向量 板块四 平面向量的应用 学生版

板块四.平面向量的应用

典例分析

题型一：向量综合

?????????①(a?b)c?(c?a)b?0 ??????③(b?c)a?(c?a)b

【例1】 设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

垂直

????②a?b?a?b

2?不与c?????④(3a?2b)?(3a?2b)?9a??4b2中，

真命题是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【例2】 设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三

??????????角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

????????【例3】 ⑴ 已知A(1,3)，B?3,7?，C(6,0)，D(8,?1)，求证：AB?CD．

⑵ 已知a⑶ 已知a

???(?3,?2)，b?(4,4)．求2a?3b，cos?a,b?．

，若2a?3b，求x、y的值．

?????????(x?y?1,2x?y)，b?(x?y,x?2y?2)???b，c【例4】 关于平面向量a，．有下列三个命题：

．

????????k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3a?c，则b?c．②若a?(1，?????????③非零向量a和b满足a?b?a?b，则a与a?b的夹角为60?．

①若a?b=??其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

【例5】 如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角?OAB，使?B?90?，求点B和向量AB????的坐标．

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【例6】 设A(a，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB1)，B(2，????????在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）

A．4a?5b?3 B．5a?4b?3 C．4a?5b?14 D．5a?4b?14

【例7】 已知P(x,y)，

????A(?1,0)，向量PA??与m?(1,1)????共线.

（1）求y关于x的函数；

（2）是否在直线y?2x和直线y?3x上分别存在一点B,C，使得满足?BPC为锐角时x取值集合为{x|x??若不存在，说明理由.

【例8】 已知向量a,b满足|a|?|b|?1，且|a?kb|?3|ka?b|，其中k?0.

??（1）试用k表示a?b????，并求出a?b?的最大值及此时a??7或x?7}？若存在，求出这样的B,C的坐标；

?????????与b的夹角?的值；

（2）当a?b取得最大值时，求实数?，使|a??b|的值最小，并对这一结果作出几何解释.

【例9】 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP＝OA＋tABOPOAAB

????????????????????????求：(1) t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

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【例10】 已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，向量OA,OB,OC满足

?????????????32OA?(x?1)?OB?[ln(2?3x)?y]?OC?02 ????????????,记

y?f(x).求函数y?f(x)的解析

式；

????【例11】 已知P??a|a?(1，0)?m(0，1)，m?R?，Q?b|b?(1，1)?n(?1，1)，n?R??是两个

向量集合，则P?Q

题型二：与三角函数综合

?（ ）

A．?(1，1)? B．?(?1，1)? C．?(1，0)? D．?(0，1)?

【例12】 已知向量a?(2cos?,2sin?)，??(?2,?),b?(0,?1)，则向量a与b的

夹角为（ ） A．

3?2

?? B．

?2?? C．???2 D．?

??b，c为?ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m?(3，【例13】 已知a，?1)，

????，则角n?(cosA，sinA)．若m?n，且acosB?bcosA?csinC

B? ．

?sin?)，b?(cos?，?sin?)【例14】 已知向量a?(cos?，??????，且a??b，那么a?b与a?b的夹

角的大小是_______．

【例15】 已知向量a??cos?????⑴求a?b及a?b??3x2,sin??3x?xx?b??cos,?sin?，?2?22??，且x???π?,π??2?.

；

的最大值，并求使函数取得最大值时x的值.

⑵求函数

????f(x)?a?b?a?b大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com

【例16】 若a=?cos?，sin??，b=?cos?，sin??，且ka+b?3a?kb，其中k?0．

（1）用k表示a?b；（2）求当k

?1时，a与b所成角?(0≤?≤π)的大小．

????【例17】 已知向量m=?cos?，2π)，且cos??，??(π，sin??和n=?2?sin?，????π82??cos?，求m+n??5?28

??的值． ????【例18】 设a=(1?cos?，sin?)，b=?1?cos?，sin??，c=??，0?，??(0，π)，??(0，π)，

?π6?a?与c?的夹角为?1，b?与c的夹角为?2（1）用?表示?1；（2）若?1??2，求

sin???4的值．

1)，OB?(1，3sin2x?a)（x?R，a?R，a【例19】 已知O为坐标原点，OA?(2cos2x，????????为常数），若y?????????OA?OB，

