D6_1微分方程及其求解(4)

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常系数非齐次线性微分方程一、

f (x) = e P (x) 型 m+P (x)sinωx]型 n

λx

二、 f (x) = eλ x[P(x)cosω x l

高等数学》 《高等数学》

土木103、104 、 土木

2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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二阶常系数非齐次线性微分方程 :

y′′ + py′ +qy = f (x)y =Y+y*

(p,q为常数 为常数) 为常数

①

根据解的结构定理 , 其通解为齐次方程通解 非齐次方程特解

求特解的方法

— 待定系数法的待定形式, 的待定形式

根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解

代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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设非齐次方程(2)的右端 定理 4 设非齐次方程 的右端 f (x)是几个函

( 数之和, 数之和 如 y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) + f2(x)分别是方程, 而 y 与 y 分别是方程* 1 * 2

y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) ( y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f2(x) (的特解, 就是原方程的特解. 的特解 那么 y + y 就是原方程的特解* 1 * 2

解的叠加原理高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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一、

f (x) = e P (x) 型 m

λx

λ 为实数 , P (x)为 m 次多项式 . m λx 设特解为 y* = e Q(x),其中Q(x)为待定多项式 , ′ = eλ x[λ Q(x) +Q (x)] ′ y*

′′ = eλ x[λ2 Q(x) +2λ Q (x) +Q (x)] ′ ′′ y*代入原方程 , 得

′′ (x)+(2λ + p)Q′ (x)+(λ2 + pλ +q)Q(x)] e [Qλx

= e P (x) m高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

λx

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Q′′ (x)

+(λ2 + pλ +q)Q(x) = P (x) m

(1) 若 λ 不是特征方程的根 不是特征方程的根, 可设 Q(x) = Q (x), y* = Q (x) eλx . m m (2) 若λ 是特征方程的单根 , 即 可设 Q(x) = xQ (x), y* = xQ (x) eλx . m m (3) 若 λ 是特征方程的重根 , 即 2λ + p= 0, 可设 Q(x) = x2Qm(x), y* = x2Q (x)eλ x m高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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综上讨论

f (x) = e P (x) 型 m

λx

特解形式设为

y* = x Q (x)e mk

λx

0 λ 不是根 λ 是单根 k = 1 2 λ 是重根

上述结论可推广到n阶常系数非齐次 上述结论可推广到 阶常系数非齐次 是重根次数). 线性微分方程 (k是重根次数 是重根次数高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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例1.

的一个特解. 的一个特解

解: 本题 λ = 0, 而特征方程为 λ = 0不是特征方程的根 . 代入方程 : 设所求特解为

比较系数, 比较系数 得 于是所求特解为 于是所求特解为高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木

1 b0 = 1, b = 1 3

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例2.

的通解. 的通解

解: 本题 λ

= 2, 特征方程为 r2 5r +6 = 0 其根为 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的通解为 齐次方程的通解 设非齐次方程特解为 y* = x( b x + b )e 非齐次方程特解为 0 1 代入方程得 2b x b + 2b = x 0 1 0高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期2x

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例2.

的通解. 的通解

解: 代入方程得 2b x b + 2b = x 0 1 0 比较系数, 比较系数 得1 b0 = , b = 1 1 2

1 因此特解为 因此特解为 y* = x( x 1)e2x 2所求通解为 所求通解为高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木

1 2 2x ( x + x)e 2

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、 二 f (x) = e P (x)cosβ x或 f (x) = e P (x)sinβ x 型 m mαxαx

设 y′′ + py′ +qy = F(x) 令 F(x) = e P (x) m 一般为复根) 一般为复根 求 y′′ + py′ +qy = F(x) 的特解 y*(一般为复根(α+iβ )x

y = y + iy 可以证明 y1 与 y2 分别是下列方程的解 αx y′′ + py′ +qy = e P (x)cosβ x m′′ + py′ +qy = eαxP (x)sinβ x y m高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

1

2

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综上讨论

F(x) = e

(α+iβ ) x

P (x) 型 m

特解形式设为

y*= x Qm(x)ek

(α+iβ ) x

0 k = 1高等数学》 《高等数学》

(α±iβ)不是根 ± 不是根 (α±iβ) 是根 ±

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例3

的一个特解 .

解 特征方程 r2 +1= 0 有共轭复根 本题 α = 0, β = 2, P (x) = x m 不是特征根 的特解 令特解高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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例3 解 将特解 代入原方程得

的一个特解 .

( 3ax 3b+4ai)e 3a =1

i 2x

= xe

i 2x

3b+ 4ai = 0高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木

1 4 a= b = i = 3 9

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例3 于是求得一个特解 于是求得一个特解

的一个特解 .

原方程得一个特解 原方程得一个特解高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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例4 解 对应齐次方程 特征方程为 特征根: 特征根

的通解 .

r +1= 02

r = i, r = i 1 2

对应齐次方程的通解： 对应齐次方程的通解：

Y = C cos x +C2 sin x 1高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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例4

的通解 . 本题 α = 0, β =1, P (x) = 0, m

解 齐次通解： = C cos x +C sin x 齐次通解： Y 1 2 特征方程 r2 +1= 0 是特征方程的根 考虑方程 故设特解为高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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例4 解 代入方程整理得ix 2 ix

的通解 .

2axie +axi e +ax

e = 4eix

ix

a = 2i

于是求得一个特解 于是求得一个特解 原方程通解为高等数学》 《高等数学》

y = C1 cos x +C2 sin x 2xcos x土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

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小结 一、一阶微分方程求解1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 四个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程, 全微分方程 线性方程 *全微分方程 关键: 关键 辨别方程类型 , 掌握求解步骤

高等数学》 《高等数学》

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二、高阶微分方程求解 1. 可降阶的二阶微分方程 y′′= 型的微分方程 ′′=f(x)型的微分方程 ′′= 解法 逐次积分 解法: 高阶

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