7.1 不等关系与不等式

1 7.1 不等关系与不等式

五年高考

I考点不等式的概念和性质 1．（2013陕西，10.5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y， 有 ( )

A.[?x]??[x] B.[2x]?2[x] c.[x?y]?[x]?[y] D.[x?y]?[x]?[y]

2．（2013广东．8,5分）设整数n≥4，集合X?{1,2,3,?,n}?令集合S?{(x,y,z)|x,y,z?X,且三条件x?y?z,y?z?x,z?x?y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（x，w，x）都在S中，则下列选项正确的是 ( )

A.(y,z,w)?s,(x,y,w)?S B.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)?s D?(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

3．（2012湖北．10.5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积y，求其直径d的一个近似公式d?316V?人们还用过一些类似的近似公式．根据??3.14159?判断，下列近似公式中最9精确的一个是( )

A.d?31630021V B.d?32V C.d?3V D.d?3V 9157114．（2011全国．3，5分）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是 ( )

A.a?b?1 B.a?b?1 C.a2?b2 D.a3?b3

5．（2011浙江．7，5分）若a，b为实数，则0?ab?1,,是a?11或b?,,的( ) baA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（2011上海．15，5分）若a、b?R,且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 (． )

b112A.a2?b2?2ab B.a?b?2ab C.?? D.??2

aababx2x37．（2010江苏．12.5分）设x，y 为实数，满足3?xy?8,4?y?9,则4的最大值是

y2

解读探究

考点 内容 命题规律 命题趋势

念和性质

不等式的概 了解现实世界和日常生活概念的考查共计2次．如2013广东，8． 中的不等关系，了解不等式 2．题型赋分：考查题型为选择题，分值为5分． （组）的实际背景． 3．能力层级：以容易题为主，偶见中档题． 式的基本性质讨论与之相关的不等关系． 2 1．考查内容：2013年全国各省市对不等关系与不等式1．趋势分析：不等关系、不等式的性质及应用是高考热点． 2．备考指南：备考时应熟练掌握不等式的相关性质，理解两实数视不等式性质的灵活运用，提高逻辑思维能力， 4．考查形式：给定某一不等关系或不等式，利用不等比较大小的理论依据．特别要重智力背景

鹧鸪天。男女捉兔 百兔纵横走入营，几多男女都来争；一人一个难拿尽，四只三人始得停．来往聚，

闹喧哗，各人捉得往家行．英贤如果能明算，多少人家堪法评！这是一首描述军营捉兔的小词，不但写得生动有趣，而且是一道数学题哪！你读懂了么？并且是“英贤”么？

知识清单

1．不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;

a?b?0?a?b.另外，若b?0,则有

aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b. bbb3．不等式的性质性质1：对称性

如果a>b，那么bb． 性质2：传递性

如果a>b，且b>c，那么①____ 也可等价表示为：

如果c如果a>b，那么②____． 推论1：移项法则

如果a+b>c，那么③____． 推论2：同向可加性

如果a>b，且c>d，那么④ 性质4：乘法法则

如果a>b，且⑤____，那么ac> bc； 如果a>b，且⑥____，那么ac

如果⑦ ，且⑧____，那么ac> bd. 推论2：乘方法则

如果a>b>0，那么⑨ (n?N,且n?2). 推论3：开方法则

如果a>b>0，那么⑩ (n?N,且n?2).

3 【知识拓展】

1．在两个不等式中，如果每一个的左边都大干（或小于）右边，这两个不等式就是同向不等式．例如a2?a?a?1,3a2?5?2a是同向不等式；如果一个不等式的左边大干（或小于）右边，而另一个不等式的左边小于（或大于）右边，这两个不等式就是异向不等式，例如a2?3?2a,a2?a?5是异向不等式．

2．在应用不等式的性质时，一定要搞清楚它们成立的前提条件，例如：

(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的，如a?b,b?c?a?c.

