2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编

2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编

1. （2014安徽理4）

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相

?x?t?1，同的长度单位．已知直线l的参数方程是?（t为参数），圆C的极坐标方程是??4cos?，

y?t?3?则直线l被圆C截得的弦长为（ ）

A．14 B．214 C．2

【解析】 D

?x?t?1，由?消去t得x?y?4?0，

y?t?3?

D．22 C：??4cos???2?4?cos?，∴C：x2?y2?4x，

即(x?2)2?y2?4，∴C(2，0)，r?2． ∴点C到直线l的距离d?2?0?42?2，

∴所求弦长?2r2?d2?22．故选D．

2. （2014北京理3）

曲线x??1?cos?，（?为参数）的对称中心（ ）

y?2?sin??A．在直线y?2x上

B．在直线y??2x上 D．在直线y?x?1上

C．在直线y?x?1上

?x??1?cos?【解析】 参数方程?所表示的曲线为圆心在(?1，2)，半径为1的圆．

y?2?sin??其对称中心为圆心(?1，2)．逐个代入选项可知，(?1，2)在直线y??2x上，即选项B．

3. （2014福建理21⑵）

?x?a?2t?x?4cos?已知直线l的参数方程为?，（t为参数），圆C的参数方程为?，（?为常

y?4sin?y??4t??数）．

①求直线l和圆C的普通方程；

②若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

【解析】 本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

⑴ 直线l 的普通方程为2x?y?2a?0，圆C的普通方程为x2?y2?16 ⑵ 因为直线l与圆C又公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d??25剟a25

?2a5?4，解得

4. （2014广东理14）

在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为?sin2??cos?和?sin??1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为____________．

(1,1)． 【解析】

曲线C1的方程化为?2sin2???cos?，化为直角坐标方程即y2?x，C2的直角坐标方程为y?1，显而易见，交点坐标为(1,1)．

5. （2014广东文14）

在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2?cos2??sin?与?cos???，以极点为平面直角

坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2的交点的直角坐

标为____________．

【解析】 2? ?1，6. （2014湖北理16）

?x?t?已知曲线C1的参数方程是?，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建3t（t为参数）

?y?3?立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2，则C1与C2交点的直角坐标为________

【解析】 (3，1)

曲线C1为射线y?3x(x≥0)．曲线C2为圆x2?y2?4．设P为C1与C2的交点，如图，作PQ3垂直x轴于点Q．因为tan∠POQ?交P的直线坐标为

3，所以∠POQ?30o，又∵OP?2，所以C1与C2的点3?3，1．

yPOQ2x?

评析 本题考查了参数方程和极坐标方程．容易忽视x≥0，误认为C1为直线y?7. （2014湖南理11）

在平面直角坐标系中，倾斜角为

3x． 3?x?2?cos?，π的直线l与曲线C：?（?为参数）交于A，

y?1?sin?4?B两点，且AB?2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极

坐标方程是_____________．

??2?【解析】 ?sin??????42??曲线C的普通方程为?x?2???y?1??1，设直线l的方程为y?x?b，因为弦长AB?2，所以圆心?2，1?到直线l的距离d?0，所以圆心在直线l上，故y?x?1??si?n??c?o?s??1π?2π?2??，故填． ??sin???sin????????4?24?2??228. （2014湖南文12）

??x?2??在平面直角坐标系中，曲线C:??y?1???2t2（t为参数）的普通方程为___________． 2t2【解析】 x?y?1?0 9. （2014江苏理21C）

??x?1??在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程??y?2???y2?4x相交于A,B两点，求线段AB的长．

2t2(t是参数)，直线l与抛物线2t2【解析】 直线l:x?y?3代入抛物线方程y2?4x并整理得x2?10x?9?0

∴交点A(1,2)，B(9,?6)，故AB?82?82?82 10. （2014江西理11⑵）

若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y?1?x?0≤x≤1?的极坐标为（）

1π1π B．??,0≤?≤ ,0≤?≤

cos??sin?2cos??sin?4ππC．??cos??sin?,0≤?≤ D．??cos??sin?,0≤?≤

24【解析】 A

?x??cos?，1∵?∴y?1?x化为极坐标方程为?cos???sin??1，即??，∵

y??sin?，cos??si?n?A．??0≤x≤1，∴线段在第一象限内（含端点），∴0≤?≤π．故选A． 211. （2014辽宁理23文23）

将圆x2?y2?1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．

⑴写出C的参数方程；

⑵设直线l∶2x?y?2?0与C的交点为P1，P2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

【解析】 ⑴ 设(x1,y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点?x,y?，依题意，得

?x?x1y2y22222；由x1?y1?1得x?()?1，即曲线C的方程为x??1． ?y?2y24?1?x?cost故C的参数方程为?（t为参数）．

y?2sint??2y2?1?x?1?x?0?x?⑵ 由? 解得：?，或?． 4y?0y?2???2x?y?2?0?11不妨设P,1)，所求直线斜率为k?，于1(1,0),P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(2211是所求直线方程为y?1?(x?)，

223化为极坐标方程，并整理得2?cos??4?sin???3,即??．

4sin??2cos?12. （2014陕西理15C文15C）

π??π??在极坐标系中，点?2，?到直线?sin?????1的距离是_______．

6??6??【解析】 1

π?ππ?由?sin?????1，得?sin??cos??cos??sin?1，

6?66?13?π?y?1?0，又点?2，?的直角坐标为(2，∴直线的直角坐标方程为x?1)，

226??∴点到直线的距离d?33??122?1??3???????2?2????22?1．

13. （2014天津理13）

在以O为极点的极坐标系中，圆??4sin?和直线?sin??a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为_______． 3 【解析】

以极点为平面直角坐标系原点，极轴作为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则??4sin?所表

22示圆的直角坐标方程为x?(y?2)?4，而?sin??a则表示直线y?a

由已知，直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形，则弦AB所对圆心角为120?，该弦到圆心距离等于半径的一半，因此易知a?2?1?3

14. （2014新课标1理23文23）

?x?2?tx2y2??1，直线l：?已知曲线C：（t为参数）． 49?y?2?2t⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

⑵过曲线C上任一点P作与l夹角为30?的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

?x?2cos?【解析】 ⑴ 曲线C的参数方程为?（?为参数）

y?3sin??直线l的普通方程为2x?y?6?0．

3sin?)到l的距离为d?⑵ 在曲线C上任意取一点P(2cos?，54cos??3sin??6 54d25?5sin(???)?6，其中?为锐角．且tan??． 则PA?3sin30?5225当sin(???)??1时，PA取得最大值．

525当sin(???)?1时，PA取得最小值．

515. （2014新课标2理23文23）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐

?π?标方程为??2cos?，???0??．

?2?⑴求C的参数方程；

⑵设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y?3x?2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标．

【解析】 ⑴ C的普通方程为(x?1)2?y2?1(0≤y≤1)．

?x?1?cost，可得C的参数方程为?（t为参数，0≤t≤π）

y?sint，?⑵ 设D?1?cost?sint?，由⑴知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为C在点D处的切线与l的垂直，所以直线GD与l的斜率相同． πtant?3，t?． 3?33?ππ??sin?，即?，?． 故D的直角坐标为?1?cos，?22?33????16. （2014重庆理15）

?x?2?t已知直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴线建立

y?3?t?极坐标系，曲线C的极坐标方程为?sin2??4cos??0（?≥0?0≤??2π），则直线l与曲线

C的公共点的极径??________．

【解析】 5

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