一阶电路动态过程的时域分析

一阶电路动态过程的时域分析

1、典型一阶电路

一阶电路仅包含一个动态元件，若将动态元件分离出来，则由戴维南或诺顿定理可得到如下两种典型一阶电路：

典型一阶RC电路

典型一阶RL电路

注意：图中N是线性含源单口网络。 2、一阶电路的电路方程及其一般形式 ? 一阶RC电路：

①关于uC的电路方程：RCduC?uC?uS

dt②关于iC的电路方程：RCdiC?iC?CduS

dtdt③关于uR的电路方程：RCduR?uR?RCduS dtdt? 一阶RL电路

①关于iL的电路方程：LdiL?iL?1uS

RdtR②关于uL的电路方程：LduL?uL?LduS RdtRdt③关于uR的电路方程：LduR?uR?uS Rdt? 一阶电路方程的一般形式

从上可知，一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程。并且，若记电路的激励为x(t)，响应为y(t)，则一阶电路方程一般形如：

dy(t)??y(t)?x(t) dt式中，? 因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数(time constant)。并且，对于一阶RC电路，

库??安秒??秒 ?欧?????RC???欧??法???欧?????伏????伏?????对于一阶RL电路，

L???亨???韦???伏?秒??[秒] [?]??????R??欧????安?欧???安?欧???3、常系数一阶微分方程的经典时域解法

dy(t)对于常系数一阶微分方程?其解(即电路的响应)由通解和特解?y(t)?x(t)，

dt两部分构成。

通解：是对应齐次方程的解，与激励无关，称为电路的自由响应。

?tdy(t)?pt?y(t)?0?通解yh(t)=Ae=Aeτ dt?式中，A为待定积分系数，可根据初始条件来确定。

特解：与电路激励x(t)有关，x(t)不同，特解形式就不同。因此特解也称为强制响应。在高等数学中，特解一般可以采用常数变异法求得，即：

?tdy(t)令非齐次微分方程的解为y(t)=m(t)e?，求出后代入原微分方程，得到

dtm(t)：

m(t)=1?x(t)e?dt

t?所以，常系数一阶微分方程?dy(t)?y(t)?x(t)的解为 dt?tτy(t)=Ae ??通解自由响应()特解(强制响应)1e??x(t)e?dt?tt4、直流激励下的一阶电路时域分析

同时考虑电路的外部激励和动态元件的初始储能，直流一阶电路的响应存在以下3种情况：

①零输入响应(Zero-input response)：无外部激励(x(t)=0)但动态元件有初始储能时，仅由初始储能引起的电路响应。

τdy(t)?+y(t)=0?+-tτdt? ?y(t)= y(0)e

?y(0+)?0?例如，一阶RC电路的零输入响应

?-t-t?RCduC?uC=0+RC?uC(t)=uC(0)e?U0e?dt?+??uC(0)=U0?0 duC(t)uC(0+)-?t??iC(t)?Cdt=Re??t?uR(t)??uC(t)=?U0e-??

又如，一阶RL电路的零输入响应

?-t-t?LdiL?iL=0+LR?iL(t)=iL(0)e?I0e??Rdt+??iL(0)=I0?0 ?uL(t)?LdiL(t)=?RI0e-?t?dt??-t??uR(t)??uL=RI0e?

分析及结论：

无论一阶RC还是一阶RL，也无论电路的响应是何变量，一阶电路的零输入响应都具有如下特点：

? 所有变量的零输入响应与其初始值成正比。

? 同一电路，所有变量的零输入响应按同一指数规律衰减，并最终必衰减至0。

? 所有变量零输入响应的衰减快慢取决于电路的时间常数?，或者说，一阶电路过渡过程时间的长短取决于电路的时间常数?。并且，? 大→过渡过程时间长；? 小→过渡过程时间短。

? 因为

所以，? 是响应衰减到原来电压36.8%所需的时间。并且工程上可以认为，经过3?－5? , 过渡过程即可结束。

? 另外，可以证明，? 等于响应衰减指数曲线的次切距长。

②零状态响应(Zero-state response)：有外部激励(x(t) ≠0)但动态元件无初始储能时，仅由外部激励引起的电路响应。

-tτdy(t)MeM?y(t)= ?τ+y(t)=M?特解,强制(稳态)分量通解,自由(暂态)分量 ?dt?-tτ?y(0+)?0??y(?)(1?e) 例如，一阶RC电路直流激励下的零状态响应

duC(t) ??t?t?RC+uC(t)=USUSRC?uC(t)=US?USe,iC(t)=eRCdt ?R+?u(0)=0C?

又如，一阶RL电路直流激励下的零状态响应

?LdiL(t)?t?t?+iL(t)=USUULRSS?e,uL(t)=USeLRR?iL(t)= ?RdtRR+?iL(0)=0 ?

分析及结论：

? 一阶动态电路的零状态响应由稳态(强制)和暂态(自由)两部分构成。

? 同一电路，不同变量的零状态响应中的暂态分量按同一指数规律衰减，并且衰减快慢取决于电路的时间常数? 。 ? ? 越大,响应变化越慢，否则响应变化越快。 ③全响应(complete response)：既有外部激励(x(t) ≠0)，也有动态元件初始储能时，由两者共同作用引起的电路响应。

τdy(t)y(?)(=M)?y(0+)?y(?)]e-tτ?+y(t)=M?dt? ?y(t)= 特解,强制(稳态)分量+通解,自由(暂态)分量 +?y(0)?0?注1：上述一阶电路的全响应是从微分方程解结构角度进行分解的。除此以外，

一阶电路的全响应还可以按激励与响应间的因果关系进行如下分解：

y(0+)e-tτy(?)(1-e-tτ)y(t)= +

零输入响应零状态响应例如，

因此，零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。 注2：若定义时间常数?、响应初值y(0+)和响应稳态值y(∞)为一阶电路的三要素，则一阶电路的全响应可直接根据以上公式得到。这种求解全响应的方法称为三要素解法。并且，三要素法的一般步骤为： ? 除去动态元件，求取所得网络的等效电阻R，并计算动态电路的时间常数? ：

? 利用换路定则及0+等效电路，求取响应初值 y(0+); ? 根据换路并稳定后的电路，求取响应的稳态值 y(∞)； ? 按三要素法公式，写出全响应的表达式。

例1：(零输入响应问题)：1) t=0时，打开开关S，求uV。2)若电压表量程为50V，试判断其是否会被损坏。3) 讨论电路的改进措施。

例2 (零状态响应问题)：t=0开关K打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。

例3(全响应问题)：已知t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)。

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