（1）求y关于x的函数解析式f(x)；

（2）若x??0，?时，f(x)的最大值为2，求a的值，并指出函数f(x)(x?R)的

?2??π?单调区间．

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【例20】 在锐角△ABC中，已知2cosA?2cosB?3?2cos(A?B)，求角C的度数．

???1π?3??【例21】 设???0，?，向量a??cos?，sin??，b???，??2?2?2???????????⑴证明：向量a?b与a?b垂直；⑵当2a?b?a?2b．

时，求角?．

【例22】 已知点A?2,0?，B?0,2?，C?cos?,sin??，且0???π．

????????????????⑴若OA?OC?7，求OB与OC????????⑵若AC?BC，求tan?的值．

的夹角；

【例23】 已知A、B、C的坐标分别为A(4,0)，B(0,4)，C(3cos?,3sin?)．

⑴若????π,0?且

????????AC?BC2，求角?的值；

的值．

????????⑵若AC?BC?0，求

2sin??sin2?1?tan?

【例24】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(2,????82)，若a?b?5，且

π4?x?π2.

⑴试求出cos?x???π??4?和tan?x???π?sin2x(1?tanx)求?的值；⑵4?1?tanx的值.

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【例25】 设向量a??3sinx，cosx?，b??cosx，cosx?，记f?x??a?b．

???? ⑴求函数f?x?的最小正周期； ⑵画出函数f?x?在区间

11π??π?，?1212???的简图，并指出该函数的图象可由

y?sinx?x?R?的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

⑶若x?????ππ?，?，函数g?x??f63??x??m的最小值为2，试求出函数g?x?的最大

值并指出x取何值时，函数g?x?取得最大值．

【例26】 已知向量a??cos?????⑴求a?b及a?b??3x2,sin??3x?xx?b??cos,?sin?，?2?22??，且x??0,??π?2??，

；

??a?b⑵若f?x??a?b?2?

??的最小值是?32，求?的值．

【例27】 设平面上P、Q两点的坐标分别是?cos?π??x??0,2????x2,sinx??2?，??cos??3x2,sin3x??2?，其中

．

⑴求PQ的表达式； ⑵记f(x)?

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PQ2?4?PQ???R?，求函数f(x)的最小值．

a,b,c为△ABC的内角A、【例28】 B、C的对边，m?(cos??C2,sinC2)，n?(cos?C2,?sinC2)，

且m与n的夹角为，求C；

3????

【例29】 在?ABC中，a，b，c分别为角A、B、C

?n?(sinB,1?cosB)??的对边；若向量m?(2,0) 与

的夹角为

?3，求角B的大小

【例30】 已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos?,sin?),??(,2????????（1）若|AC|?|BC|，求角??3?2).

的值；

的值。

2????????2sin??sin2?（2）若AC?BC??1，求

1?tan?

【例31】 已知：A、B、C是?ABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量

??m????????3,cos???A??1，n??cos??A?,1??2???????，m?n.求角A的大小；

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【例32】 在?ABC中，已知角A为锐角，向量

?A?A???π?2sin?sinπ?????????22?2??π???m??，tan??A??，

πAA??????2??22sin??sinπ???????2?2??2?????cos(π?2A)?1sin(π?2A)????n??，，f(A)?m?n． ?22?????⑴向量m∥n时，求A；

⑵求f(A)的最大值． ⑶若A?

【例33】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为

3π4B?7π12，f(A)?1，BC?2，求?ABC的三个内角和AC边的长．

，OB?2，设?AOB??，??π3π???，?4??2．

⑴用?表示点B的坐标及OA； ⑵若tan?B??43，求OA?OB的值．

????????yOAx

题型三：平面向量在平面几何

【例34】 在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（—3，4），若点C在∠AOB

????????的一平分线上，且|OC|?2，则OC?____________.

