2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案(人教A版必修4)

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

学习目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

重点、难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

自主学习

1．向量的数乘

(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

(2)规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.

(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝__________(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝__________. 3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________. 4．共线向量定理

(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________． (2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝

0.

→→→

已知平面内O，A，B，C四点，若OC＝xOA＋yOB，(x，y∈R)． (1)若x＋y＝1，求证A、B、C三点共线；

(2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？

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对点讲练

向量的线性运算

例1 计算：

(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

721713

3a＋2b －a－b － a＋b＋6a ； (2)3 6 272(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

回顾归纳 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 变式训练1 计算：

1

(1)3(6a－b)－9(ab)；

31131

3a＋2b － a＋b －2 a ； (2)2 28 2(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

共线向量定理的应用

例2 判断下列各组向量是否共线(其中e1、e2为不共线向量)．

11

(1)a＝e1－2，b＝3e1－2e2；(2)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.

23

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回顾归纳 判断两个非零向量a，b是否共线，关键是看能否找到一个实数λ，使b＝λa，若这样的实数λ不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程(组)是否有解． 变式训练2 两个非零向量a、b不共线．

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

共线向量在平面几何中的应用

例3

→→→

如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不

→→→→

同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________． 回顾归纳 向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质．

→

变式训练3 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP等于( )

→→→→

A．λ(AB＋BC)，λ∈(0,1) B．λ(AB＋AD)，λ∈ 0，

2

2→→→→

C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1) D．λ(AB－BC)，λ∈ 0，

2 一、选择题

→→→

1．已知平行四边形ABCD中，DA＝a，DC＝b，其对角线交点为O，则OB等于( )

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111

＋b B．a C.(a＋b) D．a＋b 222

2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )

1

A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k2

→→→

3．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )

A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D

→→→→

4．在△ABC中，点D在线段CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s等于( )

48

A．0 B. C. D．3

53

→→→→

5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则( ) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上

二、填空题

11

y－ －(

c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝6．若2 3 2

________________. 7.

→→→→→

如图所示，在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)

→

8．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)

→1→→1→①－BC ②－BC－BA

22

→1→→1→③BC－BA ④BC＋

22

三、解答题

9．化简：8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)． 10.

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1

如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.

3

求证：M、N、C三点共线.

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

知识梳理

1．(1)向量 (2)相同 0

2．(1)λa＋μa (2)λμ (3)λa＋λb λa－λb 3．λμ1a±λμ2b 4．(1)b＝λa 自主探究

→→→

证明 (1)若x＋y＝1，则OC＝xOA＋(1－x)OB

→→→＝x(OA－OB)＋OB， →→→→→∴OC－OB＝xBA，∴BC＝xBA.

→→

又∵BC与BA有公共点B，∴A、B、C三点共线． (2)若A、B、C三点共线．

→→

∴存在实数λ使AC＝λAB成立． →→→→∴OC－OA＝λ(OB－OA)． →→→→→→∴OC＝OA＋λ(OB－OA)＝(1－λ)OA＋λOB. 令1－λ＝x，λ＝y，∴x＋y＝1.

→→→

∴若OC＝xOA＋yOB，A、B、C三点共线时，x，y应满足条件x＋y＝1. 对点讲练

例1 解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.

21

3a－a＋2b－b － (2)原式＝ 3 2

7 113 a＋＋b 6 227

3177

a＋b － a＋ ＝ 6 7 2 3

7171

＝a＋－－＝0. 6262

(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b.

变式训练1 解 (1)原式＝18a－3b－9a＋3b＝9a.

331

2a＋b － a＋b (2)原式＝ 2 4 2 33＝a－a

44＝0.

(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a ＝b－c.

例2 解 (1)设a＝λb，

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11

∴e1－e2＝λ(3e1－2e2) 2311

－3λ e1＋ 2λe2＝0. ∴ 3 2

∵e1，e2为不共线向量

1

3λ＝0，21∴解得λ＝61

2λ－＝0，

31

∴a.∴a∥b，即a与b共线．

6

(2)设a＝λb，

∴e1＋e2＝λ(3e1－3e2)

∴(1－3λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 1－3λ＝0，∴ 该方程组无解． 1＋3λ＝0，

∴a与b不共线．

变式训练2 (1)证明 ∵AD＝AB＋BC＋CD

→

＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6AB，

→→

又∵AD与AB有公共点A，∴A、B、D三点共线． (2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线， ∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．

∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0， k－2λ＝0， ∴ k＝2. 1－λk＝0

例3 2

解析 如图所示，过点O作OD∥AB交AC于点D. ∵点O是BC的中点，∴点D是AC的中点．

→→→→

由作图知△NDO∽△NAM. ODDN∴＝ MAAN→→

|AB||AC|→

|NC|

22即 →→|AM||AN|→|AM|m2∴

→|AM|→n|AN|→→

|nAN－AN|2

→|AN|

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mn

即－(n－1)． 22

∴m＝n－2n＋2，即m＋n＝2.

→→

变式训练3 A [AP与AC共线，且菱形ABCD中， →→→→

AC＝AB＋AD，由点P在线段AC上， →→→

得AP＝λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)， →→又AD＝BC， →→→

∴AP＝λ(AB＋BC)，λ∈(0,1)．] 课时作业 1．C

2．D [由共线向量定理知，m＝λn， 即(－e1＋ke2)＝λ(e2－2e1)， －2λ＝－1 1∴ ，∴k＝λ＝.]

2 k＝λ

→→→→→→

3．C [∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，且BD与AB有公共点B，∴A、B、D三点共线．]

→→→→

4．C [∵CD＝CB＋BD＝4BD， →→∴CB＝3BD.

→→→→→→∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC →1→→＝AB＋CB－AC

3

→1→→→＝AB＋(AB－AC)－AC

34→4→＝AB－AC 33448∴r，s＝－，r－s＝333

→→→→→→

5．D [∵PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA， →→

∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．] 4116.a＋c 21771

7.b－a) 4

→→→→

解析 MN＝MB＋BA＋AN

13→－a＋AC

2413

－a＋(a＋b)

241

＝(b－a)． 48．①

→→→→1→

解析 CD＝CB＋BD＝CB＋BA

2

→1→＝－BC.

2

9．解 原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝6a＋4b.

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→→→→→1→

10．证明 设BA＝a，BC＝b，则由向量加法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝－

2

→1

BC＝a－b.

2

又∵N在BD上且BD＝3BN，

1→1→1→→

∴BN＝BD＝BC＋CD)a＋b)，

333→→→1

∴CN＝BN－BCa＋b)－b

3

1221

a－b ， ＝a－＝2 333→2→→→

∴CN＝CM，又∵CN与CM公共点为C.

3

∴C、M、N三点共线．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/htqj.html