《物理学基本教程》课后答案 第二章 牛顿定律

第二章 牛顿定律

2-1 在如图2-1(a)所示的倾角为?30的斜面上，由一轻杆相连的二滑块A 、B 质量相同，m A = m B = 2.5 kg ，与斜面间的滑动摩擦系数分别为20A

.=μ，

10B .=μ．求杆中的张力(或压力)以及滑块的加速度． 分析 应用牛顿定律解力学问题的基本步骤为：（1）根据题意选取研究对象；（2）分析研究对象的受力情况，并画出示力图；（3）选取坐标系，将力或加速度沿坐标轴分解为分量，根据牛顿第二定律列出各个物体的运动方程；（4）求解方程，先进行文字运算，再代入数据，计算出结果．

在分析力的过程中，必须注意每个力是哪个物体施给它的，没有施力物体的力是不存在的．在涉及斜面的问题中，斜面上物体所受到的作用力有重力、斜面压力和摩擦力，而不存在上滑力或下滑力．在连接体之间存在张力或压力．

解 分别选取滑块A 、B 为研究对象，受力分析分别如图2-1（b ）、（c ）所示．假设杆中为张力，由于轻杆质量可以忽略，施加于A 和B 的张力大小应相

等，即T TB TA F F F ==．

取Oxy 坐标系如图2-1所示，应用牛顿第二定律，得滑块A 的运动方程为 x 方向： a m F F g m A fA T A =--θsin (1)

F

O θ TB θ ?30 m B g m A g

x

(a) (b) (c)

图2-1

y 方向： 0A NA =-θcos g m F (2) 滑块B 的运动方程为

x 方向：

a

m F F g m B fB T B =-+θsin (3)

y 方向： 0B NB =-θcos g m F (4) 由(2)式得θcos g m F A NA =，摩擦力θμμcos g m F F A A NA A fA ==，代入(1)式得

a m g m F g m A A A T A =--θμθcos sin (5)

由(4)式得θcos g m F B NB =，摩擦力θμμcos g m F F B B NB B fB ==，代入(3)式得

a m g m F g m B B B T B =-+θμθcos sin (6)

从(5)和(6)式消去F T ，并注意到m A = m B = 2.5 kg ，得

2

2

2

B

A B

A B

B A A m/s

633m/s

2 3892

1

020m/s 2

189 2

.....cos sin cos sin =?

?+-

?

=+-=++-=θ

μμθθ

μμθg g g m m m m g a

代入(5)式，得

N

061N 2

38952102050 2

1A A T ...)..(.cos )(-=?

??-?=-=

θ

μμg m F B

上式中结果的负号表明，滑块A 所受轻杆的作用力方向与原假设相反，即受到沿斜面向下的推压力，因此杆中出现的是压力，量值为1.06 N ．

2-2 一金属链条放置于水平桌面上，其纵向与桌子边缘垂直，当链条长度的1/4部分垂挂于桌子边缘时，此链条刚好能开始在桌面上滑动，求链条与桌面之间的摩擦系数为何值？

分析 对于质量连续分布的物质，例如链条、绳和长杆等，根据题意，在运动过程中任一瞬时，可以将其分割成各自独立的部分作为研究对象，这些独立部分可以视为质点，作出示力图，分析

各部分的受力情况，于是原来是内力的张力或压力就变成了分割出的独立部分所受到的外力，就可以应用牛顿第二定律建立运动方程了．

解 设链条质量为m ，当链条刚好能开始在桌面上滑动时，桌面上的链条质量为m

m 431=

，悬垂部分的链条质量为m

m 4

12=

．分别以这两部分为研究对象，

作示力图如图2-2所示．

作用于桌面上链条的力有：重力m 1g ，桌面的正压力F N ，摩擦力F f ，悬垂

部分对它的张力F T1．

作用于悬垂链条的力有：重力m 2g ，桌面部分对它的张力F T2．不考虑桌面

边沿的形状和摩擦，则链条两部分中的张力大小应相等，F T1= F T2= F T ．

由于链条刚好能开始在桌面上滑动，摩擦力为最大静摩擦力N f F F μ=，此时

链条加速度为零，可得

mg

g m F 431N =

=

N f T F F F μ==

T 24

1F mg g m ==

m 2g

图2-2

由以上各式可解得 31=

μ 2-3一物体沿倾角为30°的斜面向上滑动，在斜面底部时其初速为12m/s ，物体与斜面间摩擦系数为0.2，求(1)物体达到最高点所需要的时间，(2)返回底部时的速度，(3)摩擦系数为多大时，将使物体上升到速度为零后就不再往下滑动．

