塑性力学读书报告（船海学硕何旭）

研究生课程考试答题本

考试科目： 弹塑性力学 授课教师： 李 之 达 年级专业： 14级船海学硕 考生姓名： 何旭 考试时间： 2015 年 4 月 12 日

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是

否

√

塑性力学读书报告

1.引言

物体在外力作用下将发生变形，当物体所受的外力较小时，卸除外力后物体的变形可以完全恢复，这种变形叫做弹性变形；然而，外力超过一定限度时，这时再卸除载荷，物体的变形也不能完全恢复，产生一个永久变形，这种变形就是塑性变形。塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化。塑性力学的主要研究内容是研究物体所发生塑性变形的条件以及发生塑性变形后物体内应力和应变的分布规律。塑性力学采用宏观的连续介质力学的研究方法，从材料的宏观塑性行为中抽象出力学模型，并建立相应的数学方程加以描述。塑性力学首先要解决的问题是在实验的基础上确定塑性本构关系，加上平衡方程和几何关系，建立弹塑性边值问题，并进行求解。 2.金属材料的塑性性质 2.1塑性力学的基本试验

寻求材料的塑性性质首先要进行材料试验。塑性力学的基本试验主要分为两类:单向拉伸试验和静水压力试验。 2.1.1 单向拉伸试验

通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值，如图2.1所示，横坐标是工程应变??(l?l0)/l0，纵坐标是名义应力??F/A0，这里l0和l分别是试件的初始长度和变形后的长度，A0是初始截面积，F是拉力。在加载过程中，材料经历线弹性阶段、非线性弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。在卸载过程中，处在弹性阶段应力-应变关系沿原路返回；处在塑性阶段，应力应变关系曲线沿着一条与初始阶段性平行的直线返回，斜率与弹性阶段相同。

?DB?e?aA'A?p?e?

图2.1 简单拉伸应力—应变曲线

应变可分解为弹性应变和塑性应变两部分，即

???e??p

在加载和卸载的过程中应力和应变不再存在一一对应的关系，必须要指明变形路径。因此，需要有一个用于判别材料处于加载还是卸载状态的准则，也就是加卸载准则。在简单应力状态下，可以写成

?d??0 加载???d??0 卸载?

如果正向加载是在塑性变形发展到一定程度之后卸载，再反向加载，实验表明：对于单晶体，这种情况下反向屈服应力的绝对值比初始屈服应力?y要大，即正向强化的反向也强化，如图2中的B''所示。对于一般非单晶体材料，这，种情况下反向屈服应力的绝对值比初始屈服应力?y要小，即正向强化时反向会弱化，如图2.2中的B'所示。这种现象称为Bauschinger效应。这表明，材料的后屈服性质不仅与它所经历的塑性变形的大小有关，而且受它所经历的塑性变形的方向影响。

?B?YO'O??A?B'??YA'B''???

图2.2 Bauschinger效应

由实验现象可以看到，材料的塑性变形有以下几个共同点： （1）应力—应变关系呈非线性。

（2）应力应变间的非单值性具体来说是一种路径相关性。

（3）由于塑性应变不可恢复，故外力所做的塑性功具有不可逆性，或者叫做耗散性。 影响材料性质的其它几个因素：

（1）温度。当温度上升时，材料的屈服应力将会降低而塑性变形的能力则有所提高。 （2）应变速率。如果实验时将加载速度提高几个数量级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应变形能力会有所下降。

（3）静水压力。当静水压力不太大时，材料体积的变化服从弹性规律而不产生永久

的塑性体积改变。 2.1.2 静水压力试验

通过大量的高压(各向均压）试验发现：

（1）静水压力与材料的体积改变之间近似地服从线弹性规律。若卸除压力，体积的变化可以恢复，因此认为各向均压时体积变化是弹性的，或者说塑性变形不引起体积变化。因此，对于金属材料，当发生较大塑性变形时，可以忽略弹性的体积变化，即认为在塑性变形阶段材料是不可压缩的。

（2）材料的塑性变形与静水压力无关。 2.2 轴向拉伸时的塑性失稳

从图2.1中可以看到，在应力达到最高点D之前，要增加变形必须增大应力，这时称材料是稳定的。受拉伸的金属材料当应力到达?b后，???曲线下降，这种现象叫做拉伸失稳。从拉伸试验看到,这时试件出现了颈缩，实际承载面积减小了，故实际应力不一定下降。因此，拉伸失稳同材料不稳定不是一个概念。随着变形的增长，试件瞬时长度l增大而瞬时截面积A减小，因而对应力和应变采用真应力和自然应变定义将更加合理。

