等腰三角形性质试题及答案

一.教学内容：

2.1 等腰三角形

2.2 等腰三角形的性质

二. 重点、难点：

重点：

理解和掌握等腰三角形以下性质： 1. 等腰三角形轴对称性质； 2. 等边对等角； 3. 三线合一。 难点：

1. 推导性质。通过操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。

2. 应用性质。等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。

三. 知识要点及学习目标

1. 等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。

如图，△ABC中，若AB、BC、AC三边中有其中两边相等，则△ABC称为等腰三角形。

（1） （2） （3）

图（1）中AB＝AC，图（2）中AC＝BC，图（3）中AB＝BC。 相等的两边称为等腰三角形的腰，另一边称为等腰三角形的底边；两腰的夹角称为等腰三角形的顶角，另外两个角称为等腰三角形的底角。

你能指出上述三幅图中的腰、底边，顶角和底角吗？

2. 等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不是顶角平分线本身）。

根据轴对称图形的概念我们知道：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。如果在△ABC中，AB＝AC，我们画出顶角∠BAC的平分线AD，沿着AD对折△ABC会发现什么结论？通过操作显示出等腰△ABC是一个轴对称图形。它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。（这里要注意到对称轴的概念——直线，而△ABC的顶角平分线是一条线段即这里的折痕，不能把它们混为一谈，同时也要把一般角的平分线——射线与它们区别开）。

3. 推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。

因为等腰三角形是轴对称图形，而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换，所以如下图，△ABC中，若AB＝AC，AD是△ABC的∠BAC的平分线，当我们沿AD折叠时，会发现AD两旁的△ABD与△ACD能够重合即△ABD≌△ACD。

再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。 ∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90° BD＝CD

追根溯源来看这些相等的边和相等的角是由什么条件带来的，就可以得出等腰三角形的性质。

4. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。 我们把在上述图形中由等腰三角形AB＝AC这个条件出发，得出的角相等∠B＝∠C，这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。（也称为：同一个三角形中，等边对等角）。

由等腰三角形AB＝AC和顶角平分线∠BAD＝∠DAC这两个条件出发，得出BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°（即AD⊥BC于D），这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为等腰三角形三线合一。

5. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。 利用等腰三角形的性质解题时，一定要注意正确地表述性质的条件和结论。结合图形我们可以这样来表述：

如下图，△ABC中，

（1）∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C。（等腰三角形的两底角相等。） （2）∵ AB＝AC，∠BAD＝∠DAC ∴ BD＝CD且AD⊥BC。 或∵ AB＝AC，BD＝CD

∴ ∠BAD＝∠DAC且AD⊥BC。

或∵AB=AC ，AD⊥BC ∴ ∠BAD＝∠DAC且 BD＝CD。（等腰三角形三线合一）

【典型例题】

例题1. 如图D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

分析：这里要根据条件来说明图形的名称，而不是凭直观和想象。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，另外的两角叫底角。

解：图中的等腰三角形有：△ABC和△ADB。它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下：

△ABC

腰 AB、AC 底边 BC 顶角 ∠BAC 底角 ∠CBA， ∠C

ABD 注意：在没有明确三角形的具体条件的情况下，关于等腰三角形的有关概念（腰、顶角等）有多种可能的结果存在。如：△ABC是等腰三角形，就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰，相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。所以在叙述等腰三角形时，一般要明确指出相等的两边是哪两边。

例2. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC边上的点，且AD＝AE，AP是△ABC的角平分线。点D、E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？说明理由。

△ADB AD、DB AB ∠BDA ∠BAD， ∠

分析：根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题：

（1）将等腰△ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？

（2）AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？

（3）轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？

解：点D、E关于AP对称，且DE∥BC。理由如下： 因为AP是∠BAC的平分线，AB＝AC，AD＝AE。

则当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，所以点B、C关于直线AP对称，点D、E也关于直线AP对称，所以BC⊥AP，DE⊥AP，所以DE∥BC。

注意：这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理由是：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是对称轴。

例3. 在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝50°，求∠B，∠C的度数

分析： 根据等腰三角形的性质：两底角相等。结合三角形的内角和等于180°来计算。

解：在△ABC中， ∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角） ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50° ∴∠B＝∠C＝＝＝65°

