2020届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算含解析

问题01 数集与点集的运算

一、考情分析

集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享

(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①xx?2x?0；②xy?x?2x；③yy?x?2x；④

?2??2??2???x,y?y?x2?2x.

?(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程xy?2的整数解集可表示为

??1,2?,?2,1?,??1,?2?,??2,?1??.

(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．

(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展

1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2,真子集的个数为2－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?Ann?痧B????A?UUB??U .

3．奇数集：xx?2n?1,n?Z?xx?2n?1,n?Z?xx?4n?1.n?Z.

4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种

??????(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域. 四、题型分析

(一)与数集有关的基本运算

【例1】【2018年理新课标I卷】已知集合A. C.

B.

D.

的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集，则

【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出中元素的特征，求得结果.

【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．

【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合A?xx?1,B?x3?1,则（ ）. A. A???x?B??xx?0? B. AB?R C. AB??xx?1? D. AB??

【答案】A

x【解析】A??xx?1?,B??x3?1???xx?0?,所以AB??xx?0?,AB??xx?1?.

故选A.

(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知M??(x,y)|??y?3??3?,N?{(x,y)|ax?2y?a?0},Mx?2?N??,则a?（ ）

A．－2 B．－6 C．2 D．一2或－6

【分析】首先分析集合M是除去点(2,3)的直线y?3x?3,集合N表示过定点(?1,0)的直

线,MN??等价于两条直线平行或者直线ax?2y?a?0过(2,3),进而列方程求a的值．

y?3?3?y?3x?3(x?2)若Mx?2N??,则①：点(2,3)在直线ax?2y?a?0上,即

【解析】由

a2a?6?a?0?a??2；②：直线y?3x?3与直线ax?2y?a?0平行,∴??3?a??6,

2∴a??2或?6.

【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键． 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II】已知集合个数为

A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】当

时，

；所以共有9个，选A.

，当

时，

；当

时，

；

，则中元素的

(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围

【例3】设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( ) A．(－∞,2) B．(－∞,2] C．(2,＋∞) D．[2,＋∞)

【分析】先得到A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.

【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.

【小试牛刀】已知P＝{x|2

【解析】因为P中恰有3个元素,所以P＝{3,4,5},故k的取值范围为5

【例4】已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x?T)?Tf(x)成立.

（1）函数f(x)?x是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)?ax(a?0且a?1）的图象与y?x的图象有公共点,证明：f(x)?ax∈M；（3）若函数

f(x)?sinkx∈M ,求实数k的取值范围.

【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足f(x?T)?Tf(x)的函数构成． 【解析】（1）对于非零常数T,f （x+T）=x+T,Tf （x）＝Tx． 因为对任意x∈R,x+T =Tx不能恒成立,所以f （x）＝x M ．

（2）因为函数f （x）=a（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点, ??y?axx所以方程组：? 有解,消去y得a=x,

??y?xx 显然x=0不是方程的a=x解,所以存在非零常数T,使a=T． 于是对于f （x）=a,有

x xTf （x＋T）=ax+T = aT·ax=T·ax =T f （x）,故f （x）=ax∈M．

【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．

【小试牛刀】在直角坐标系

xoy中,全集U?{(x,y)|x,y?R},集合

A?{(x,y)|xco??s(y?4)si?n?1,0???2?},已知集合A的补集CUA所对应区域的对称中心为M,

点P是线段x?y?8(x?0,y?0)上的动点,点Q是x轴上的动点,则?MPQ周长的最小值为（ ） A．24 B．410 C．14 D．8?42 【答案】B

(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例5】若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A；

1

(Ⅱ)若x∈A,y∈A,则x－y∈A,且x≠0时,∈A.

x则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；

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