数学七年级上总复习(实数)

数学七年级上总复习

之实数

一、知识结构

知识结构中，平方根与立方根两部分内容是平行的，可对比着进行记忆．

二、知识要点

要点1 平方根、立方根的定义与性质

1、要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

2、因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。

要点2 实数的分类与性质

要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

要点3 二次根式的性质及有关概念

二次根式要紧扣两个要素，即：根指数为2；被开方数大于或等于0。

要点4 实数的混合运算

在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

要点5 非负数

非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。

要点6 数形结合题

数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

要点7 与二次根式有关的探究题

这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、考查要点

1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题

（1）如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．

2、考查实数的有关概念及实数大小的比较

（2）比较大小：7 50．（填“＞”、“＝”或“＜”）

3、考查二次根式的概念

（3）根号x-1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )

(A)x>1 (B)x≥l (C)x<1 (D)x≤1

4、考查同类二次根式

分析：掌握同类二次根式的概念是解决此类问题的关键。首先要把能化简的二次根式化成最简二次根式，再分别看被开方数是否相同即可。

5、考查二次根式的化简与运算

（4）化简400的结果是（）

A．10 B．2 C．4 D．20

1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透

理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上正负号，成了平方根等等。

2、忽略平方根成立的条件

只有非负数才能开平方，成立的条件是a≥0，这一条件解题时往往被我们忽略。

3、实数分类时只看表面形式

对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。

4、二次根式的运算错误

在进行二次根式的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

五、平方根和立方根考点例析

在中考试题中，平方根和立方根的考点有以下几个方面：

一、平方根的概念

如果一个数的平方等于A，那么这个数叫做A的平方根．

例1.9的平方根是【】

(A) 3 (B) (C) 81 (D)

例2.(-5)2的平方根是【】

(A)5 (B)-5 (C)±5 (D)±5

例3.81的平方根是【】

(A)±9 (B) ±3(C)9 (D)3

二、算术平方根

正数A的正的平方根叫做A的算术平方根.

例4.| -4|的算术平方根是【】

(A)2 (B)±2(C)4 (D) ±4

x是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是【】

例5.设x为正整数，若1

(A)x (B)12+-x x

(C)112++-x x (D)212++-x x

三、立方根

如果一个数的立方等于A ，那么这个数叫做A 的立方根．

例6.立方根等于3的数是【 】

（A ）9 （B ）9± （C ）27 （D ）27±

例7.38-等于 【 】

（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）-3

例8.336.28的值为【 】

（A ）3.049 (B)3.050 (C)3.051 (D)3.052

四、科学计算器的应用

例9.用计算器计算2116.0的按键顺序是______,结果等于_____.

六、复习时需要强调和注意的问题

1．平方根与算术平方根的联系和区别：

(1)联系：只有非负数有平方根和算术平方根．0的平方根，算术平方根都为0．

(2)区别：正数的平方根有两个，互为相反数，正数的算术平方根只有一个，用a 表示一个正数，其平方根为a ±，其算术平方根为a （a 为正数）

（3）当0a ≥时，0a ≥；0a <时，a 无意义

2．平方根与立方根的性质：

3、无理数是无限不循环小数，一般来说开方开不尽的数，如2,3等都是无理数，但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式，如π就是一个特例．

4、在实数范围内，对于非负数是可以开平方的，但负数开平方是没有意义的．

5、实数的分类

例1判断题：

1、 16的平方根是4±

2、 25

-

是425的平方根 3、 25-是425

的平方根 4、 425

的平方根是25- 5、 425的平方根是25± 6、有算术平方根的数是正数．

这六道判断题，主要是考查了学生对平方根和算术平方根这两个概念的掌握．

七、例题解析

[例1]判断题：

(1)绝对值等于它本身的实数只有零． ( )

(2)倒数等于它本身的实数只有1． ( )

(3)相反数等于它本身的实数只有0． ( )

(4)算术平方根等于它本身的实数只有1． ( )

(5)有算术平方根的数是有理数． ( )

(6)0是最小的实数． ( )

(7)无限小数都是无理数． ( )

(8)带根号的数都是无理数． ( )

(9)不带根号的数都是有理数．( )

(10)两个无理数的和为无理数． ( )

特别注意

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3

≥0

a ≥0。

4、公式：⑴

)2=a （a ≥0

a 取任何数）。

5、区分

2=a （a ≥0），与 2a =a

6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

7.易混淆的三个数：（1）2a （2）2)(a （3）33a

补充练习

(一)、精心选一选

1． 有下列说法：

（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数包括正无理数、零、负无理数；

（3）无理数是无限不循环小数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）

A ． 0

B ． 正整数

C ． 0和1

D ． 1

3.能与数轴上的点一一对应的是（ ）

A 整数

B 有理数

C 无理数

D 实数

4. 下列各数中，不是无理数的是 （ ） A.7 B. 0.5 C. 2π D. 0.151151115…）个之间依次多两个115(

5．()20.7-的平方根是（ ）

A ．0.7-

B ．0.7±

C ．0.7

D ．0.49

6. 下列说法正确的是（ ）

A ． 0.25是0.5 的一个平方根

B ．.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0

C ． 7 2 的平方根是7

D ． 负数有一个平方根

7.一个数的平方根等于它的立方根，这个数是 （ ）

A.0

B.－1

C.1

D.不存在

8.下列运算中，错误的是 （ ） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③3311-=- ④20

95141251161=+=+ A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 若225a =，3b =，则b a +的值为 （ ）

A ．-8

B ．±8

C ．±2

D ．±8或±2

(二)、细心填一填 (每小题 分，共 分)

10

．在数轴上表示的点离原点的距离是 。设面积为5的正方形的边长为x ,

那么x = 。

11. 9的算术平方根是 ；

94的平方根是 ,271的立方根是 , －125的立方根是 .

12. 25-的相反数是 ，32-= ； 13. =-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .

14. 比较大小

；

2

15- 5.0； (填“>”或“<”) 15. 要使62-x 有意义，x 应满足的条件是 。

16.

已知051=

-+-b a ，则2)(b a -的平方根是________； 17.10.1== ；

18. 一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a=________；

19.一个圆它的面积是半径为

3cm 的圆的面积的25倍，则这个圆的半径为_______.

(

三)、用心做一做

20．（6分）将下列各数填入相应的集合内。

－7，0.32, 13，0，3125-，π，0.1010010001… ①有理数集合｛ … ｝ ②无理数集合｛ … ｝ ③负实数集合｛ … ｝

21．化简（每小题5分，共20分）

① 2+32—52 ② 7(

71-7)

③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823-

-+

22．求下列各式中的x （10分,每小题5分）

（1）12142=x （2）125)2(3=+x

23．比较下列各组数的大少（5分）

（1） 4 与 363 （2

）

24．一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x ，则a 是多少？(6分)

25．已知a 是根号8的整数部分，b 是根号8的小数部分，求（-a ）3+（2+b ）2的值

26.求值（1）、已知a 、b 满足0382=-++b a ，解关于x 的方程()122-=++a b x a 。

（2）、已知x 、y

都是实数，且4y ，求x y 的平方根。

27、如果A=323+-+b a b a 为3a b +的算术平方根，B=1221---b a a 为21a -的立方根，

求A+B 的平方根。

28、实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，X 的绝对值为7

，求代数式2()x a b cd x +++的值。

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