裂项相消法

裂项相消法

数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和

?c?方法称为裂项相消法。适用于类似?（其中?an?是各项不为零的等差数列，?aa?nn?1?c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的

裂项方法： （1）

11111?11?k?1，特别地当时， ??????n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?n?k?nk（2）?n?k?n，特别地当k?1时?1?n?1?n

n?1?n例1、数列?an?的通项公式为an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an ?1，求它的前n项和Sn

n(n?1)111????1?22?33?411 ??n?n1nn?????11??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

?1?针对训练、求数列1111,,,?,,?的前n项和Sn. 1?22?33?2n?n?1例题2：(2015安徽,18,12分)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=

,求数列{bn}的前n项和Tn.

(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,

又a1+a4=9,可解得或(舍去).

由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1.

(2)Sn==2n-1,又bn===-,

所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=-=1-.

例三：等差数列（Ⅰ）求数列

的公差为的通项公式；

，且成等比数列．

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

解：(Ⅰ)，

又成等比数列，所以，

所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

，解得，所以．

，

则

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