分析 滑动摩擦力始终与运动物体相对滑动的方向相反，因此物体在斜面上向上滑动和向下滑动时的摩擦力正好反向，则物体所受合外力不同，加速度也就不同．通常取加速度方向为坐标轴正向，分别就向上滑动和向下滑动选取坐标系建立运动方程．

由于牛顿第二定律建立的方程确定的是力和加速度之间的关系，因此，当所讨论的问题涉及到速度、位移和运动时间等运动学的物理量时，还要应用运动学中已经获得的相关公式求解．

解 (1) 在上滑过程中，物体受力如图2-3(a)所示，摩擦力F f1沿斜面向下，且N 1f F F μ=．选Oxy 坐标系如图所示，设加速度1a 方向沿x 轴正向，应用牛

顿第二定律得上滑过程的运动方程为

x 方向： 11f 30ma F mg =-?-sin

y 方向： 030N =?-cos mg F

由以上各式解得

)cos (sin ?+?-=30301μg a

由初始条件：0=t 时，m/s 120=v ，而到达最高点时速度为零，有

t a 100=-v

则到达最高点所需时间为

s 1.82s 866020508912 3030010=?+?-=?+?-=-

=)

...(.)cos (sin μg a t v v (2) 物体向下滑时，受力如图2-3(b)所示，摩擦力F f2沿斜面向上，且

N f2F F μ=．选Oxy 坐标系如图所示，设加速度2a 方向沿x 轴正向，应用牛顿

第二定律得下滑过程的运动方程为

x 方向： 2f230ma F mg =-?sin

y 方向： 030N =?-cos mg F

由以上各式解得

)cos (sin ?-?=30302μg a (1)

物体上升时的位移为

)cos (sin ?+?=-=30302220120

μg a s v v

下滑过程由静止开始，到达底部时速率为

m/s

8.36m/s 1286602050866

02050 3030303020

2=??+?-=?+??-?==......cos sin cos sin v v μμs a

(3) 令02=a 代入（1）式，则物体位于最高点时速度为零，又无向下加速度，

?30 m g ?30 m g

(a) (b)

图2-3

即不再向下滑动，可得

577030.tan =?=μ

2-4 细绳跨过轻滑轮连接着质量分别为5kg 和1kg 的二物体，滑轮吊在弹簧称下悬挂于升降机之中，如图2-4(a)所示．(1)当升降机静止不动时，问弹簧称上的示重是多少？(2) 当弹簧称上的示重为58.8 N 时，求升降机的加速度．

分析 物体的重量是物体施加在称重仪器设备上的压力或张力，其大小等于称重仪器设备反作用在物体上的压力或张力．当物体在地面上处于静止或作匀速直线运动状态进行称重时，地球对物体的引力和称重仪器设备作用的压力或张力等大而反向，物体的重量与重力的量值相等．当物体在地表附近有沿竖直方向的加速度时，物体的重量与重力的量值就不再相等了．

牛顿定律只适用于惯性参考系，当所讨论的问题中参考系本身也有加速度时，就要应用相对运动的加速度合成定理．通常

可以选取地球（地面）作为静止参考系，物体相对于地面的加速度PS a 等于物体相对于运动参考系加速度S P 'a 与运动参考系相对于地面加速度S S'a 的矢量和，即