真应力取为外载除以瞬时截面积，即

??FA

由于由瞬时杆长l得的应变增量为d??dl/l，故累积应变为

ll???d???dl/l

00或??ln(l/l0)?ln(1??)。其中?称为自然应变或对数应变。

?和?与l/l0的关系曲线如图2.3所示。

图2.3

?和?与l/l0对应的关系曲线

采用应变的对数定义有以下优点：

（1）可以对应变使用加法。

（2）体积不可压缩条件(1??1)(1??2)(1??3)?1可以简单地表示为

?1??2??3?0

其中?1、?2、?3表示一点在三个相互正交的主方向上的对数应变。

在???图上，材料拉伸失稳点处?并不减小，而是继续增长。假设材料不可压缩，则Al?A0l0，因而有

??对上式求导得

FFl???e? AA0l0d?dd?d??d?d???(?e?)?e??e????e?? d?d?d?d?d?d?在拉伸失稳点，?达到极大值，即d?d?=0，于是有

d??? d?在???图上表示斜率为?的点正是拉伸失稳点，如图2.4所示。

?点稳失拉伸?arctand?d?1O?

图2.4 在???图上对应的拉伸失稳点

2.3材料塑性行为的基本假设 2.3.1关于材料塑性行为的基本假设

根据金属材料简单拉伸(压缩)的试验结果以及静水压力试验结果，在塑性力学中通常对材料的塑性行为作出以下基本假设：

（1）材料的塑性行为与时间、温度无关。

（2）材料具有无限的韧性，即认为材料可以无限地变形而不出现断裂。

（3）变形前材料是初始各向同性的，且拉伸和压缩的??? (真应力—对数应变)曲线一致。

（4）关于卸载和后继屈服的假设：在产生塑性变形后卸除载荷，材料服从弹性规律；至新加载后的屈服应力（即后继屈服应力)等于卸载前的应力，这就是说重新加载达到屈服后的???曲线是卸载前的???曲线的延伸线．

（5）关于弹性和塑性的假设：任何状态下的应变总可以分解为弹性和塑性两部份，；且材料的弹性性质不因塑性变形而改变，弹性模量E是与塑性变形无关的常数。 （6）塑性变形是在体积不变(不可压缩)的条件下进行的，静水压力只产生体积的弹性变化，不产生塑性变形。

（7）关于材料稳定性的假没：当应力单调变化[例如单调拉伸)肘，假设???曲线具有以下不等式

E?Es?Et?0

其中Es??d?和Et?分别为???的曲线的割线模量和切线模量。 ?d? 在余同希、薛璞主编的工程塑性力学第二版中第14页图1.13中，我在学习这部分中产生了疑问。书中原文描述：设应力从?o加载到?，然后卸载回到?o，在此应力循环（A?A'?A''?A'''）中净功不为负（图1.13中画有阴影线的面积就代表净功）。图中表示的应是应力增加到超过?的一个小量，再卸载产生一个应变小量d?p。

?A''?A'?oAA'''Od?p?

图1.13应力循环（A?A?A?A）及其净功

''''''2.3.2 应力—应变曲线的简化模型

常用的一些简化模型： （1）理想弹性 （2）理想刚塑性 （3）刚—线性强化 （4）理想弹塑性 （5）弹—线性强化

在余同希、薛璞主编的工程塑性力学第二版中理想刚塑性翻译印刷的是rigid-perfectly elastic,这个翻译是错误的，应是rigid-perfectly plastic.

材料的后继屈服应力一般随塑性应变的增加而增加。同时，一个方向上的后继屈服应力的这种强化将会引起反方向上后继屈服应力的变化（强化或弱化）。常用的简化模型有：

（1）等向强化模型，也叫各向同性强化模型。压缩屈服应力和弹性区间都随着材料的强化而增大。

（2）随动强化模型。假定由于Bauschinger效应减小了反方向加载时的屈服应力，而总的弹性范围的大小保持不变。

（3）组合强化模型。将等向强化模型和随动强化模型组合起来的模型，更合理地反映材料的真实特性，克服随动强化模型将Bauschinger效应绝对化的缺点。 3. 应力和应变分析 3.1应力分析

一点的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，叫做应力张量。在直角坐标系下，它可以写成

??x ?xy ?xz???xx ?xy ?xz?????或? ? ?? ? ??xyy yz??xyyy yz?

?? ? ???? ? ??z?zz??xzyz?xzyz过一点任意微分面上的应力

?SN1???11 ?12 ?13??l1???????S?? ? ??N2??2122 23??l2? ?S??? ? ???l?33??3??N3??3132采用张量下标记号，写成

SNi??ijlj

把应力分解为不产生塑性变形和产生塑性变形两部分：

??11 ?12 ?13???m 0 0???11-?m ?12 ?13???????? ? ??0 ? 0?? ?-? ?m 22m23? ?2122 23????21?? ? ???0 0 ???? ? ?-??33?m?3233m??3132??3111其中?m?(?11??22??33)??kk，为各向均压的平均正应力。

33用张量符号记为：?ij??m?ij?sij

?1 i = ?ij??0 ?ij?

