2013年中考攻略专题11：几何三大变换之旋转探讨(含答案)

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- 1 - 【2013年中考攻略】专题11：几何三大变换之旋转探讨

轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n (n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。

一、中心对称和中心对称图形：

典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【

】

【答案】B 。 【考点】中心对称图形。

（D ） （C ） （B ） （A ）

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- 2 - 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A 、

C 、

D 都不符合中心对称的定义。故选B 。

例2. （2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】

A ． 等腰梯形

B ． 平行四边形

C ． 正五边形

D ． 等腰三角形 【答案】B 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B 。

例3. （2012广东深圳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】

【答案】A 。

【考点】中心对称和轴对称图形。 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，

A ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；

B ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；

C .是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；

D .不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。

故选A 。

例4. （2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】

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- 3 - 【答案】A 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，符合条件的只有A 。故选A 。

例5. （2012湖北随州4分）下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数1y=x

的图象，④函数y =kx +b (k ≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】

A ．①②

B .①③

C .①②③

D .②③④

【答案】D 。

【考点】轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，

①等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；

②菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确； ③函数1y=x

图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确； ④函数y =kx +b （k ≠0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题

正确。

综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有②③④。故选D 。

例6. （2012山东德州4分）在四边形ABCD 中，AB =CD ，要使四边形ABCD 是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只要填写一种情况）

【答案】AD =BC （答案不唯一）。

【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。

【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：

∵AB =CD ，∴当AD =BC 时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

当AB ∥CD 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

当∠B +∠C =180°或∠A +∠D =180°时，四边形ABCD 是平行四边形。

故此时是中心对称图形。

故答案为：AD =BC 或AB ∥CD 或∠B +∠C =180°或∠A +∠D =180°等（答案不唯一）。

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- 4 - 例7. （2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为 ▲

．

【答案】（﹣1，﹣1）。

【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。

【分析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，

∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称。

∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P 。

由图知，P （﹣1，﹣1）。

或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（021322

-- ，），即（﹣1，﹣1）。 练习题：

1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】

A ．

B ．

C ．

D ．

2.（2012广东珠海3分）下列图形中不是中心对称图形的是【 】

A .矩形

B .菱形

C .平行四边形

D .正五边形

3. （2012江苏盐城3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】

4.（2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】

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- 5 -

5.（2012河南省3分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】

A ．

B ．

C ．

D ．

6.（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】

A .y 2x =-

B . 2y x

= C ．()2y x 2=- D .y 2x = 7.（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距 ▲ 公里；

二、构造旋转图形：

典型例题：例1. （2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【 】

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

【答案】B 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度

后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A 中心

对称。故选B 。 例2. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－2，－1），B （－3，－3），C （－1，－3）.

①画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；（4分）

②画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标.（4分）

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- 6 -

【答案】解：①如图所示，A 1（－2，1）。

②如图所示，A 2（2，1）。

【考点】轴对称和中心对称作图。

【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A 1、A 2的坐标。

例3.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1.

（2）平移△ABC ，使点A 移动到点A 2（0，2），画出平移后的△A 2B 2C 2并写出点B 2、C 2的坐标.

（3）在△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2中，△A 2B 2C 2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .

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- 7 -

【答案】解：（1）△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1如图所示：

（2）平移后的△A 2B 2C 2如图所示：

点B 2、C 2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。

（3）△A 1B 1C 1；（1，－1）。

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- 8 - 【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。

【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A 、B 、C 三点关于原点的对称点A 1、B 1、C 1，连接即可。

（2）根据平移的性质，点A （－2，4）→A 2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B （－2，0）、C （－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B 2（0，－2）、C 2（－2，－1），连接即可。

（3）如图所示。

例4. （2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，将△ABC 向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°得到△A 1B 2C 2．

（1）在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2；

（2）计算线段AC 在变换到A 1C 2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）

【答案】解：（1）如图所示：

（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的

网格， ∴22AC 222 2=+=。

∵将△ABC 向下平移4个单位AC

所扫过的面积是以

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- 9 - 4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。

再向右平移3个单位AC 所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边

形的面积：4×2=6。

当△A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°到△A 1B 2C 2时，A 1C 1所扫过的面积是以

A 1为圆心以以2 2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A 1为圆心，以

2 2为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：()24522

=360ππ??

