2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

*归海木心*工作室 QQ:634102564

2001年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 sinacos??1?sin??????sin?????? S台侧?1(c??c)l 221其中c′、c分别表示上、下底面周长， cosasin???sin??????sin?????? 2l表示斜高或母线长 1cosacos???cos??????cos??????2台体的体积公式 1?cos??????cos??????2V台体? sinasin???

1(S??S?S?S)h 3一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 若siniθcosθ＞0，则θ在 (A) 第一、二象限

(B) 第一、三象限

(C) 第一、四象限

( )

(D) 第二、四象限

( )

(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

(A) (x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 (C) (x－1) 2＋(y－1) 2 = 4

(B) (x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 (D) (x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4

(3) 设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 6

( )

(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是

(A)(0，)

( )

12(B)?0，?

2??1??(C) (

1，＋∞) 2(D) (0，＋∞)

(5) 极坐标方程??2sin(???4)的图形是

( )

(6) 函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 (A) y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (C) y = arc cos (x－1)(0≤x≤2)

(B) y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (D) y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2)

( )

(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0) F2 (3，0)，则其离心率为 (A)

( )

3 4(B)

2 3(C)

1 2(D)

1 4( )

(8) 若0＜α＜β＜(A) a＜b

?，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则 4(B) a＞b

(C) ab＜1

(D) ab＞2

(9) 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB?

(A) 60°

(B) 90°

2BB1，则AB1 与C1B所成的角的大小为

( )

(C) 105°

(D) 75°

(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：

① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增； ② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增； ③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减． 其中，正确的命题是 (A) ①③

(B) ①④

(C) ②③

(D) ②④

( )

(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) (A) P3＞P2＞P1

(B) P3＞P2 = P1

(C) P3 = P2＞P1

(D) P3 = P2 = P1

(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为

(A) 26

(B) 24

(C) 20

(D) 19

( )

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 x2y2??1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P(14)双曲线

916到x轴的距离为 (15)设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

q = (16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17) (本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD?(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． (18) (本小题满分12分) 已知复数z1 = i (1－i) 3． (Ⅰ)求arg z1及z1；

(Ⅱ)当复数z满足z1=1，求z?z1的最大值． (19) (本小题满分12分)

设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

(20) (本小题满分12分)

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

i (Ⅰ)证明niPm?miPni；

1． 2(Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． (21) (本小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

1．本年度当地旅游业收入估计5为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1． 4 (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

(22) (本小题满分14分)

设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0． (Ⅰ)求f (

1]211) 及f ()； 241)，求lim?lnan?．

n??2n(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； (Ⅲ)记an = f (2n＋

2001年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D

二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（13）2π （14）

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

16 （15）1 （16）2n (n－1) 5

*归海木心*工作室 QQ:634102564

三.解答题：

（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．

解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是 M底面?1?BC?AD??AB?1?0.5?1?3， ……2分 224∴ 四棱锥S—ABCD的体积是

1?SA? M底面 313?1? ?341． ……4分 ?4（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱． ……6分

V?∵ AD∥BC，BC = 2AD， ∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线， 又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， ∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ SB?SA2?AB2?2，BC =1，BC⊥SB，

BC2． ?SB22． ……12分 2∴ tan∠BSC ?即所求二面角的正切值为

（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i， 将z1化为三角形式，得

7?7???z1?22?cos?isin?，

44??感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

∴ argz1?7?，z1?22． ……6分 4 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则

z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i，

z?z1

2??cos??2???sin??2?

