ?AB?2．?2)． ?点Q的坐标为(3， ?2)，?3k?3??2．?直线CP过点Q(3，?k?1． 31 ?直线CP的解析式为y?x?3．3解法三：如下图，过点A作x轴的垂线交CB于点Q，交CP于点G．

则?CQG??AQB??ABQ?45° ．?AQ?AB?2．又BC?32． ?BQ?22， ?CQ?BC?BQ?32?22?2．又??ACQ??QCG，?CQG??ABC?45° ， ?△CAB∽△CGQ．?BCAB3222 ?．??．?QG?．QCQG32QG288?．?G(1，?)． 333881?)，?k?3??．?k?． ?直线CP过点G(1，333?AG?AQ?QG?2?

３６

1 ?直线CP的解析式为y?x?3．3解法四：如下图，过点B作BE∥CP交y轴于点E.

设?PCB??BCA??，则?EBC????ACB．

，又??OCB??OBC?45°

??OCB??ACB??OBC??EBC．

??OCA??OBE．，又?OC?OB，?COA??BOE?90° ?△COA≌△BOE．

?OA?OE．?A(1，0)，?OE?OA?1．?E(0，?1)．

设直线BE的解析式为y?mx?1 ．10)，?3m?1?0．?m?． ?直线BE过点B(3，31?直线BE的解析式为y?x?1．

31?直线CP的解析式为y?x?3．

3

19. 解：（Ⅰ）根据题意，?OBP?90°，OB?6，

在Rt△OBP中，由?BOP?30°，BP?t，得OP?2t． 根据勾股定理，OP?OB?BP， 即(2t)2222（t??23舍去）． ?62?t2，解得t?23，?点P的从标为(23，6)．

（Ⅱ）?△OB?P、△QC?P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， 有△OB?P≌△OBP，△QC?P≌△QCP．

３７

??OPB???OPB，?QPC???QPC． ??OPB???OPB??QPC???QPC?180°， ??OPB??QPC?90°．

??BOP??OPB?90°， ??BOP??CPQ．

又?OBP??C?90°，

?△OBP∽△PCQ，有

由题设BP?t，AQ?OBBP?． PCCQm，BC?11，AC?6，则PC?11?t，CQ?6?m．

6t?． 11?t6?m111?m?t2?t?6(0?t?11)即为所求．

66?（Ⅲ）点P的坐标为???11?13??11?13?或?． ，6?，6????33????9．① 2

220. 解：（1）由题意，设所求抛物线为y?a(x?3)?将点(0，0)代入①，得a?1． 2?y?

12x?3x． 2（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：

S?S△OBD?S梯形OCAD?S△ABC

３８

11153?4?(?m)?(4?3)(5?m)??m?10． 222234.≤m0?） ?S?m?10．（?52当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：

=

S?S梯形OCAD?S△OBD?S△ABC

1115(4?3)(5?m)??4?m? 2223?m?10． 23?S?m?10．（0≤m?152?）

2?②m1??1，m2??4，m3??4.4．

（说明：本小题写出m1，m2的值，给3分，写出m3的值，给2分）

21. 解：（1）由题意，得??16a?4b?4?0，

?4a?2b?4?0．1?a?，?解得?2

??b??1．∴抛物线的解析式为y?（2）设点P运动到点

12x?x?4. 2·BC. 0?时，有BP2?BD?x，令x?0时，则y??4， ∴点C的坐标为

?4?． ?0，３９

∵PD∥AC， ∴△BPD∽△BAC， ∴

BDBC?BPBA． ∵BC?OB2?OC2?22?42?25，

AB?6，BP?x???2??x?2，

∴BD?BP?BC25?x5?x?2?BA??2?6?3. ∵BP2?BD·BC， ∴?x?2?2?5?x?2?3?25， 解得x41?3，x2??2 (?2不合题意，舍去)， ∴点P的坐标是??4，0??，即当点P运动到??4，0??时，BP2?3??3??BD·BC. （3）∵△BPD∽△BAC，

2∴S△BPDS???BP??AB??， △BAC222∴S△???BP??AB??·S?x?2?1?x?2?BPD△BAC???6???2?6?4?3， ∴S△PDC?S△BPC-S△BPD?12BP·OC?S△BPD ?12??x?2??4??x?2?23??13?x?1?2?3. ∵?13?0，∴当x?1时，S△PDC有最大值为3． 即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大．

22. 解：（1）由OP?4，CQ?2，则在Rt△PCQ中，

４０

10分

PC2?PQ2?CQ2?(25)2?22?16，

?PC?4，

?OC?OP?PC?8，CD?OA?4，?D(8，4) 0?t?4

（2）S值没变化，理由是：?Rt△QCE∽Rt△QDA

则

CEADCE8t8??即，?CE?．

4?tt4?tCQDQ QF?2QD?2(4?t)

18tQF(AD?CE)?(4?t)(8?)?32 24?t ?S值不发生变化，S?32．

?S? （3）方法一：若四边形APQF是梯形，则PQ∥AF．

?△PCQ∽△ADF，?PCAD?，又PC?8?2t， CQDF DF?QD?4?t，?28?2t8? t4?t2 则2t?24t?32?0即t?12t?16?0

12?122?4?1?1612?80??6?25 ?t?22 ?0?t?4 ∴当t?6?25（秒）时，四边形APQF是梯形．

方法二：若四边形APQF是梯形，则PQ∥AF．

?CQP??AFD??AQD??CQE，?QCP??QCE?90°

４１

CQ?CQ，?△QCP≌△QCE ?PC?CE 即8?2t?8t4?t 则2t2?24t?32?0即t2?12t?16?0

?t?12?122?4?1?162?12?802?6?25 ?0?t?4 ?当t?6?25（秒）时，四边形APQF是梯形．

23. 解：（1）?当y?0时，

12x2?32x?9?0， 解得x1?6，x2??3．

?点A的坐标为(?3，0),点B的坐标为(6，0), ?AB?6?(?3)?9，

?当x?0时，y??9， ?点C的坐标为(0，?9), ?OC?|?9|?9.

