六年级奥数-第四讲.几何-平面部分 教师版 2

小学六年级奥数

第四讲 平面几何部分

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDS1aS2bAB?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

CD④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

CBCDAS1S2蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造

O模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；

S3另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

B梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： aAD①S1:S3?a2:b2 S1S2S4②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab；

O2③S的对应份数为?a?b?．

S3

CB b

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

S4C第 1 页 共 25 页 小学六年级奥数

AEAFDDB①

FGEC

BGC

ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC． A上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着

E广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的F三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

O典型例题

CD【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的B面积为 ．

_H _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ A_ E_ B

_ GD_ C _

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形ABCD中，S△ABG?1?AB?AB边上的高， 2第 2 页 共 25 页 小学六年级奥数

1S?S∴△ABG2同理，S△ABG?ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

1SEFGB． 2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽?8?8?10?6.4(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEGBFC【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HDA

EGB111S?SS?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36 S?S 可得：?EHB?CHB、?DHG?AHB、?FHB22211S?S?S?(S?S?S)??36?18； 即?EHB?BHF?DHG?AHB?CHB?CHD2211111?BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5． 22228 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5 解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF?AD(H)FC

EG

这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

BFC1111111S?S?S?S?S?36???36????36???36?13.5． 阴影ABCD?AED?BEF?CFD2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与P点连接,求阴影部分面积．

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ADA(P)DADPPCCBB

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部

11分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面

4611积为62?(?)?15平方厘米．

46（法2）连接PA、PC．

由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和

11等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的，

4611所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米．

46

【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，AD?15，四边形EFGO的面积

为 ．

BADCOEBFGC

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．

1由于长方形ABCD的面积为15?8?120，所以三角形BOC的面积为120??30，所以三角形AOE和

43DOG的面积之和为120??70?20；

4?11?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120?????30，所以四边形EFGO的面积为

?24?30?20?10．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积，而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120?70?50，所以四边形的面积为60?50?10．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的面积为 ．

AOB【解析】 如图，连接OE．

EDAMOBENDC

C

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11S?S?OED； ON:ND?S:S?S:S?1:1根据蝴蝶定理，，所以?OEN?COE?CDE?CAE?CDE2211S?S?OEA． OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4，所以?OEM5211S??S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部分面积为：3?1?6?1?2.7． 又?OED3425

【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)

A甲乙IJMBNH丙EDF

【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有S?ABCC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN，

?SAMHN．

1?400?43． 4即400?S丙? 200?200?SAMHN，所以S丙又S阴影?S?ADF?S甲?S乙?SAMHN，所以S阴影?S甲?S乙?S丙?S?ADF?143?

【例 5】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

AACDBEFGCDBEFG【解析】 连接AF，BD．

根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28；

所以，S?BEF

15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，S?AED?7S?ADG， 272827287122115S?S?CBF?38； S?S?65于是：；?ADG?ADG?CBF28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．

?

【例 6】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘

米，求△ABC的面积．

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AADEDEBCB【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE

?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，

C

S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)，设S△ADE?8份，则

S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三

角形ABC的面积是多少？

AADECDECB【解析】 连接BE．

∵EC?3AE ∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD

∴SADE?SABE?5?SABC?15，∴SABC?15SADE?15．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

AAEB甲DE B

乙C【解析】 连接AD．

∵BE?3，AE?6

∴AB?3BE，SABD?3SBDE 又∵BD?DC?4，

∴SABC?2SABD，∴SABC?6SBDE，S乙?5S甲．

【例 7】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

DD

B甲D乙C

AAEBCE

BC

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【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)

S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，

所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要

的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面

积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HHAGDFBCEAGDFBCE【解析】 连接AC、BD．根据共角定理

∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，

SAB?BC1?11??． ∴△ABC?S△FBEBE?BF1?33又S△ABC?1，所以S△FBE?3．

同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△AEH?8．

所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36．

S21?． 所以ABCD?SEFGH3618

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

C1312O131213D131212AB【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?5，以AC为一边向?ABC外作正方形ACDE，

中心为O，求?OBC的面积．

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EEOA3B5CDOA3D【解析】 如图，将?OAB沿着O点顺时针旋转90?，到达?OCF的位置．

由于?ABC?90?，?AOC?90?，所以?OAB??OCB?180?．而?OCF??OAB， 所以?OCF??OCB?180?，那么B、C、F三点在一条直线上．

由于OB?OF，?BOF??AOC?90?，所以?BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5?3?8，所以它

1的面积为82??16．

45根据面积比例模型，?OBC的面积为16??10．

8

【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，?AEB?90?，AC、BD交于O．已

知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

CBCB

B5CF

OEDADOEAF

【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置．

那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?，而?AEB也是90?，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF?AE?3，

所以梯形AFBE的面积为：

1?3?5??3??12(cm2)．

2又因为?ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2?AE2?BE2?32?52?34，所以

S?ABD?1AB2?17(cm2)． 2那么S?BDE?S?ABD??S?ABE?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2)，

1S?S?BDE?2.5(cm2)． 所以?OBE2

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，

BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD?24厘米，BD?18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

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BACGABCFEDFED

【解析】 如图，我们将?BCD平移使得CD与AF重合，将?DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重

合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24?18?432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．

【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于

点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC

S△ABFBD1S△ABFAE??1, ??，【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，

SECS△ACFDC2△CBF设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标

55S△ABC? 1212所以SDCEF?方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?11S△ABC?， 33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以

FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，

223232122115S???S?而△CDE．所以则四边形DFEC的面积等于． △ABC32312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方

厘米?

AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3xyCEG

C【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?平方厘米. 1212

【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面

1积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

3第 9 页 共 25 页 小学六年级奥数

AOBDAHOCBDG

ABCD【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知

条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件SABD:SBCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．

解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1． 解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．

C111S?S?DOC， S?S∵?ABD?BCD，∴AH?CG，∴?AOD3331∴AO?CO，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1．

3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2B1G3DC【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，SBGC

?1?2?3，那么SBGC?6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、

4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．

AOGDFC

△BCD2?4?4?6?16△BCO【解析】 ⑴根据题意可知，的面积为，那么和?CDO的面积都是16?2?8，所以

△OCF的面积为8?4?4；

⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6?2，

根据蝴蝶定理，EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2，所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2， 那么S?GCE

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