S S'PS'PS a a a +=

解 二物体质量分别为m 1 = 5 kg ， m 2= 1 kg ．二物体和滑轮的受力情况

如图2-4(b)所示．对于细绳和轻滑轮，忽略绳和滑轮间的摩擦，应有T1T1F F ='，T2T2

F F ='，T2T2

F F '='和T2T1T F F F '+'=，因此有 T2T1T F F F += 设升降机有一向上的加速度a ’，物体m 1相对于升降机的加速度a ，方向

a ’ F F a m 2g m 1g

（a ） （b ）

图2-4

向下，物体m 2相对于升降机的加速度a ，方向向上．如果假设对于地面参考系，物体m 1的加速度方向向下，物体m 2的加速度方向向上，并以它们各自加速度的方向为坐标轴正向，则根据相对运动加速度合成定理，物体m 1相对于地面的加速度为a -a ’，物体m 2相对于地面的加速度为a +a ’．由牛顿第二定律可得其运动方程分别为

)(a a m F g m '-=-1T11 (1)

)(a a m g m F '+=-22T2 (2)

(1) 当升降机静止时，0='a ，由(1)和(2)式以及张力之间的关系，得弹簧称上的示重为

N

32.7N 89151

5112 122

1212T =?+-+??=+-+=.)()(g m m m m m F (2) 当弹簧称上的示重为N 858T .=F 时，由(1)和(2)式以及张力之间的关系，

得升降机的加速度为

2

22121T 21m/s 847m/s 1548

915485815 44...)()(=?????-?+=-+=

'm m g m m F m m a 2-5质量均为m 形状相同、相互接触的梯形木块A 、B 放置在光滑的水平桌面上，如图2-5(a)所示．设两木块之间的接触面是光滑的，斜面与水平面之间的夹角为α，今以一水平力F 作用在A 上，求A 、B 之间无相对运动时A 、B 对桌面的压力．

分析 在解动力学问题时，隔离物体法是一个基本方法．在有些求物体所受力的问题中，往往碰到该物体的运动状态难以确定的情况，这时可以先求该物体对其他运动物体的反作用力，再利用牛顿第三定律确定所求力的大小和方向．

解 分别选取木块A 、B 为研究对象，受力情况如图2-5(b)所示．根据题意，两木块加速度a 相等，且沿外力F 方向．木块之间相互作用的压力大小相等，即T TB TA F F F ==．选取如图所示的Oxy 坐标系，应用牛顿第二定律得其运动方

程分别为

木块A 的x 方向： ma F F =-αsin T

y 方向： 0T NA =--mg F F αcos

木块B 的x 方向： ma F =αsin T

y 方向： 0T NB =--mg F F αcos

解以上方程得

αcot F mg F 21NA +

= αcot F mg F 21NB -=

根据牛顿第三定律，木块A 、B 对桌面的压力的大小分别等于桌面给予它们的反作用力F NA 和F NA ，方向向下．

2-6在一轻滑轮上跨有一轻绳，绳之两端连接着质量分别为1kg 和2kg 的物

A B TB F T A O x

m g m g

（a ） （b ）

图2-5

体A 、B ，现以50N 的恒力F 向上提滑轮的轴，如图2-5(a)所示，A 和B 的加速度各为多少？不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦．

分析 在物体和滑轮组合成系统的动力学问题中，如果滑轮静止，不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦的情况下，用细绳跨过滑轮连接的两物体的速度和加速度的大小相等、方向相反．然而，一旦滑轮本身具有加速度，如果以滑轮为运动参考系，那么细绳跨过滑轮连接的两物体相对于滑

轮的加速度大小相等、方向相反，但是它们对于地面参考系的加速度则必须根据相对运动加速度合成定理叠加计算．通常当不必求滑轮加速度时，可以先设定两物体对地面的加速度方向，最后再根据计算结果的正负确定实际加速度的方向．

解 以滑轮和物体A 、B 为研究对象，分别作出示力图如图2-6（b ）所示．取竖直向上为y 轴正向，假设物体A 、B 的加速度a A 和a B 方向向上，由于不计滑轮

