泛函分析复习

2012泛函分析复习资料 一、定义

1. Page1 线性空间 2. Page2 Hamel基

3. Page3 凸集，凸包coE 4. Page4 度量空间

5. Page10 范数，线性赋范空间 6. Page12 内积，内积空间 7. Page14 平行四边形公式

8. Page23 Cauchy列，完备空间，Banach空间，Hilbert空间 9. Page27 稠密，无处稠密，第一纲集，第二纲集 10. page30 线性算子，线性泛函，N（T） 11. Page31 压缩映射，不动点

12. Page34同构映射，Page35 等距同构

13. page37 紧集，相对紧集，ε网，完全有界集 二、课后习题

1解答：当p?0时，d(x,y)?x?y不满足正定性，R在d下不是度量空间， 当p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，

当0?p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，

若令x?y?d(x,y)，仅当p?1时，?满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在?下是赋范空间。

2证明：Part 1：?(X,d)是度量空间，??x,y?X,d?(x,y)?min(d(x,y),1)?0且

pppd?(x,y)?0当且仅当d(x,y)?0，当且仅当x?y，?d?满足正定性；

?x,y?X,d?(x,y)?min(d(x,y),1)?min(d(y,x),1)?d?(y,x)，?d?满足对称性；

?x,y,z?X,d?(x,y)?min(d(x,y),1)?min(d(x,z)?d(z,y),1)

?min(d(x,z),1)?min(d(z,y),1)?d?(x,z)?d?(z,y)?d?满足三角不等式，综上(X,d?)是度量空间。

Part2：由(X,d)是度量空间，??x,y?X,d??(x,y)?d(x,y)?0且

d(x,y)?1d??(x,y)?0当且仅当d(x,y)?0，当且仅当x?y，?d??满足正定性；

1

2012泛函分析复习资料 ?x,y?X,d??(x,y)?d(x,y)d(y,x)??d??(y,x)，?d??满足对称性；

d(x,y)?1d(y,x)?1?x,y,z?X,d??(x,y)??d??(x,z)?d??(z,y)d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)?d??(x,y)???d(x,y)?1d(x,z)?d(z,y)?1d(x,z)?1d(z,y)?1?d??满足三角不等式，综上(X,d??)是度量空间。

2nn4证明：设x?(x1,x2,?,xn)??n，xk?(x1，k?? ,x,?,x)??kkk先证必要性，即当?xk?收敛于x时，?xk?依坐标收敛于x。 设?xk?在?中收敛于x，即d(xk,x)?0,when k??

n由d(xk,x)?iiii2x?x?d(xk,x)， i?1,2,?.n，故对，(x?x)k?kni?1ixk?xi?0,when k??，即?xk?依坐标收敛于x；

ii充分性，设?xk?依坐标收敛于x，即任意i?1,2,?.n，xk?x?0,when k??

?d(xk,x)?敛于x

?(xi?1niki ?xk?收?d(xk,x)?0,when k??，?xi)2?nmaxxk?xi，

1?i?n??综上所述，?xk?在?中收敛于x等价于?xk?依坐标收敛于x。

n5(1)证明：设?E?:????是线性空间X中任意的凸集族，则任取x,y??E?，及0?r?1，

???则????,x?E?,由E?是凸集，?rx?(1?r)y?E?，?rx?(1?r)y??E?，?E?是

??????凸集，即任意多个凸集之交是凸集。 (2)证明：任取x,y?kE，及0?r?1，则

xyxy,?E，由于E是凸集，?r?(1?r)?E kkkk?rx?(1?r)y?kE，故kE也是凸集。

(3)设E是凸集，任取x,y?x0?E及0?r?1，由于x?x0?E,y?x0?E，E是凸集，

?r?x?x0??(1?r)(y?x0)?E，即rx?(1?r)y?x0?E，?rx?(1?r)y?x0?E，

故凸集E经平移x0后得到的集合x0?E也是凸集。 (4)仅证E，E暂不证明。

2

o 2012泛函分析复习资料 任取x,y?E?E?E?，及0?r?1，

若x,y?E，由E是凸集，?rx?(1?r)y?E?E

若x,y?E?，则存在?xn?,?yn??E,xn?x,yn?y，由E是凸集，?rxn?(1?r)yn?E 由rxn?(1?r)yn?rx?(1?r)y,?rx?(1?r)y?E??E