∴线段AC 在变换到A 1C 2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。

【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。

【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A 1B 1C 1及△A 1B 2C 2即可。

（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。

例5.（2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 和△DEF 的顶点坐标分别为A （1，0）、B （3，0）、C （2，1）、D （4，3）、E （6，5）、F （4，7）。按下列要求画图：以点O 为位似中心，将△ABC 向y 轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，并解决下列问题：

（1）顶点A 1的坐标为 ▲ ，B 1的坐标为 ▲ ，C 1的坐标为 ▲ ；

（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A 1B 1C 1通过变换后得到△A 2B 2C 2，且△A 2B 2C 2恰与△DEF 拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。

【答案】解：作图如下：

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- 10 -

（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。

（2）符合要求的变换有两种情况：

情况1：如图1，变换过程如下：

将△A 2B 2C 2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B 1为中心顺时针旋转900。

情况2：如图2，变换过程如下：

将△A 2B 2C 2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A 1为中心顺时针旋转900。

【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。

【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。

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- 11 - （2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。

作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。

例6. （2012福建漳州8分）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中,有如

图所示的四边形(顶点都在格点上)．

(1)先作出该四边形关于直线l 成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕O 点按顺时针方向旋转90o 后的图形；

(2)完成上述设计后，整个．．

图案的面积等于_________．

【答案】解：（1）作图如图所示：

先作出关于直线l 的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕O 点

按顺时针方向旋转90°后的图形。

（2）20。

【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。

【分析】（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l 的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可。

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- 12 - （2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论。

∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，∴原图形的面积为5。

∴整个图案的面积=4×5=20。

例7. （2012福建福州7分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． ① 画出将Rt △ABC 向右平移5个单位长度后的Rt △A 1B 1C 1；

② 再将Rt △A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt △A 2B 2C 1，并求出旋

转过程中线段A 1C 1所扫过的面积(结果保留π)．

【答案】解：① 如图所示；

② 如图所示；

在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于90·π·42360

＝4π。 【考点】平移变换和旋转变换作图，扇形面积的计算。

【分析】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于以点C 1为圆心，以A 1C 1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可。

例8. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =900,AB =AD ,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm .

【答案】43。

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- 13 - 【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。

【分析】如图，将△ADC 旋转至△ABE 处，则△AEC 的面积和四边形ABCD 的面积一样多为24cm 2，,这时三角形△AEC 为等腰直角三角形，作边EC 上的高AF ，则AF =

12EC =FC , ∴ S △AEC = 12

AF ·EC =AF 2=24 。∴AF 2=24。 ∴AC 2=2AF 2=48 AC =43。

练习题：

1. （2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC 向右平移4个单位得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1绕点C 1点旋转180°得到△A 2B 2C 2．

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- 14 - 2.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方

形．Rt △ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（﹣4，1），点B 的坐标为（﹣1，1）．

（1）先将Rt △ABC 向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt △A 1B 1C 1．试在图中画出图形Rt △A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；

（2）将Rt △A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出图形Rt △A 2B 2C 2．并计算Rt △A 1B 1C 1在上述旋转过程中C 1所经过的路程．

3.（吉林省6分）如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为

顶点一画出?ABC ,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列

条件：

（1） 图①中所画的三角形与?ABC 组成的图形是轴对称图形。

（2） 图②中所画的三角形与?ABC 组成的图形是中心对称图形。

（3） 图③中所画的三角形与?ABC 的面积相等，但不全等。 C

B A C

B

A C

B A C

B

A

图① 图② 图③

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- 15 - 4.

（2011浙江绍兴8分）分别按下列要求解答：

（1）在图1中．作出⊙O 关于直线l 成轴对称的图形；

（2）在图2中．作出△ABC 关于点P 成中心对称的图形．

5.（2011辽宁抚顺10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC

与△DEF 关于点O 成中心对称，△ABC 与△DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．

(1)在图中画出点O 的位置．

(2)将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△

A 1

B 1

C 1，请画出△A 1B 1C 1；

(3)在网格中画出格点M ，使A 1M 平分∠B 1A 1C 1.

