第6章 机械振动基础

第6章 机械振动基础

6.1 选择题

(1)一质点作谐振动，周期为T，它由平衡位置沿x轴负方向运动到离最大负位移1/2处所需要的最短时间为[B]

(A)T/4 (B)T/12 (C)T/6 (D)T/8 (2)一单摆周期恰好为1s，它的摆长为[B]

(A)0.99 m (B)0.25m (C)0.78m (D)0.50m

(3)已知弹簧的劲度系数为1.3N/cm，振幅为2.4cm，这一弹簧振子的机械能为[C] (A)7.48?10?2J (B)1.87?10?2J (C)3.74?10?2J (D)5.23?10?2J

(4)一质点作谐振动，频率为ν，则其振动动能变化频率为[D] (A) 0.5ν (B) 0.25ν (C) ν (D) 2ν

6.2 填空题

(1)当谐振子的振幅增大两倍时，它的周期 ，劲度系数 ，机械能 ，速度最大值vmax ，加速度最大值amax 。(填增大、减小、不变或变几倍) 不变；不变；增大4倍；增大2倍；增大2倍

(2)设地球、月球皆为均质球，它们的质量和半径分别为Me、Mm和Re、Rm，给定的弹簧振子在地球上和在月球上作谐振动的频率比fe：fm为 ，给定的单摆在地球上和在月球上作谐振动的频率比fe：fm为 。

2MeRm1； 2MmRe(3)一弹簧振子振动频率为ν0，若将弹簧剪去一般，则此弹簧振子振动频率ν于原有频率ν间的关系 。

0

??2?0

(4)单摆周期为T，振幅为A，起始时单摆的状态如图所示(a)、(b)、(c)三种，若以单摆的平衡位置为x轴的原点，x轴指向右为正，则单摆作小角度振动的运动学方程分别为：

v0 (a) v0 (b) v0=0 (c) 题6.2(4)图 大学物理 韩玉龙

3?1??2??2??2??x?Acos?t???；x?Acos?t???；x?Acos?t???

2?2??T?T?T?(5)两个质点各自作谐振动，它们的振幅相同，周期也相同，第一质点的运动学方程为

x1?Acos??t???，当这个质点从坐标为x处回到平衡位置时，另一质点恰在正向最大坐

标位置处，这后一质点的运动学方程为 。

???x?Acos??t????

2??(6)设质点沿x轴作谐振动，位移为x1、x2时的速度分别为v1和v2，此质点振动的周期

为 。

2?2x12?x2 2v2?v12

6.5 原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.6m，若将砝码向上推，使弹簧回到原厂，然后放手，则砝码作上下振动。 (1)怎么砝码上下运动为谐振动；

(2)求此谐振动的振幅、角频率和频率；

(3)若从放手时开始计时，求此谐振动的振动方程(取向下为正向) 解：

d2xmg?k?x??st??m2

dtmg?k?st

d2xk?x?0 dt2m?2?k mkg??=10rad/s；??=1.59Hz m?st2?代入数据

??t=0时，x=-0.1m，可得x?0.1cos?10t???m

6.12 有两个完全相同的弹簧振子a和b，并排放在光滑的水平面上，测得它们的周期都为2s，现将两振子从平衡位置向右拉开5cm，然后五初速度地先释放a，经过0.5s后，再释放b振子。求它们之间的相位差。若以b振子起始运动的时刻作为初始时刻，试写出两振子的运动学方程。

大学物理 韩玉龙

解：两振子之间的相位差为????a??b?2?即a振动的相位超前于b振动动学放成分别为

?t?? T2?，若以b振子起始运动的时刻作为初始时刻，则a、b的运2???xa?0.05cos??t??m

2??xb?0.05cos?tm

6.16 两个分振动各为cos?t和3cos??t?和初相位?。 解：

?????，若在同一直线上合成，求合成的振幅A2?x1?A1cos??t??1?，x2?A2cos??t??2? A2?A12?A22?2A1A2cos??2??1?

A?A12?A22?2A1A2cos??2??1??12?3?2?1?3cos2?2=2 tan??A1sin?1?A2sin?22?3 ?A1cos?1?A2cos?21cos0?3cos?21sin0?3sin????3

6.19 一长方形木块浮于静水中，其浸入水中部分高为a，今用手指沿竖直方向将其满满压下，使其浸入水中部分高度变为b，然后放手任其运动。证明：若不计阻力，木块运动为谐振动，并求出振动周期和振幅。

a b b a y y 题6.19图 解：任一位置浮力f??a?y?S?g 平衡条件mg?aS?g

题解6.19图 大学物理 韩玉龙

合力F?mg?f??yS?g

d2y微分方程m2??yS?g

dtd2ym2?yS?g?0 dtd2yyS?g??0 dt2md2ymgS?y?0 2dtaSmgd2yg2???y?0令

adt2a可得y?Acos??t??? 初始条件t=0，y??b?a?，

6.21 两个谐振动，振动方向为x1?5cos?10t?dy?0，可得A??b?a?，??0 dt???3?1???和x2?6cos?10t???，4?4??单位均为cm，试求其合成运动的振幅及初相。

解：

x1?A1cos??t??1?，x2?A2cos??t??2? x?x1?x2?Acos??t???

A2?A12?A22?2A1A2cos??2??1??52?62?2?5?6?cos5sin?2?61

3??22?6sin5?6Asin?1?A2sin?244?22=11 tan??1?3??A1cos?1?A2cos?25cos?2?2?6cos5??6??4422??A=7.8102496759cm；?=1.4801364394rad

6.22两个谐振动，振动方向为x1?0.12cos??t???1?15cos??和x2?0.3??1?t???，

6??单位均为m，试求其合成运动的振动方程。

大学物理 韩玉龙

x1?A1cos??t??1?，x2?A2cos??t??2? x?x1?x2?Acos??t???

?11?A2?A12?A22?2A1A2cos??2??1??0.122?0.152?2?0.12?0.15?cos????

?63?A2=0.06807691453623979

A1sin?1?A2sin?263=0.9421772418 ?A1cos?1?A2cos?20.15cos??0.12cos?63A=0.2609155314m；?=0.7556348227rad ??0.7853981634 4tan??0.15sin??0.12sin?x?0.2609155314cos??t?0.7556348227?m

6.23 一质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s。当t=0时，位移为24cm。试求：

(1)t=0.5s，物体所在的位置；

(2)t=0.5s，物体所受力的大小和方向；

(3)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间； (4)在x=12cm处，物体的速度、动能、势能和总能量。 解：已知A=0.24m，T=4.0s，m=0.01kg，???2。

当t=0时，x=0.24m=A，初相?=0，故振动方程为x?0.24cos(1)t=0.5s，x?0.24cos?2tm

?2?0.5=0.17m；

2d2x????(2) a?2??0.24??cost

dt2?2?????????F?ma??0.24??cost??0.24??cos?0.05=-4.19×10-3N

22?2??2?大小4.19×103N，方向沿x轴负方向并指向平衡位置。

(3)x=12cm代入振动方程，有

-

22t?0.12 2?1??cost?故有t?2n??(n为整数)

2223最短时间t=2/3=0.667s

0.24cos?大学物理 韩玉龙

(4)速度v?dx??????0.24??sint dt2?2?x=0.12m处(t=2/3s)物体的速度为v=-0.326m/s

12mv=5.33×10-4J 212-4

总的机械能E?m?A??=7.11×10J

动能Ek?2势能Ep?E?Ek=1.78×10-4

J

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