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【例35】 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延

??????a??????b长线与CD交于点F．若ACAEOBC1?a?41?a?21?b 21?b 4，BD，则AF=（ ）

????DFA． C．

B．

D．

2?a?31?a?3

1?b32?b3

?????????????【例36】 若O是?ABC内一点，OA?OB?OC?0，则O是?ABC的（ ）

D．重心

Ａ．内心

AB．外心 C．垂心

OBDEC

的大小为____

?????????????【例37】 若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则内角C

【例38】 在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若

????????????AM=2，则OA?(OB?OC)的最

小值为 .

【例39】 已知点M是?ABC的重心，MA?a,MB?b，用a,b表示AB,AC,BC．

AFMBDC????????????????????????E

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【例40】 在△ABC

????中，已知向量AB????与AC????????????ABAC满足(?????????)?BC?0|AB||AC|????????ABAC1且??????????|AB||AC|2，

则△ABC为（ ） A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形

【例41】 已知OA?1，OB?3，OA?OB?0，点C在?AOB内，且?AOC?30o，设

????????????OC?mOA?nOB (m,n?R)B．直角三角形 D．等边三角形

????????????????，则

mn等于（ ）

3

A． B．3 C．3133 D． O是平面内一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足【例42】

?????????????????ABACOP?OA?????????????ABAC?????，??[0,??)，则P的轨迹一定通过?ABC的( )

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【例43】 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD

【例44】 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.

【例45】 四边形ABCD中，AB?(6,1),BC?(x,y),CD?(?2,?3)

????????（1）若BC//DA????????????，试求x与y满足的关系式；

，求x,y的值及四边形ABCD的面积。

????????（2）满足（1）的同时又有AC?BD

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【例67】 已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长

MP到点N，且PM???????????????????PF?0,PM?PN．

（Ⅰ）求点N的轨迹；

（Ⅱ）直线l与N的轨迹交于A、B两点，若OA?OB求直线l的斜率k的取值范围．

【例68】 a?(x,y?2),b?(x,y?2),a?b?8,

??????????????4，且46?AB?430，（Ⅰ）求M(x,y)的轨迹C；

(Ⅱ)过点（0，3）作直线l与曲线交于A,B

l????????????两点，OP?OA?OB，是否存在直线

使OAPB为矩形．

??????【例69】 已知a=（x,0），b=（1，y），（a+3b）?（a–3b）．

（I） 求点?（x，y）的轨迹C的方程；

（II） 若直线l： y=kx+m (m?0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

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题型六：在代数中的应用

【例70】 已知?x2?y2?z2??a2?b2?c2???ax?by?cz?，且x，y，z，a，b，c为非零实

2数，求证

xa?yb?zc。

【例71】 已知a1?b2?b1?a2?1，求证a2?b2?1。

【例72】 已知a，b，c?R，且a?2b?3c?6，求证a2?2b2?3c2?6。

【例73】 求函数y?5x?1?10?x的最大值。

【例74】 求函数y?x?3?10?9x2的最大值。

【例75】 求函数y?x?4?2?3?x?2?9的最小值。

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【例76】 设xi（i＝1，2，……，2003）为正实数，且x1?x2????????x2003?2003，试

求y

?x1?x2?x2?x3????????x2002?x2003?x2003?x1的最小值。

【例77】 已知a，b，c，d?R，求y?a??1?b?22?b??1?c?22?c2??1?a?2的最小

值。

【例78】 设a、b、c、d均为正数，求证a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2

【例79】 若a?b?c?1，求证：a2?b2?c2?13

【例80】 求证：若a1，a2，a3，?，an和b1，b2，?，bn都是正数，则

a1?a2???an?222b1?b2???bn?222(a1?b1)?(a2?b2)???(an?bn)222

【例81】 求函数y?x?3?10?9x2的最大值。

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【例82】 求函数y?x?x?1?2 x?x?1的值域。

2

【例83】 已知x>0,y>0，且x+y=1，求2x?1?2y?1的最大值

【例84】 已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：(1?)(1?x11y)?9。

【例85】 求证：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)

【例86】 设任意实数x，y满足|x|?1，|y|?1， 求证：

11?x2?11?y2?21?xy

【例87】 设a，b为不等的正数，求证(a4?b4)(a2?b2)?(a3?b3)2

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