22(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c??0时，由a?b?ac?bc;若无 22c?． ?0这个条件，则a?b?ac?bc就是错误结论（当c=0时，取“=”）

3．以后经常用到“不等式取倒数”的性质：a?b,ab?0?11?,应在会证明的基础上理解记忆． ab知识清单答案

突破方法

方法不等式性质的应用

应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围时，由于变量间彼此相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解此类题目时要特别小心，一般来说，可采用整体换元或待定系数法，

2例（2012安徽合肥二模．12，5分）设f(x)?ax?bx,且1?f(?1)?2,2?f(1)?4,则f(?2)

的取值范围是 （答案用区间表示）

解题思路

解析 设f(?2)?nf(?1)?nf(1， （)mhn为待定系数）则4a?2b?m(a?b)?n(a?b), 即 4a?2b?(m?n)a?(m?n)b,

于是，得??m?n?4,?m?3,解得?

?m?n?2,?n?1.?f(?2)?3f(?1)?f(1).

4 ?1f(?1)?2,2?f(1)?4,

?5?3f(?1)?f(1)?10,h||5f(?2)?10.

答案 [5,10]

【方法点拨】 由a?f(x,y)?b,c?g(x,y)?d,求F(x,y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设

F(x,y)?mf(x,y)?ng(x,y),用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F（x,y)的取值范围．

智力背景

愚公分月饼 三个智叟动脑筋，平分一个大月饼，仅有圆规和直尺，尺上刻度不分明．正在为难愚公 至，帮助分得均又平．【解法】用直尺作一直线与圆交于两点，得一弦（图中未作出），用尺规作此弦的垂直平分线，得一直径，设为AB，再用尺规作AB的垂直平分线CD分突破方法别为圆心，以OC长为半径作弧得E、F，连OE、OF.每人取一大块加一小块即可.

三年模拟

A组 2011-2013年模拟探究专项基础测试

时间：20分钟 分值：30分 一、选择题（每题5分，共15分） 1．（2013浙江台州一模，3）下列四个数中最大的是 ( )

A?lg2 B?lg2 C.(lg2)2 D?lg(lg2)

2．（2012湖北武汉二模．4）若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 ( )

A.a?11bb?1112a?ba?b? B.?? c.a??b? D.baaa?1baa?2bb3．（2012广东佛山5月模拟．4）关于x的方程|x|?k(x?1)?0有正实数根，则实数k的取值范围为 ( )

A.k?1 B.k??1 C.k?1或k??1 D.0?k?1

二、填空题（每题5分，共15分）

4．（2013福建泉州3月，15）若x?y,a?b,则在①a?x?b?y,②a?x?b?y,③ax?by,

④x?b?y?a,⑤ab?这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是 yx325．（2013山东济宁5月．13）设a>0，且a??1,P?loga(a?1),Q?loga(a?1),则P与Q的大小关系

是

6．（2011福建厦门4月．13）设a?b,(1)ac?bc;(2)2?2;(3)确的结论是

22ab11?;(4)a3?b3;(5)a2?b2中正ab

B组 2011-2013年模拟探究专项提升测试

时间：20分钟 分值：30分

一、选择题（每题5分，共15分）

1．（2012江西景德镇4月模拟．6）设a?lge,b?(lge)2,c?lge,则( )

5 A.a?b?c B.a?c?b C.c?a?b D.c?b?a

2．（2012上海杨浦3月模拟．17）已知a、b、c是任意的实数，且a?b,则下列不等式恒成立的为( )

A.(a?c)4?(b?c)4 B.ac?bc C?lg|b?c|?lg|a?c| D.(a?c)?(b?c)

3．（2011广东中山5月．2）已知a，b，c满足c221313bc? aab?aB.?0

cA.b2a2c.c?c a?cD.?0

ac二、填空题（每题5分，共15分）

4．（2013山东龙口一模．14）设函数.f(x)?ax?b(0?x?1),则a?2b?0是f(x)?0在[O，1]上恒成立的 条件．（填充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要） 5．（2013河南三门峡二模．13）给出下列条件：

①1?a?b;②0?a?b?1;③0?a?1?b.其中，能推出logb号是 ．（填上所有可能的条件的序号）

11?loga?logab成立的条件的序bb226．（2013黑龙江大庆5月．14）对于实数a，b，c有下列命题：①若a>b，则ac?bc;②若ac?bc,则a>b；③若aa>b>0，则

ab11?;⑤若a?b,?,则a>0，b<0.c?ac?bab其中真命题是____．（把正确命题的序号写在横线上）

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