高等代数_李海龙_习题第6章向量空间

第六章 向量空间

6.1 定义和例子

1.令F是一个数域,在F里计算 (?)3(2,0,?1)?(?1,?1,2)?2(0,1,?1);

113(??)5(0,1,?1)?3(1,3,2)?(1,?3,1).

1117(?,?,) 结果：(?)326(??)(?2,1,?10)

2.证明:如果

a(2,1,3)?b(0,1,2)?c(1,?1,4)?(0,0,0), 那么a?b?c?0.

201?2a?c?0?11?1?0?a?b?c?0??a?b?c?0 证 ：由题得?3a?2b?4c?0?3243.找出不全为零的三个有理数a,b,c(即a,b,c中至少有一个不是0),使得 a(1,2,2)?b(3,0,4)?c(5,?2,6)?(0,0,0).

?a?3b?5c?0??2c?0?a?c?2a??2a?4b?6c?0?解：由已知得解之得?b??2c取c?1则a?1,b??2．故a?1,b??2，

c?1为所求．

34.令?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1).证明,R中每一向量?可以唯一地表示为

??a1?1?a2?2?a3?3的形式.这里a1,a2,a3?R.

3?3，则可证 证：提示，设??(a1,a2,a3)，则??a1?1?a2?2?a3?3，若??b1?1?b2?2?b得a1?b1，a2?b2，a3?b3．

5.证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立： （i）a(???)?a??a?; （ii）(a?b)??a??b?,

这里a,b?F;?,??V. 证明：略

6．证明：数域F一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量. 证明：若a?0?V,取1,?,n,?,?F,则a,?,na,?,?V,故V中有无限多个向量. 7.证明,对于任意正整数n和任意向量?,都有

n个?????n??a????.

提示：用数学归纳法证明.

8. 证明,向量空间定义中条件3,8)不能由其余条件推出.

证：F是数域， V???a,b?a,b?F?，向量加法：(a1,b1)+(a2,b2)=(a1?a2,b1?b2)，纯量乘法：k(a,b)=(ka,0)k?F，不满足1(a,b)?(a,b)（因为1(a,b)＝(a,0)，当b?0时

?1(a,b)?(a,b)）其余条件均能满足，故3○ 、8）不能有其它条件推出．

9.验证本节最后的等式:

(?1,?,?n)(AB)?((?1,?,?n)A)B.

证：把向量a1,,?,an作为矩阵中的元素，则等式两边都是一行p列矩阵，对左住端矩阵中的第j个元素

cj有，

cj??akukj??ak(?aklblj)???aklbljakk?1k?1l?1k?1l?1nnmnm

其中

ukjm是AB中第k行第j列元素．对于右端矩阵中的

mnnmcj有，

cj??vlblj??(?aklak)???aklbljakl?1l?1k?1k?1l?1其中vl是(a1,,?,an)A中的第l列元素．

6.2 子空间

1.判断R中下列子集哪些是子空间: (i)?(a1,0,?,0,an)|a1,an?R?;

n???(a1,a2,?,an)|?ai?0?;i?1? (ii)?n

n???(a1,a2,?,an)|?ai?1?;i?1? (iii)?(iv)?(a1,a2,?,an)|ai?Z,i?1,?,n?.

解 (?) 因为 当a1?a2?0时，则??W，即W非空，设??(a1,0,?,0,an)，

??(b1,0,?,0,bn)，即?,??W，a,b?R，

而a??b??(aa1?bb1,0,?,0,aan?bbn)，因为a1,b1,an,bn?R，所以aa1?bb1?R，aan?bbn?R，即a??b??W，故W是Rn的子空间．(??) 是Rn的子空间，验证方法同上．

???a1,a2,?,an?nW?(???) 不是R的子空间，3??a?1??ii?1?，为(1,0,?,0)?W3，2?R，而

n2(1,0,?,0)?(2,0,?,0)?W3（

?ai?1ni?2?1），故W3不是R的子空间．

31(1,0,?,0)n(1,0,?,0)?W?W4，故W4不是Rn的子空间．2R4(?v) 不是的子空间，因为，

2.令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间(参看6.1,例2).令

S??A?Mn(F)|A/?A?,

T??A?Mn(F)|A/??A?.

证明,S和T都是Mn(F)的子空间,并且 Mn(F)?S?T,S?T??0?.

' 证：显然I?Mn(F)，因I?I，所以I?S，即S非空．?A,B?S，a,b?F，有

(aA?bB)'?aA'?bB'?aA?bB，即aA?bB?S，故S是Mn(F)的子空间，又因为0'?0，所(aA?bB)'?aA'?bB'?a(?A)?b(?B)??(aA?bB)，?A,B?S，a,b?F，以0?T，即T非空，，

即aA?bB?T，既然S,T是Mn(F)的子空间，所以S?T也是Mn(F)的子空间．即

S?T?Mn(F)，由5.1第9题知S?T?Mn(F)，故Mn(F)?S?T．设A?S?T，A?S，

A'?A，A?T，A'??A，所以A??A，所以A?0，故S?T??0?．

3.设W1,W2是向量空间V的子空间.证明:如果V的一个子空间既包含W1又包含W2,那么它一定包含W1?W2.在这个意义下,W1?W2是V既含W1又含W2的最小子空间.