?ij称为单位球张量，?m?ij称为应力球张量，sij称为应力偏张量。

主平面上，主应力和应力张量之间的关系为：

(?ij???ij)lj?0

写成矩阵表达式为：

??x ?xy ?xz??l1??l1???????? ? ?l???xyy yz??2??l2? ?? ? ???l??l?3???3?xzyzz??主应力?是应力矩阵的特征值，主平面法方向与坐标轴的方向余弦矩阵是其特征向量。

要使上述方程有非零解，则系数行列式必须为零。

?x-? ?xy ?xz?xy ?y-? ?yz?0 ?xz ?yz ?z-?展开后得?3?J1?2?J2??J3?0。其中，

J1??kk1J2??(?ii?kk??ik?ki)

2J3??ijJ1,J2,J3与坐标轴的选取无关，称为应力张量的三个不变量。

一点处的等斜面有8个，这些微分面上的应力称为八面体应力。任一微分面的正应力和剪应力分别为

13?8?J1

?8?2J2 32，称为应力强度，或等效应

八面体剪应力?8对塑性理论有重要意义，将它乘以3力，用?表示。

对于三向应力情况，可以用三向应力Mohr圆图解法得到。如图3.1所示：

?OP3MP2P1??3?2?1

图3.1 三向应力状态的Mohr圆

?过一点任意微分截面上的正应力?和剪应力?均落在3个Mohr圆围成的阴影部分内

MP22?2??1??32s2?s1?s3 ??MP?1??3s1?s31或圆周边界上。M点是PP13线段的重点，Lode应力参数

?????是描述应力张量的一个特征参数。

以?1、?2、?3为坐标轴假想的三维空间形成主应力空间，应力空间中存在一些重要性质的线和面。如下图3.2所示：

?3P''LL'平面?1P'?2

图3.2主应力空间中的向量分解

?3.2 应变分析

?x??v?u?w, ?y?, ?z? ?x?z?y1?u?v1?v?w1?w?u?), ?yz?(?), ?zx?(?)

2?x?z2?y?x2?z?y?xy?(??xx ?xy ?xz???1应变张量?ij???xy ?yy ?yz?，写成张量形式，?ij?(ui,j?uj,i)

2?? ? ???xzyzzz?应变张量分解为应变球张量和应变偏张量，即

?ij??m?ij?eij

11其中?m?(?11??22??33)??kk，称为平均正应变，而应变偏张量为

33??11-?m ?12 ?13???eij???21 ?22-?m ?23?

?? ? ?-??3233m??31应变球张量具有各方向相同的正应变，它与弹性的体积改变部分行关；而应变偏张量的三个正应变之和为零，这说明它不对应于体积变形，只反映变形中形状改变的那部分。

类似应力张量和应力偏张量，应变张量和应变偏张量也存在着不变量以及等效应变和Lode应变参数。 4. 屈服条件

材料初始弹性状态的界限叫初始屈服条件，有时也简称屈服条件。做一些简化后用函数表示为

F(?ij)?0

物体内一点处产生塑性变形时该点处应力所满足的条件的函数表达式叫做屈服函数。在应力空间中，F(?ij)?0是空间中的一个曲面，称作屈服曲面。

个人学习这一小节需要加深理解的地方：主应力同应力不变量，应力偏张量和应力偏张量不变量之间的关系。

（1）材料初始是各向同性的，可写成主应力或应力不变量的函数:

F(?1,?2,?3)?0

或 F(J) 01,J2,J3?（2）静水压力不影响塑性状态，屈服函数只与应力偏张量有关或其不变量有关，即

F(s1,s2,s3)?0

或 F(J2',J3')?0

在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直于?平面的等截面的柱面，它的母线与L直线平行。

常用的两种屈服条件：Tresca屈服条件和Mises屈服条件。Tresca提出假设：当剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。这个条件称为最大剪应力条件，又叫Tresca屈服条件。表示为

?max?k

以上内容是我学习塑性力学所掌握的知识点和遇到的一些疑问。通过塑性力学的学习，以前很多理解不了的论文中的理论推导现在能理解一部分，学习塑性力学对以后的学术知识的积累具有重要的帮助，日后，还需要继续加深对弹塑性力学的理解。 主要参考文献：

余同希，薛璞.工程塑性力学.北京:高等教育出版社，2009. 卓卫东.应用弹塑性力学.北京：科学出版社，2013.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/htc8.html