6.（2011辽宁阜新10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格，直角梯形ABEF 的顶

点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）请在图中拼上一个直角梯形，使它与梯形ABEF 构成一个等腰梯形ABCD ；

（2）将等腰梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A 1B 1CD 1；

（3）求点A 旋转到点A 1时，点A 所经过的路线长．（结果保留π）

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- 16 -

7. （2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．

（1）将△ABC 向右平移3个单位长度，画出平移后的△A 1B 1C 1．

（2）将△ABC 绕点O 旋转180°，画出旋转后的△A 2B 2C 2．

（3）画出一条直线将△AC 1A 2的面积分成相等的两部分．

8.（2011广东台山10分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在

所给网格中按下列要求画出图形。

（1） 从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一个端点落在格点（即小方形的顶点）上，且长度为22；

（2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长都

是无理数；

（3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶

点都在格点上，各边长都是无理数。

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- 17 -

9.（2011湖北孝感8分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）

中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：

图（1） 图（2）

（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是____对称图形. （4分）

（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图

（1）中所给出的图案相同. （4分）

10. （2011四川巴中8分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是l ，△ABC 与△A'B'C'成中心对称。

(1)画出对称中心O ；

(2)画出将△A'B'C'沿直线MN 向上平移5格得到的△A''B''C''：

(3)要使△A''B''C''与△CC'C''重合，则△A''B''C''绕点C''沿顺时针方向旋转，至少旋转多少

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- 18 - 度?(直接写出答案)

11.（2011山东烟台4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ▲

.

三、有关点的旋转：

典型例题：例1. （2012广东梅州7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1．（直接填写答案）

（1）点A 关于点O 中心对称的点的坐标为 ；

（2）点A 1的坐标为 ；

（3）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB 1，那么弧BB 1的长为 ．

【答案】解：（1）（﹣3，﹣2）。

（2） （﹣2，3）。

（3）102

π。 【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。

【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。

（2）根据平面直角坐标系写出即可。

（3）先利用勾股定理求出OB 的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解： 根据勾股定理，得22OB 1+3=10=，∴弧BB 1的长=

90010=1802ππ??。

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例2. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)，C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0).

（1）结合坐标系用坐标填空．

点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称

（2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．

- 19 -

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- 20 -

例3. （2012黑龙江牡丹江3分）如图，A (3，1)，B (1，3)．将△AOB 绕点O 旋转l 500

得到△A ′OB ′，，则此时点A 的对应点A ′的坐标为【 】．

A ．(－3，－l )

B ．(－2，0)

C ．(－l ，－3)或（－2，0)

D ．(－3，－1)或(－2，0)

【答案】C 。

【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】如图，过点A 作AC ⊥ｘ轴于点C , 过点B 作BD ⊥ｙ轴于点D 。

由锐角三角函数定义，AC 3tan AOC OC 3

∠==,∴0AOC 30∠=。 同理，0BOD 30∠=。∴0AOB 30∠=。

若将△AOB 绕点O 顺时针旋转l 500，则点A ′与点B 关于坐标原点对称，

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- 21 - ∴A ′(－l ，－3)。

若将△AOB 绕点O 逆时针旋转l 500，则点A ′在ｘ轴反方向上， ∴A ′(－2，0)。 综上所述，点A 的对应点A ′的坐标为(－l ，－3)或(－2，0)。故选C 。

练习题：

1. （2011河南省3分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A 在丙位置中的对应点A ′的坐标为 【 】

A 、（3，1）

B 、（1，3）

C 、（3，﹣1）

D 、（1，1）

2.（2011山东泰安3分）若点A 的坐标为（6，3）O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ′，则点A ′的坐标是【 】

A 、（3，﹣6）

B 、（﹣3，6）

C 、（﹣3，﹣6）

D 、（3，6） 3. （2011辽宁盘锦10分）如图，风车的支杆O

E 垂直于桌面，风车中心O 到桌面的距离OE 为25cm ，小小风车在风吹动下绕着中心O 不停地转动，转动过程中，叶片端点A 、B 、

C 、

D 在同一圆O 上，已知⊙O 的半径为10cm .

(1)风车在转动过程中，当∠AOE ＝45°时，求点A 到桌面的距离(结果保留根号)．

(2)在风车转动一周的过程中，求点A 相对于桌面的高度不超过20cm 所经过的路径长(结

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