证：W是V的子空间，既包含W

1

又包含W2，即W?W1，W?W2，W?W1?W2

又W1?W2?W1，W1?W2?W2，W1?W2?W1?W既包含W1又包含W2的最小子空间．

2 ，W1?W2=W1?W2即W1?W2

是

4.设V是一个向量空间,且V??0?.证明:V不可能表成它的两个真子空间的并集. 证：设 W1、W2都是V的真子集，且V??0?，则至少有一个V的非零向量??W1且至少有一个V的非零向量??W2 , (1)若??W2 则 因为??W1 ???W1?W2 命题得证．(2)若??W1则 因为??W2 ，???W1?W2命题得证．(3)若??W2 ，而??W1，在这种情况下，我们考虑向量????V．以下证明????W1，且????W2．(?)若????W1，则有??????W1，因为W1是子空间???????W1，这与??W1矛盾，所以????W1，(??)若????W2，则有??????W2，因为W2是子空间???????W2，这与??W2矛盾．所以????W2，于是有????V，但????W1?W2综上表明V?W1?W2．

5.设W,W1,W2都是向量空间VW?W1?W?W2,W?W1?W?W2.证明:W1?W2.

的子空间,其中W1?W2且

证：??2?W2因为W2?W?W2?W?W1 ，所以?2????1，（??W，?1?W1）那么???2??1，又因为W1?W2，故???2??1?W2，所以??W?W2?W?W1，因而

??W1????1?W1??2?W1，即W2?W1，又W1?W2，故W1?W2

6.设W1,W2是数域F上向量空间V的两个子空间.?,?是V的两个向量,其中??W2,但

??W1,又??W2.证明:

(i)对于任意k?F,??k??W2; (ii)至少有一个k?F,使得??k??W1.

证：(?)用反证法．若存在k?F，使得??k??W2，由??W2 ，所以k??W2

因而

??(??k?)?k???2，这与??W2矛盾，故对于任意k?F，有??k??W2

(??)设

??k??W1，若还有

l?k，而

??l??W1，因而有

(??k?)?(??l?)?(k?l)??W1，由l?k，有

??1(k?l)??W1k?l，这与??W1矛盾．

7.设W1,W2,?,Wr是向量空间V的子空间,且Wi?V,i?1,?,r.证明:存在一个向量??V,使得??Wi,i?1,?,r.

证：对r应用数学归纳法．当r?1时，命题显然成立．假设对于r?1(r?1)时，命题,r?1)，对于r的情形：成立，即存在??V，而??Wi(i?1,2,?（1）若??Wr，命题成立，

（2）??Wr，则存在??V，而??Wr，根据第六题(??)知，?,??V，??Wr，

??Wi(i?1,2,?,r?1)，??Wr故对每一Wi，在F中最多有一个li，使得??li??Wi(i?1,?2,r?,，令l?li，则??l??Wi，根据第六题(?)得??l??Wr令

????l?，则??V而??Wi(i?1,2,?,r?1)，故命题对于一切自然数都成立．

6.3 向量的线性相关性

1.下列向量组是否线性相关: (i)(3,1,4),(2,5,-1),(4,-3,7); (ii) (2,0,1,),(0,1,-2),(1,-1,1);

(iii)(2,-1,3,2),(-1,2,2,3),(3,-1,2,2),(2,-1,3,2).

解：(i),(ii)线性无关；(iii)线性相关（利用定义或判定定理）．

?2.证明,在一个向量组??1,?2,?,?r?里,如果有两个向量?i与j成比例,即?i?kaj,k?F,那么??1,a2,?,ar?线性相关.

提示：部分组线性相关，则整体线性相关．

n3.令?i?(ai1,ai2,?,ain)?F,i?1,2,?,n.证明?1,?2,?,an线性相关必要且只要行列式

a11a21?an1a12a22?an2????a1na2n?0?ann

n? 证：a1,,?,an线性相关?有不全为零的数k1,,?,kn使i?1零解?系数行列式

kiai?0?齐次

??akj?1i?1nniji有非

aij?0．

n4.设?i?(ai1,ai2,?,ain)?F,i?1,2,?,m,线性无关.对每一个?i任意添上p个数,得到

?7?4??9?4??1?结果：?412125?27?2??5?4??3???4?

3

提示：取R的标准基，且求出(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)A，(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)B，并

A,B都可逆，即证得(?1,?2,?3)，(?1,?2,?3)都是R3的基，从而有(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)A?1B，即A?1B为由{?1,?2,?3}到{?1,?2,?3}的过渡矩阵．

5．设

?1,?2,?,an?是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个n?s矩

阵．令．(?1,?2,?,?s)?(?1,?1,?,?n)A.