注意： 此题也可以用代数的方法（列方程）来解，其解题依据仍然是：等腰三角形的

两底角相等和三角形的内角和为180°。

例4. 已知线段a，h（如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高线为h。

分析：（1）假设图形已经作出，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC，关键是要作出哪一个点？

（2）已知BC边上的高的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？由此能确定顶点A的位置吗？

作法：如下图。

1. 作线段BC＝a。

2. 作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. 3. 在直线 l上截取DA＝h，连结AB，AC。 则△ABC就是所求的等腰三角形。

注意：这里作图的依据是：等腰三角形三线合一的性质。更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素作为结论”。

例5. 已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。

猜想：AE⊥BC，BD＝CD 说理：∵AB＝AC(已知) OB＝OC(已知)

AO＝AO（公共边）

∴△ABO≌△ACO（SSS） ∴∠BAO＝∠CAO

∴AE⊥BC，BD＝CD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合） 注意：等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。

例6. 探索：等腰三角形两底角的平分线大小关系。

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。

猜想：BD＝CE.

解：∵AB＝AC（已知），

∴∠ABC＝∠ACB （在一个三角形中等边对等角） ∵BD、CE分别是两底角的平分线（已知）

∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB （角平分线的定义） ∴∠DBC＝∠ECB，

在△DBC和△ECB中∠DBC＝∠ECB，BC＝CB（公共边），∠ABC＝∠ACB ， ∴△DBC≌△ECB（ASA）

∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）

注意：等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。

课后反思：

认识等腰三角形并不困难，但要正确表述却不容易。特别是等腰三角形三线合一的性质的应用，很容易只给出一个条件，就得出结论。

应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下： 在△ABC中，如下图，∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角） 在△ABC中，如下图

（1）∵AB＝AC ，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC （等腰三角形三线合一） （2）∵AB＝AC，BD＝DC

∴AD⊥BC，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一） （3）∵AB＝AC，AD⊥BC

∴BD＝DC，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，

1. 如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______。

2. 如果∠BAD＝∠CAD，BC= 6cm， 那么∠BDA＝_____°，BD＝______cm。 3. 如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______。 4. 如果∠B＝80°，那么∠BAC＝

5. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝ ， ∠BAM＝

6. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。

则：∠BAC＝180°－ ∠B，∠B＝（ ）∠DAC＝ ∠C。

7. 如下图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°，则∠B＝ °

8. 如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。

二. 解答题

1. 请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。

2. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边长。

3. 一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。

4. 如图已知AB＝AC，BD＝DC，AE平分∠CAF，试判断AE与AD的位置关系，并说明理由。

【试题答案】

一. 填空

1. ∠CAD， CD 2. 90，3 3. ∠CAD，BC 4. 20°

5. 90°，20°； 6. 2 180°－∠BAC 7. 80°

2

8. 29 二. 解答题

1. 解：等腰三角形的三边长分别为：2，3，3（Cｍ）

2. 解：如图，设AD＝ｘ，则DC＝ｘ，AB＝2ｘ。设BC＝ｙ。

由题意可以列方程：

?2x?2x?y?14??(2x?x?BD)?(BD?x?y)?4 解之得：x = 3，y =2 或

?2x?2x?y?14? ?(BD?x?y)?(2x?x?BD)?4

解之得：x = 5/3 ，y = 22/3

显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”，所以舍去。 所以△ABC的三边长分别为：

AB＝AC＝ 2x =6 cm，BC＝y = 2cm. 3. 解：△ABC中AB＝AC，所以∠C＝∠B 若∠BAC∶∠B＝ 4∶1

则：∠BAC＋∠B＋∠C＝6∠B＝180° 所以∠B=30°＝∠C，∠BAC＝120°。 若∠B∶∠BAC＝ 4∶1

则：∠BAC＋∠B＋∠C＝9∠BAC＝180° 所以∠BAC＝20°，∠B＝∠C＝80° 4. 解：AE⊥AD。 说理如下：

因为AB＝AC，BD＝DC

所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一）； ∠B＝∠C（一个三角形中等边对等角）。

因为∠CAF＝∠B＋∠C，所以∠CAF＝2∠B；

因为AE平分∠CAF，所以∠CAF＝2∠EAF；

所以∠EAF＝∠B，所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行） 所以∠EAD＝∠BDA＝90° 所以AE⊥AD。

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