22?9?42sin(???4)， ……9分

当sin(???4) = 1时，z?z12取得最大值9?42．

从而得到z?z1的最大值为22?1． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．

证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (设为

p，0)，所以经过点F的直线的方程可2x?my?代入抛物线方程得

p； ……4分 2y2 －2pmy－p2 = 0，

若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以

y1y2 = －p2． ……8分

因为BC∥x轴，且点c在准线x = －的斜率为

pp上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO22k?y22py1??． py1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． ……12分

证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交于点N，则

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

ENAD?CNAC?BFAB，

NFBC?AFAB ……6分 ，根据抛物线的几何性质，AF?AD，

BF?BC， ……8分

∴ EN?AD?BFAB?AF?BCAB?NF，

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．

（Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有

i pm= m·…·(m－i＋1)，

ipmm?i?1mm?1????…，

mmimm

ipnn?i?1nn?1?…? 同理 i??， ……4分

nnnn 由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有

n?km?k?， nmiipnpmii所以 i?i，即mipn． ……6分 ?nipmnm（Ⅱ）证明由二项式定理有

?1?m?ni， ??miCni?0n ?1?n??m?nCii?0mim， ……8分

ii由 (Ⅰ)知mipn＞nipm(1＜i≤m＜n＝，

iipmpni而 C?，Cn?， ……10分

i!i!im感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

ii所以， miCn(1＜i≤m＜n＝． ?niCmmm因此，

?mCii?2ini． ??niCmi?20011i又 m0Cn?n0Cm?1，mCn?nCm?mn，miCn?0?m?i?n?．

nm∴

?mCii?0ini． ??niCmi?0即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－

1）万元，……，第n年5投入为800×（1－

1n－1

）万元． 511－

）＋…＋800×（1－）n1 55所以，n年内的总投入为

an = 800＋800×（1－

n

1??800?(1?)k?1

5k?1= 4000×[1－(

4n

)]； ……3分 51第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……，第

41－

n年旅游业收入为400×（1＋）n1万元．

4

所以，n年内的旅游业总收入为

bn = 400＋400×（1＋

n

11－

）＋…＋400×（1＋）n1 445??400?()k?1

4k?1= 1600×[ (

4n

)－1]． ……6分 5（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

bn－an＞0，

即 1600×[（

5n 4）－1]－4000×[1－（）n]＞0． 45感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

化简得 5×（设x?（

4n4）＋2×（）n －7＞0， ……9分 554n

），代入上式得 55x2－7x＋2＞0，

解此不等式，得

2，x＞1(舍去)． 542即 （）n＜，

55x?由此得 n≥5．

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．

（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，

f(x)?f (

1]，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)，所以 2xx) · f ()≥0，x∈[0，1]． 2211111∵ f(1)?f (?) = f () · f () = [f ()]2，

22222111111 f ()?f (?) = f () · f () = [f ()]2． ……3分

244444f(1)?a?0，

11∴ f ()?a2，f ()?a4． ……6分

24（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称， 故 f (x) = f (1＋1－x)，

即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8分 又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R， ∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R， 将上式中－x以x代换，得

f (x) = f (x＋2)，x∈R．

这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．

11感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

*归海木心*工作室 QQ:634102564

∵ f (

12)= f (n ·12n) = f (12n＋（n－1）·12n) = f (12n) · f (（n－1）·12n)

= f (1112n) · f (2n) · … ·f (2n)

= [ f (1n

2n)]，

1 f (1) = a22，

1∴ f (1) = a2n2n．

∵ f (x)的一个周期是2，

1∴ f (2n＋12n) = f (12n)，因此an = a2n， ∴ lim?lna1n??n??limn??(

2nlna) = 0．

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

……12分14分

……

*归海木心*工作室 QQ:634102564

∵ f (

12)= f (n ·12n) = f (12n＋（n－1）·12n) = f (12n) · f (（n－1）·12n)

= f (1112n) · f (2n) · … ·f (2n)

= [ f (1n

2n)]，

1 f (1) = a22，

1∴ f (1) = a2n2n．

∵ f (x)的一个周期是2，

1∴ f (2n＋12n) = f (12n)，因此an = a2n， ∴ lim?lna1n??n??limn??(

2nlna) = 0．

感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：wrl6120.taobao.com

……12分14分

……

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/hup7.html