（2）?l∥BC，

?△ADE∽△ACB，

2?S△ADE?AE?S???， △ACB?AB? ４２

1分2分3分4分

?S△ACB?12AB?OC?12?9?9?812， ???m?2?S81△ADE9??2?12m2. ???S?12m2(0?m?9). （3）解法一：?S1△AEC?2AE?OC?12m?9?92m， 2?S?911?9?81△CDE?S△AEC?S△ADE2m?2m2??2?m?2???8. ??0?m?9，

?当m?9812时，S△CDE取得最大值，最大值为8.

此时，BE?AB?AE?9?992?2.

记⊙E与BC相切于点M，连结EM，则EM?BC，设⊙E的半径为r.

在Rt△BOC中，BC?CO2?BO2?92?62?117. ?∠CBO?∠EBM，∠COB?∠EMB?90?,

?△BOC∽△BME. ?EMOC?EBCB. 9?r9?2117. r?812117. ?所求⊙E的面积为：π??81?22117???72952π.

?

４３

6分

7分

9分

10分

11分

12分

解法二：?S△AEC?119AE?OC?m?9?m， 2222?S△CDE?S△AEC?S?911?9?81△ADE2m?2m2??2??m?2???8. ?0?m?9，

?当m?92时，S81△CDE取得最大值，最大值为8.

此时，BE?AB?AE?9?992?2，

?S181△EBC?2S△ABC?4.

记⊙E与BC相切于点M，连结EM，则EM?BC，设⊙E的半径为r.

在Rt△BOC中，BC?CO2?BO2?92?62?117.

?S1△EBC?2BC?EM, ?12?117r?814， ?r?812117.

?所求⊙E的面积为：π??81?2?2117???72952π.

（注：其他解法请酌情给分）.

24. 解：(1)??A?B?O是由?ABO绕原点O逆时针旋转90?得到的，

又A(0,1),B(2,0),O(0,0)，?A?(?1,0),B?(0,2). 设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，

?抛物线经过点A?、B?、B，

?0?a???b?c??2?c，解之得?a??1?b?1， ??0?4a?2b?c??c?2?满足条件的抛物线的解析式为y??x2?x?2.

（2）?P为第一象限内抛物线上的一动点，

４４

9分

10分

11分

12分

设P(x,y)，则x?0,y?0，P点坐标满足y??x?x?2. 连结PB,PO,PB?,

2?S四边形PB?A?B ?S?B?OA? ?S?PB?O ?S?POB

111??1?2+?2?x+?2?y 222?x?(?x2?x?2)?1??x2?2x?3.----------5分

假设四边形PB?A?B的面积是?A?B?O面积的4倍，则

?x2?2x?3?4，

22即x?2x?1?0，解之得x?1，此时y??1?1?2?2，即P(1,2).

?存在点P(1,2)，使四边形PB?A?B的面积是?A?B?O面积的4倍.

（3）四边形PB?A?B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等.

或用符号表示：

①?B?A?B??PBA?或?A?B?P??BPB?;②PA??B?B;③B?P//A?B;④B?A??PB. 25. 解：（1）设抛物线的解析式为

y?ax2．

4?， ?抛物线y?ax2经过点B??4，?4?16a．1

?a?．4?解析式为y?12x． 4过点B作BE?y轴于E，过点C作CD?y轴于D， 易证△BAE≌△ACD．

?AD?BE?4，CD?AE?3．

?C?3，5?．

（2）设P?x0，y0?

12x上， 4?P在y??y0?121x0 ，?d1?x02 44过P作PF垂直于y轴

４５

?AF?12x0?1，PF?x0． 4AF2?PF2

2?PA?d2??12?2 =?x0?1??x0 ?4?=

12x0?1 4

?d2?d1?1．

（3）过点P作PH?x轴于H，由（1）可得AC?5，

?△PAC的周长=PC?PA?5．

由（2）可得，△PAC的周长=PC?PH?6． ?当C、P、H三点共线时，PC?PH最小．

?9??当P坐标为?3，?时△PAC的周长最小，最小值为11．

?4?

４６

?AF?12x0?1，PF?x0． 4AF2?PF2

2?PA?d2??12?2 =?x0?1??x0 ?4?=

12x0?1 4

?d2?d1?1．

（3）过点P作PH?x轴于H，由（1）可得AC?5，

?△PAC的周长=PC?PA?5．

由（2）可得，△PAC的周长=PC?PH?6． ?当C、P、H三点共线时，PC?PH最小．

?9??当P坐标为?3，?时△PAC的周长最小，最小值为11．

?4?

４６

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