证明：dimL(?1,?2,?,?s)?秩A．

?IA?P?r?0 证：设 秩A?r，则存在F上n阶可逆矩阵P和Q，使

0??Q0?（Ir为单位矩

阵）．(?1,?2,?,?n)P?(r1,r2,?,rn)，即r1,r2,?,rn线性无关．于是有?Ir?(?1,?2,?,?s)?(?1,?2,?,?n)P?00??IrQ??0??(r1,r2,?,rn)?00??Q0??(r1,r2,?,rr,0,?,0)Q，从

而?1,?2,?,?s与r1,r2,?,rr,等价，故有dimL(?1,?2,?,?s)?dimL(r1,r2,?,rr)?r=秩A．

6.6向量空间

1．证明，复数域C作为实数域R上的向量空间与V2同构． 证1 提示：直接利用定理6.6.3

证2 令f:C?V2；a?bi?(a,b)，显然是C到V2的一个映射，只要证明f为双射，且满足f(z1?z2)?f(z1)?f(z2)，f(kz)?kf(z)，则f是C到V2的一个同构映射，故C?V2

W是向量空间V到W的一个同构映射，V1是V的一个子空间．2．设f:V?证明f(V1)是W的一个子空间．

证?0?V1,而f(0)?0?f(V1)，?f(V1)是W的一个非空子集．设?,??f(V1)，所以存在?1,?1?V1，使得f(?1)??，f(?1)??， ?a,b?F， 有 a??b??af(?1)?bf(?1)

?f(a??b?)， ?a?1?b?1?V1，a??b??f(V1)，故f(V1)是W的子空间．

3．证明：向量空间F[x]可以与它的一个真子空间同构．

2证 提示：设W?{f(x)|f(x)?F[x]}， W是F[x]的子空间，且为F[x]的真子空间，（因

222为x?F[x]，但x?W），令?:F[x]?F[x]；f(x)?f(x)，可证?是F[x]到F[x]的同

构映射，故F[x]?W．

6.7矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间

1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关． 证：设性相关．

2．证明，秩(A?B)?秩A?秩B

提示：W1，W2是V的子空间，由维数公式知，dim(W1+W2）=秩W1+秩W2，令W1=A的行空间，W2=B的行空间，比较维数，结论得证．

3．设A是一个m行的矩阵，秩A?r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证明，秩B?r?s?m．

??1???1?????????????S???S?A????A???????1?0??S?1?????????B??????????0????????S?，????m?（i为A的第i行）证明：，

A?(aij)n?n，A?0?秩A?n?行（列）空间的维数?n?A的行（列）线

?0???????0?????S?1??????????m?据第2题，得，

??1??0??0??0???????????????????????S??0??0??0??????????0??????S?1??S?1??S?1?????????????????????0???????????秩A?秩??秩?m?，即r?秩B+秩?m?，因m?秩?m?+S，所以

?0???????0?????S?1?????????秩B?r?秩?m??r?(m?s)?r?s?m

4．设A是一个m?n矩阵，秩A?r，从A中任意划去m?s行与n?t列，其余元素按原来位置排成一个s?t矩阵C． 证明，秩C?r?s?t?m?n．

证明：由A中划去m?s行做成矩阵B，由第3题，有秩B?r?s?m，在B中划去n?t列做成t矩阵CB，，由第3题，有秩C?秩B+t?n，所以秩C?r?s?t?m?n．

5．求齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?0??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0?x2?2x3?2x4?x5?0 ?的一个基础解系．

解：对系数矩阵施行初等行变换后，得 ?1??0?0??00?1?11220000000??0??x1?x3?x4?1???x2??2x3?2x4?0???x5?0，

'基础解系为?1?2100?， ?1?2n01?0．

'6．证明定理6.7.3的逆命题：F的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间．

n证明：设W是F的任一子空间，而且dimW?r，令?1?(a11,?a1n)?,?r?(ar1,?arn)是W的一个基，以?1,?2,?,?r为行构成矩阵Ar?n，经初等行变换（必要时交换列）将化为?10?0c1r?1??01?0c2r?1????????00?1crr?1?????c1n??c2n????crn?)??, ?，因此(c1r?1?crr?11 0?0??x1??0?????A????????x??0?是?n???的基础解系，而?1,?2,?,?r正是

?c1n?crn00?1??c1r?1?cnr?110?0?????????????c??1n?crn00?1? ?y1????????y??n??0???????0??? （＊）的基础解系，所以（＊）的解空间为W．

nn7．证明，F的任意一个?F的子空间都是若干n?1维子空间的交．

证明：设W是F的任一子真子空间，不妨设?1,?2,?,?s为W的基，则W=dimLnn（?1,?2,?,?s）0?S?n,且dimW?S．现在把W的基扩充为F的基，

{?1,?,?S,?S?1,?,?n}，L1?L(?1,?,?S,0,?S?2,?,?n),L2?L(?1,?,?S,?S?1,0,，

?S?3,?,?n),Ln?1?L(?1,?,?S?2,?,?n?1,0),所以原命题成立.

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