质量及滑轮与绳间摩擦，绳中张力大小相等，即T T2T1T2T1F F F F F ='='==，应用

牛顿第二定律得滑轮的运动方程为

02T =-F F

物体A 的运动方程为

A A A T a m g m F =-

物体B 的运动方程为

B B B T a m g m F =-

y

F T2

A B a A a B

A B m A g m B g （a ） （b ） 图2-6

联立求解得

222A

A m/s 215m/s 89m/s 12502..=-?=-=g m F a 222

B B m/s 72m/s 89m/s 22502..=-?=-=g m F

a

2-7在光滑斜面上沿斜面倾斜方向放有一匀质长杆AB ，长为l ，质量为m ，斜面与水平面间夹角为θ，现沿斜面以恒力F 拉杆，如图2-7（a ）所示，求杆内各部分间的相互作用（张力）沿棒长方向的变化规律．

分析 求质量连续分布的杆或绳中的内力，要采用隔离物体法，取其中一段作为研究对象分析受力情况，应用牛顿定律建立方程．计算结果通常与所选取的段长有关，即为段长的函数．

解 取如图2-7（b ）所示的xy 坐标系，以长杆AB 为研究对象，加速度a 沿斜面向上，根据受力情况，应用牛顿第二定律得运动方程为

ma mg F =-θsin

再取长为x 的一段杆AC 为研究对象，其质量为mg l x

m =C ，在C 处杆内张

力F T 对于AC 部分成为外力，但AC 仍具有与整个杆相同的加速度，应用牛顿第二定律得AC 部分的运动方程为

y x F T θ A A θ

m C g m g

（a ） （b ）

图2-7

ma l x

mg l x F =-θsin T

于是可解得

F l x

g a m l x F =+=)sin (θT

结果表明杆内张力随C 点位置变化．

2-8 在如图2-8所示的物体系统中，不计绳和滑轮的质量，并忽略m ’与水平桌面、m ’与m 1之间的摩擦力．问应以多大的水平推力作用在m ’上，才能使系统运动过程中m 1和m ’之间无相对滑动？此时m ’对桌面的压力为多少？（m 1> m 2）

分析 当几个物体构成一个系统并以相同的速度平动时，可以将这些物体构成的系统作为一个质点，应用牛顿定律建立合外力与加速度之间的关系，而不必考虑各部分之间的相互作用内力．但是当这个系统的各部分之间有发生相对运动的可能性存在时，就仍然需要用隔离物体法，分析各部分的受力情况，分别建立运动方程，找到发生或不发生相对运动的条件．

解 分别取m 1、m 2和m ’为研究对象．根据题意，m 1、m 2和m ’组成系统以同一加速度a 沿水平方向运动，因此连接m 2的细绳将发生倾斜，与竖直方向夹角为θ，绳中张力的水平方向分量使m 2获得加速度a ，各物体受力情况和

’ m 1g F ”T F ’T

m ’ m 2 y F θ

x N1

F ' m ’g m 2g （a ） （b ）

图2-8

坐标选取如图2-8(b)所示．不计绳和滑轮的质量，忽略摩擦，应有T T T F F F ''='=，

m 1和m ’之间的压力大小相等N1

N1F F '=，应用牛顿第二定律得m 1的运动方程为 x 方向：

a m F 1T =

y 方向： 01N1=-g m F

m 2的运动方程为 x 方向： a m F 2T =θs i n

y 方向：

02T =-g m F θc o s

m ’的运动方程为 x 方向：

a m F F F '=--θs i n T T

y 方向： 0T N1N ='---g m F F F θcos

联立求解得

g m m

m m m m F 222

2

1

21-'++=

g m m m F )('++=21N

m ’对桌面的压力大小等于桌面对m ’的压力N F ，方向向下．从上式可以看出该压力量值上等于整个系统所受的重力，因为系统中各物体的运动发生在水平面内，竖直方向无加速度和位移．

2-9如图2-9(a)所示的滑轮组系统中，不计绳子与滑轮质量，m 1与桌面间

无摩擦，求m 1和m 2的加速度以及绳中张力．

分析 在质点力学中，对于滑轮和物体组成的连接体问题，往往忽略滑轮质量以及绳与滑轮之间的摩擦，才使得跨过滑轮的绳中张力大小相等．在第五章掌握了刚体的运动定律后，将不再忽略滑轮质量，问题的分析就更接近实际了．

