2012年福建高考理科数学试卷及答案（word版） - 图文

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（理工类）

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z满足zi?1?i，则z等于（ ）

A．?1?i B．1?i C．?1?i D．1?i 2. 等差数列{an}中，a1?a5?10,a4?7，则数列{an}的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列命题中，真命题是（ ）

A．?x0?R,ex0?0 B．?x?R,2x?x2

C．a?b?0的充要条件是

a??1 D．a?1,b?1是ab?1的充分条件 b4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（ ）

11)?lgx(x?0) B．sinx??2(x?k?,k?Z) 4sinx12C．x?1?2|x|(x?R) D．2?1(x?R)

x?16. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概

A．lg(x?2率为（ ）

11 B． 4511C． D．

67A．

7. 设函数D(x)???1,x为有理数?0,x为无理数，则下列结论错误的是（ ）

A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数

x2y2?2?1的右焦点与抛物线y2?12x的焦点重合，8. 双曲线则该双曲线的焦点到其渐4b近线的距离等于（ ）

A．5 B．42 C．3 D．5

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?x?y?3?0?x9. 若直线y?2上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0，则实数m的最大值为

?x?m?A．

13 B．1 C． D．2 22f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1,x2?[a,b]，有

10. 函数

x1?x21)?[f(x1)?f(x2)]，则称f(x)在[a,b]上具有性质P。设f(x)在[1,3]22上具有性质P，现给出如下命题： f(2①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的；②f(x)在[1,3]上具有性质P；

③若f(x)在x?2处取得最大值1，则f(x)?1，x?[1,3]；④对任意

x1,x2,x3,x4?[1,3]，有f(x1?x2?x3?x41)?[f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)]。

24其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

4311. (a?x)的展开式中x的系数等于8，则实数a?_________。

12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于___________ 13. 已知?ABC的三边长成公比为

_________。

14. 数列{an}的通项公式an?ncos 则S2012? ___________。

2的等比数列，则其最大角的余弦值为

n??1，前n项和为Sn， 2?a2?ab,a?b15. 对于实数a,b，定义运算“?”：a?b??2，设

?b?ab,a?bf(x)?(2x?1)?(x?1)，且关于x的方程为f(x)?m(m?R)恰有三个互不相等的

实数根x1,x2,x3，则x1x2x3的取值范围是_______________。

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三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分13分）

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆

乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌

轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

17. （本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin13?cos17?sin13cos17； （2）sin15?cos15?sin15cos15； （3）sin18?cos12?sin18cos12； （4）sin(?13)?cos48?sin(?18)cos48； （5）sin(?25)?cos55?sin(?25)cos55。

（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

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18. （本小题满分13分）

如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?1，E为CD中点。 （Ⅰ）求证：B1E?AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若二面角A?B1A?A1的大小为30，求AB的长。

19. （本小题满分13分）

0x2y21如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e?。

ab2过F1的直线交椭圆于A,B两点，且?ABF2的周长为8。 （Ⅰ）求椭圆E的方程。

（Ⅱ）设动直线l:y?kx?m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x?4相较

于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存

在，说明理由。

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20. （本小题满分14分）

已知函数f(x)?e?ax?ex,a?R

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y?f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的

切线与曲线只有一个公共点P。

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

x2?a设曲线2x?2xy?y?1在矩阵A???b

?220??(a?1)对应的变换作用下得到的1??曲线为x?y?1。

（Ⅰ）求实数a,b的值。 （Ⅱ）求A的逆矩阵。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),(22223?,)，圆C的参数方程32?x?2?2cos?(?为参数）。 ??y??3?2sin?（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?m?|x?2|,m?R，且f(x?2)?0的解集为[?1,1]。 （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a,b,c?R，且

111???m，求证：a?2b?3c?9 a2b3c

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