若x?E,y?E?,则存在?yn??E,yn?y，由E是凸集，?rx?(1?r)yn?E 由rx?(1?r)yn?rx?(1?r)y,?rx?(1?r)y?E??E 综上当E是凸集时，E也是凸集。

(5) R在一般度量下，两凸子集(0,1)和(1,2)的并集(0,1)?(1,2)不是R的凸集。 6 (1) 证明：任取y1,y2?T(A)则存在x1,x2?A,Tx1?y1,Tx2?y2 由T是线性映射，T?rx1?(1?r)x2??rTx1?(1?r)Tx2?ry1?(1?r)y2 对任意0?r?1，由A是凸集，?rx1?(1?r)x2?A，

?ry1?(1?r)y2?T?rx1?(1?r)x2??T(A)，?T(A)是凸集。

(2) 证明：任取x1,x2?T?1(B)则存在y1,y2?B,Tx1?y1,Tx2?y2 由T是线性映射，T?rx1?(1?r)x2??rTx1?(1?r)Tx2?ry1?(1?r)y2 对任意0?r?1，由B是凸集，?ry1?(1?r)y2?B，

?rx1?(1?r)x2?T?1(B)，?T?1(B)是凸集。

(3)由P29线性算子T是一一的当且仅当N?T???0?，故只需证N?T???0?当且仅当对X中每个线性无关集E，T(E)是Y中的线性无关集。

必要性：由N?T???0?，及X的某个线性无关集E，假如T(E)不是Y中的线性无关集，则存在E中的线性无关序列?xn?， ?T(xn)?线性相关，即存在不全为零的?n??，

??nTxn?0，由T是线性算子，T???nxn????nTxn?0，因N?T???0?，

n????nn???nxn?0，这与?xn?是线性无关序列矛盾，故假设不成立；

n 3

2012泛函分析复习资料 充分性，假若N(T)?{0}，则存在x1?0,x1?N(T),?Tx1?0，此时?x1?是X中线性无关集，这与X中每个线性无关集的像是Y中线性无关集矛盾，?Tx1??{0}是X中线性相关集，故假设不成立，得证。

7(1)证明：左?A?B?(A?A?)?(B?B?)，右?(A?B)?(A?B)? 任取z?左，z?x?y,x?A,y?B，则有以下几种情况 若x?A,y?B，则z?x?y?A?B?右；

若x?A?,y?B?，则A中存在?xn?收敛于x，B中存在?yn?收敛于y，故xn?yn?A?B， 且xn?yn收敛于x?y，故z?x?y?(A?B)??右；

若x?A?,y?B，则A中存在?xn?收敛于x，故xn?y?A?B，且xn?y收敛于x?y，故z?x?y?(A?B)??右；

若x?A,y?B?，证法同上，易得z?x?y?(A?B)??右 综上，左?右得证。

1x?A是开集?A是开集 (2) ○0证明：?)任取x?A，则x0?x?x0?A，

由于x0?A是开集，故存在r?0,O(x0?x,r)?x0?A，故O(x,r)?A，即A也是开集

?)任取x0?x?x0?A，则x?A，由于A是开集，故存在r?0,O(x,r)?A，

故O(x0?x,r)?x0?A，即x0?A是开集，得证。

或证： x0?A是开集?任取x0?x?x0?A，存在r?0,O(x0?x,r)?x0?A ?任取x?A，存在r?0,O(x,r)?A?A是开集

2x?A是闭集?A是闭集 ○0证明：x0?A是闭集?任取点列x0?xn?x0?A，且x0?xn?x0?x，则x0?x?A ?任取点列xn?A，且xn?x，则x?A?A是闭集

(3)证明：不妨设A是开集，由(2)知?y?B,y?A也是开集，A?B?B?A??y?B(y?A) 由于任意开集的并集仍然是开集，故A?B是开集。

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