当存在动滑轮时，动滑轮的加速度和跨过滑轮的绳上连接物体的加速度之间的相互关系，要根据题意建立方程确立．

解 分别以m 1、m 2和动滑轮为研究对象，受力情况如图2-9（b ）所示．m 1的加速度a 1向右，m 2和动滑轮的加速度a 2向下．不计绳子与滑轮质量，应有

T1

T1F F '=，T2T2F F '=．因为都只作直线运动，可取各自的运动方向为坐标轴正向，

应用牛顿第二定律，它们的运动方程分别为

m 1： 11T1a m F =

m 2： 22T22a m F g m =-

动滑轮： 02T1T2=-F F

因为绳长不变，当m 1位移为x 时，m 2位移为x /2，于是可得加速度a 1和

a 2之间的关系：

22

222

122

d d 2

d d a x t

t

x a ===

联立以上各式，解得

g

m m m a 1

22142+=

g

m m m a 1

2224+=

a 1 F F ’T1 F ’T2 m F T1 a 2 m 1g F T2 m 2g

m 2

（a ） （b ）

图2-9

g m m m m F 1221T142+=

2-10 在如图所示的滑轮系统中，滑块A 的质量为m A ，与桌面间的摩擦系数为μ，B 是起始质量为m B 的冰块，因溶化使其质量随时间的减少率为k ．不计绳与滑轮质量，求A 、B 由静止开始运动后t 时刻的速率．

分析 由于有了微积分的基础，在大学物理中可以分析变力作用下的直线运动问题．因为力是时间的函数（有些问题中也可能表示为位置的函数，即为时间的隐函数），应用牛顿定律建立的运动方程就成为微分方程，解微分方程并利用初始条件可以获得所需要的解．在动力学的其他几章和电磁学中都会碰到这类应用积分或求解微分方程的问题，这对于巩固高等数学知识，学会建立物理模型以便为今后工程技术实际应用打下基础，有着重要意义．这些问题对于初学者有一定的难度，但是通过一些习题的训练，是可以逐步掌握方法和技巧的． 解 以滑块A 和冰块B 为研究对象，隔离物体并作受力分析如图2-10(b)所示．不计绳与滑轮质量，绳中张力大小相等，即T T F F '=．取二物体各自运动

方向为坐标轴正向，作为连接体它们的加速度大小相等，均为a ，应用牛顿第二定律得其运动方程分别为

滑块A ： a m F F A f T =-

A

’T

a B F f m A g m B g

(a) (b)

图2-10

冰块B ： ma F mg =-T

根据题意，其中t 时刻冰块质量kt m m -=B ，作用于滑块A 的摩擦力g m F A f μ=，由以上各式可得

g kt

m m m g kt

m m kt m m a ])([-++-

=-+--=

B A A B A A B 11μμ

因t

a d d v =

，则上式可写为

g kt

m m m t

])([-++-

=B A A 11d d μv

分离变量：

t g kt

m m m d 11d B A A ])([-++-

=μv

由于初始时，0 0==v ,t ，设t 时刻滑块和冰块速率为v ，上式两边积分

t g kt

m m m t

d 11d B A A 0

])([-++-

=

?

?

μv v

得 g kt m m k

m t )]ln()

([-+++

=B A A 1μv

2-11 质量为0.5kg 的物体沿x 轴作直线运动，在沿x 方向的力t F 610-=的作用下，t = 0时其位置与速度分别为x 0 =5，v 0 =2，求t = 1时该物体的位置和速度．（其中F 以N 为单位，t 以s 为单位，x 0以m 为单位，v 0以m/s 为单位）

