北邮版概率论答案(8)

习题八

2

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.108).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为

4.28 4.40 4.42 4.35 4.37

问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（?=0.05）? 【解】

H0:???0?4.55;H1:???0?4.55.n?5,??0.05,Z?/2?Z0.025?1.96,??0.108x?4.364,Z?x??0

?(4.364?4.55)0.108?5??3.851,?/nZ?Z0.025.所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.

2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：

3.24 3.26 3.24 3.27 3.25

设含镍量服从正态分布，问在?=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设

H0:???0?3.25;H1:???0?3.25.n?5,??0.01,t?/2(n?1)?t0.005(4)?4.6041x?3.252,s?0.013,t?x??0s/n?(3.252?3.25)0.013?5?0.344,

t?t0.005(4).所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取?=0.05）. 【解】设

H0:???0?1.1;H1:???0?1.1.n?36,??0.05,t?/2(n?1)?t0.025(35)?2.0301,n?36,x?1.008,s?0.1,t?x??0s/n?(1.008?1.1)0.1?6?1.7456,2

t?1.7456?t0.025(35)?2.0301.所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.

4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近

1

似地服从正态分布（取?=0.05）. 【解】

H0:??21.5;H1:??21.5.?0?21.5,n?6,??0.05,z0.05?1.65,??2.9,x?20,z?x??0?/n?(20?21.5)2.9?6??1.267,

z??z0.05??1.65.所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.

5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平?=0.05下检验. （1） H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).

?:? =0.04(%)；H1?:?＜0.04(%). （2）H0【解】(1)

?0?0.5;n?10,??0.05,t?(n?1)?t0.05(9)?1.8331,x?0.452,s?0.037,t?x??0s/n?(0.452?0.5)0.037?10??4.10241,

t??t0.05(9)??1.8331.所以拒绝H0，接受H1. (2)

?0?(0.04),n?10,??0.05,?1????0.95(9)?3.325,x?0.452,s?0.037,(n?1)s22222??22?220?9?0.0370.0422?7.7006,

???0.95(9).所以接受H0，拒绝H1.

6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.005）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于?=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005? 【解】

H0:???0?0.005;H1:???0?0.005.n?9,??0.05,s?0.008,2??/2(8)??0.025(8)?17.535,?1??/2(8)??0.975(8)?2.088, ??22222(n?1)s2?20?8?0.008(0.005)22?20.48,?2??0.025(8).2故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.

7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到： 第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；

2

第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.

设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(?=0.05) 【解】

H0:?1??2;H1:?1??2.n1?n2?200,??0.05,t?/2(n1?n2?2)?t0.025(398)?z0.025?1.96,sw?t?sw(n1?1)s1?(n2?1)s2n1?n2?2x?y1n1?1n2?22?199?(0.218?0.176)398??1.918;22?0.1981,

(0.532?0.57)0.1981?1200?1200t?t0.025(398).所以接受H0，认为两批强度均值无显著差别.

8.两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A，B所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA，σB，试在水平?=0.05下检验方差齐性的假设

H0:?2A22

??B;H1:?22A??B.

2【解】

n1?n2?5,??0.05,s1?0.4322,s2?0.5006,F?/2(n1?1,n2?1)?F0.025(4,4)?9.6,F0.975(4,4)?F?s1s2221F0.025(4.4)?19.6?0.1042,

22?0.43220.5006?0.8634.那么F0.975(4,4)?F?F0.025(4,4). 所以接受H0，拒绝H1.

9. 在π的前800位小数的数字中，0，1，…，9相应的出现了74，92，83，79，80，73，77，75，76，91次.试用?检验法检验假设

H0：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…

=P(X=9)=

1102，

其中X为π的小数中所出现的数字，α=0.10.

??P(x?i)?解：假设古典概型，设有未知参数，Pi110,n?800

3

10??2?i?1222?)2(fi?nP(74?80)(92?80)(91?80)i??????5.125 ?808080nPi2在检验水平α=0.10下，查自由度m=10-0-1=9的?2分布表，得到临界值?0.10(9)?14.684.

因为?2=5.125<14.684不能拒绝原假设.

10. 在一副扑克牌(52张)中任意抽3张，记录3张牌中含红桃的张数，放回，然后再任抽3张，如此重复64次，得到如表8-10所示的结果，试在水平α=0.01下检验.

表8-10

含红桃张数Y 出现次数 H0：Y服从二项分布， 0 21 1 31 2 12 3 0 i?1??3?P(Y?i)?C3?????4??4?i3?i,i?0,1,2,3.

??P(Y?i)?C?1??3? 解：假设Y～B（3，），没有未知参数. Pi????4?4??4?i31ii4n=64. ??2?i?1?)2(fi?nPi?3.926 ?nPi2在检验水平α=0.01下，查自由度m=4-0-1=3的?2分布表，?0.01(3)?11.345,因为

2?=3.926<11.345,所以不能拒绝原假设.

11. 在某公路上，50min之间，观察每15s内过路的汽车的辆数，得到频数分布如表8-11所示，问这个分布能否认为是泊松分布(α=0.10)?

表8-11

过路的车辆数X 次数fi 0 92 1 68 e??2 28 3 11 4 1 5 0 解：假设H0：总体X服从泊松分布.P{x=i}=用最大似然估计法得到：

????ii!,i=0,1,2,，，…,这里H0中参数λ未知，

0?92?1?68?2?28?3?11?4?1?5?0200?0.805

?=P?{X?(i?1)}?若H0为真，P{X=i}的估计为Pie?0.805(i?1)!?(0.805)i?1,n?200,

4

6??2?i?1?)2(fi?nPi?2.115 ?nPi2在检验水平0.10下，查自由度m=6-1-1=4的?2分布表，得?0.10(4)?7.779,由于

2?=2.115<7.779，所以接受假设H0，即是泊松分布.

12. 测得300只电子管的寿命(以h计)如表8-12所示，试取水平α=0.05下的检验假设： H0：寿命X服从指数分布，其密度为

t??1e200, t?0,? f(t)??200?0, 其他.? 表8-12

寿命 0＜t≤100 100＜t≤200 解：P{0?t?100}?只数 121 78 寿命 200＜t≤300 t＞300 ?t2001000只数 43 58 ?100012001e?t200dt??e?1?e?12?0.39

P{100?t?200}??2001002001200e?t200?t200200100dt??e?e?12?e?1?0.24

P{200?t?300}??300200e?t200dt??e?t200300200?e?1?e?32?0.14

P{t?300}?1?P{t?300}?1??30001200e?t200dt??t ?1???e200??3000????

33???? ?1??1?e2??e2?0.22??没有未知参数，n=300,所以

??2(121?300?0.39)300?0.392???(58?300?0.22)700?0.222

?1.631.22在检验水平α=0.05下查自由度m=4-0-1=3的?分布表，得到临界值?0.05(3)?7.815.因

5

为?2=1.631<7.815，所以不能拒绝原假设.

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