分析 当作用于物体的力是时间的函数时，由建立的运动方程积分可以求得速度．所求出的速度必定也是时间的函数，当还需要计算t 时刻该物体的位置时，就应该利用速度的定义式t x d d =

v ，再积分求出位置的表示式． 解 由加速度的定义t

a d d v =

，应用牛顿第二定律，可得

t t

m F

t 122050610d d -=-==.v

分离变量：

t t d 1220d )(-=v

两边积分得

C t t +-=2620v

由初始条件：t = 0时v=v 0 =2，得20==v C ，即

26202+-=t t v (1)

因t x

d d =v ，上式可写为

2620d d 2

+-=t t t x

分离变量：

t t t x d 2620d 2

)(+-= 两边积分得

13

22210C t t t x ++-= 由初始条件：t = 0时x=x 0 =5，得501==x C ，即

522103

2++-=t t t x (2)

当t = 1s 时，由(1)和(2)式得m/s 16=v ，m 15=x ． 2-12物体与地面间的摩擦系数为0.20，以轻绳系于物体之一端，并通过滑轮以一水平力F = 8 N 拉此物体,如图2-12(a)所示．设物体的质量为2kg ，(1)问绳与水平方向的夹角α为何值时，物体的加速度有最大值？(2)求此时的加速度以及地面对物体的作用力．

分析 若作用力的大小不变，但方向在不断改变，则该作用力仍然是变力．在力的分析过程中就要特别注意力的作用方向与物体运动方向间的关系．

求某一物理量的最大值或最小值，通常可以采用数学中的求极值的方法，即对该物理量的表达式求导数并令其等于零，得到相关参量的方程，根据题意求解，得到取最大值或最小值的条件．

解 恒力通过滑轮改变方向后作用于物体上，力F 的作用方向与物体运动方向间的夹角α随物体位置变化，运动中物体受力情况如图2-12(b)所示．取图中所示的坐标系，应用牛顿第二定律得运动方程为

x 方向: ma F F =-f αcos y 方向: 0N =-+mg F F αsin

其中摩擦力N f F F μ=，联立解得

g m F

a μαμα-+=)sin (cos (1)

αsin F mg F -=N (2)

(1) 当0d d =αa

时，加速度有极值，因此由(1)式得

0d d =+-=)cos sin (αμααm F

a

811120'?===).arctan(arctan μα

(2) 将上面的结果代入(1)和(2)式，得

222m/s

2.12 m/s 8920m/s

811120811128

=?-'??+'??=-+=

..)sin .(cos )sin (cos g m F a μαμα

F

y F f x

m g

(a) (b)

图2-12

N

18N 81118N 892 N ='??-?=-=sin .sin α

F mg F

摩擦力为 N 3.6N 1820N f =?==.F F μ

2-13 质量为1.5 kg 的物体被竖直上抛，初速度为60 m/s ，物体受到的空

气阻力数值与其速率成正比，v k F =阻，s/m N 030?=.k ，求物体升达最高点所需的时间及上升的最大高度．

分析 在忽略空气阻力的情况下，地面附近的抛体在重力作用下以恒定的重力加速度g 运动．但在实际问题中，空气阻力是不可忽略的，当物体的速度较小时，空气阻力的大小与速率成正比；对于高速运动的物体，空气阻力的大小与速率的平方成正比．下面将应用解微分方程的方法，求解一些简单的直线运动情况下有空气阻力存在时的质点运动问题．解一阶微分方程可以用不定积分也可以用定积分方法．如果采用不定积分，积分常数利用初始条件确定．分离变量法则是通常采用的比较简捷的算法．

解 以竖直向上为y 坐标正向，应用牛顿第二定律得物体运动方程为

t

m

k mg d d v v =-- (1)

物体达到最高点时，0=v ，初始条件：0=t 时，m/s 600==v v ，将上式分离变量并积分：

??

+-=0

d d v v

v k mg m t t

得 s 85s 18

9516003003

05110.)...ln(

..)ln(

=+???=+=

mg

k k m t v

由于

y

t

y y t

d d d d d d d d v v

v v ==，代入(1)式，得

y

m k mg d d v v

v =--

根据始末条件，分离变量并积分：

?

?

+-=0

d d v v

v v k mg m y y

得

m 170m 60030189516003089510305

1 100=???????-???

??+?????-

=??

????

-?

??? ??+-

=....ln ....ln v v k mg k mg k m y

2-14 将相同材料制作的半径分别为R 和2R 的二小球在粘滞系数为η的液体中无初速地释放．根据斯托克斯定律，半径为r 的小球速度为v 时在液体中受到的粘滞阻力为v r πη6．试计算两球的初始加速度之比和终极速度之比．

分析 由斯托克斯定律确定的流体粘滞阻力大小与物体的速率成正比，即为变力，为了求物体的运动状态，需要用到积分方法．由于在例题2-5中已经严格推导出了速度与时间的函数关系，以及小球的运动方程，因此可以利用其结果进行相关的计算．

解 设球的密度为ρ，液体的密度为ρ'，二小球质量分别为ρπ313

4R m =

和

13

2823

4m R m ==ρπ)(，作用于二小球的液体浮力分别为g R F ρπ'=

3

1B 3

4和

B13

B2823

4F g R F ='=

ρπ)(，液体的粘滞阻力分别为v R F πη6r1=和

r1r2226F R F ==v )(πη．取竖直向下方向为

x 轴的正方向，则二小球的运动方程

分别为

11r1B11a m F F g m =-- 22r2B22a m F F g m =--

初始时刻0=v ，则0r2r1==F F ，由以上二式及二小球对应量间的关系，得

12

B21B12

1=--=

m F g m F g a a //

由例题2-5的(2-27)式，知半径为r 的小球在液体中下落，足够长时间后的

终极速度为2

09

2gr η

ρρ'-=

v ，因此半径分别为R 和2R 的二小球终极速度比为

4

122

22

1=

=

)

(R R

v v

2-15 质量为1000kg 的船，发动机熄火时速度为90km/h ，水的阻力与船速成正比，F r ＝－kv ，其中k = 100kg/s ．假设水面静止不流动，求(1)熄火后船速减小到45km/h 所需要的时间；(2)熄火后1分钟内船的行程，以及船的最大航程．

分析 当作直线运动的物体只受到一个与速率成正比的阻力作用时，用分离变量法解此一阶微分方程比较简单．

解 船只受水的阻力F r ＝－kv 作用，船的运动方程为

t

m

k d d v v =-

初始条件为0=t 时，m/s 25km/h 900==v ，将上式分离变量并积分：

??

-=t

t

m k 0

d d 0

v

v v

v

得 v

v 0ln

k

m t =

(1)

(1) 当船速减小到m/s 512km/h 45.==v 时，由上式得

s

936s 5

1225100

1000..ln

=?=

t

(2) 由(1)式得

t

m k t x -==

e

d d 0v v

初始条件为0=t 时，00=x ，积分得

k

m t x t

m

k t

t

m

k )

(-

-

?

-==

e

1d e

00v v (2)

当s 60=t 时，由上式得

m 249.4m 100

1000e

19060

1000

100=?

-?=?-)(x

当∞→t 时，由(2)式得船的最大航程为

m

250m 100

100090=?

=x

结果表明，熄火后1分钟船已接近停止．

2-16 长度不等的两根细绳，各系一物体悬于同一点，使二物体在同一高度

处作圆周运动，证明这样的两个圆锥摆周期相同．

分析 在忽略空气阻力的情况下，如图2-16(a)所示的圆锥摆绕竖直轴线回转一圈的时间为定值，称为周期．

当物体作圆周运动时，必定存在法向加速度，在分析力和建立运动方程的过程中，通常选取指向圆心的方向为坐标轴

之一的正向，将外力分解到该方向后，可以建立法向合外力与法向加速度之间的关系．

证 设物体回转的水平位置距悬点

的高度为h ，回转半径为r ，悬线与竖直方向夹角为θ，物体质量为m ，物体受重力g m 与悬线张力T F 作用，选竖直方向为y 轴正向，水平指向回转圆心方向为x 轴正向，如图2-16(b)所示，可得运动方程为 x 方向： r m F 2

T ωθ=s i n

y 方向：

0T =-mg F θcos

m g (a) (b)

图2-16

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