计算方法习题集及答案

练习一

1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？

nx2. 试导出计算积分In 的递推计算公式In 1(1 In 1)，用此递推公式计算积分的 (n 1,2,3,4) 4n1 4x0

1

近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

xn14xn xn 1 xn 11xn 1n 1

解：In ( xdx ) 1 4x401 4x401 4x00

In

1

1111

11

( I) 4nn 1

I0 I1

11

dx ln5 0.402 1 4x40

11

(1 I0) 0.150, I2 (1 I1) 0.21344 11

I3 (1 I2) 0.197, I4 (1 I3) 0.201

44

此算法是数值稳定的。 3. 试证明 x证明：

（1）令xr maxxi

1 i n

1( 1)n

en In In (In 1 In 1) ... ne0

44

n

maxxi,

1 i n

x (x1,x2, xn) R及A max aij,A (aij) Rn n.

T

n

1 i n

j 1

x

lim( xi)

p

i 1

n

p1/p

limxr[ (

p

i 1

n

xixr

)]

p1/p

limxr[ (

p

i 1

n

xrxr

)p]1/p limxr n1/p xr

p

即x

xr

又lim(

p

i 1

n

xi)

p1/p

lim( xr)1/p xr

p

i 1

n

p

即x

xr x xr

⑵ 设x (x1,...xn) 0，不妨设A 0，

令 max

1 i n

a

j 1

n

ij

Ax

max aijxj max aijxj maxximax aij x

1 i n

j 1

1 i n

j 1

1 i n

1 i n

j 1

nnn

即对任意非零x Rn，有

Axx

Ax0x0

下面证明存在向量x0 0，使得

n

，

设

a

j 1

i0j

，取向量x0 (x1,...xn)T。其中xj sign(ai0j)(j 1,2,...,n)。

n

n

显然x0

1且Ax0任意分量为 ai0jxj ai0j，

i 1

i 1

故有Ax0

4. 已知A

max

i

ax

iji 1

n

j

ai0j 即证。

j 1

n

4 3

，A1 ___________，A2 _______________ 。

16

321

5. 已知矩阵A 230 ，试计算A的谱半径 (A)。

103

3

解： fA( ) det( I A) 2

2 1

0 ( 3)( 2 6 4) 0

3

3

1

max 3 (A) 3

0 21

6. 已知A 1 21，试计算||A||1，||A|| ，||A||F，||A||2 1 2 0

3

解：（1）||A||1 max |aij| 5

1 j 3

i 1

||A|| max |aij| 5

1 i 3

j 1

3

||A||F (

i 1

3

|a

j 1

3

ij

|) 4

122

||A||2 3

7.

147 1

A 236 ,X 0 ,则A _________;AX

081 1

________.

8. 古代数学家祖冲之曾以解：x

355

作为圆周率 的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113

325

0.314159292 101 133

x x

355

0.266 10 6 0.5 101 7该近似值具有7为有效数字。 113

9. 若T(h)逼近其精确值T的截断误差为

R(T): T(h) T Aih2i

i 1

T0(h) T(h)

h

其中，系数Ai与h无关。试证明由 4mTm 1() Tm 1(h)

Tm(h) ,m 1,2, 4m 1

所定义的T的逼近序列{Tm(h)}的误差为Tm(h) T 其中诸Ai(m)是与h无关的常数。 证明：当m=0时 左边 T（0h）-T=

A

i 1

(m)

i

h2m 2，

h

ii 1

2i

右边

设m=k时等式成立，即T（kh）-T=当m=k+1时

i 1

(k)

i

h2k 2i

k 1(k)h2k 2ih4[T i()] [T i(k)(h)2k 2i]4Tk() Tk(h)

2i 1i 1Tk （ T= T1h）-T=k 1k 1

4 14 1

k 1

i(k)(h)2(k 1) 2i 即证。

i 1

练习二

1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： （1）x

解：

（1）迭代公式xk 1

cosx sinxx

; (2)x 4 2。

4

cosxk sinxkcosx sinx'

, (x) ， (x) 1公式收敛

x* 0.25098

（2） (x)

xk 1

ln(4 x)'

，x0 1.5， (x0) 1 局部收敛

ln2ln(4 xk)

x* 1.386

32

2. 方程x x 1 0在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：

（1）x 1

11,对应迭代公式; x 1 1 k22xxk

2

32

（2）x 1 x，对应迭代公式xk 1 xk;

（3）x

2

1

,对应迭代公式xk 1 x 1

1

。 xk 1

判断以上三种迭代公式在x0 1.5的收敛性，选一种收敛公式求出x0 1.5附近的根到4位有效数字。 解：

（1） (x) 1

12''

(x) 1 局部收敛 (x) 023

xx

'

2

22'

（2） (x) (x) x(1 x)3 (x0) 1 局部收敛

3

2 1'

( 13 (x0)' 1 (x) x 不是局部收敛 2（3） (x) 迭代公式（1）：

x* 1.466

迭代公式（2）：

x* 1.466

3. 已知x (x)在[a,b]内有一根x， (x)在[a,b]上一阶可微，且 x [a,b], (x) 1，试构造一个局部收敛于x的迭代公式。 解：

方程x (x)等价于x 0.5[ (x) 3x] 构造迭代公式xk 1 0.5[ (xk) 3xk] 令 (x) 0.5[ (x) 3x]

由于 (x)在[a,b]上也一阶可微 [ 0.5( (x) 3x) ] 0.5 (x) 3 0.5 1 故上述迭代公式是有局部收敛性.

**

4. 设 (x)在方程x (x)根x的邻近有连续的一阶导数，且 (x) 1，证明迭代公式xk 1 (xk)具

*

*

'

有局部收敛性。 证明：

(x)在x*邻近有连续一阶导数，则 '(x)在x*附近连续，

'*

令 (x) L 1则取 1 L

*''*

则 0当x x 时 有 (x) (x)

'''*'*

从而 (x) (x) (x) (x) L (1 L) 1

(x) x* (x) (x*) '( )(x x*) x x*

故 x < (x)<x

**

令 a x ，b x

**

由定理2.1知，迭代公式xk 1 (xk)是有局部收敛性。 5.

(x) x (x2 5)，要使迭代法xk 1 (xk)局部收敛到x* ，则 的取值范围是

______________。

3

2

6. 用牛顿法求方程f(x) x 2x 4x 7 0在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。

解：f(x) x3 2x2 4x 7

f'(x) 3x2 4x 4

32xk 2xk 4xk 7

y次迭代公式xk 1 xk

2

3xk 4xk 4

x* 3.63

7. 试证用牛顿法求方程(x 2)2(x 3) 0在[1,3]内的根x 2是线性收敛的。 解：

令f(x) (x 2)2(x 3)

f'(x) 3x2 2x 8 (x 2)(3x 4) y次迭代公式xk 1 xk

*

(xk 2)(xk 3)

3xk 4

故ek 1 x xk 1 2 xk

*

(xk 2)(xk 3)(xk 2)(2xk 1)

3xk 43xk 4

ek 12xk 1

，k 时，xk 2 ek3xk 4

ek x* xk xk 2 从而

故k ，

ek 11

ek2

故牛顿迭代公式是线性收敛的

8. 应用牛顿法于方程x a 0, 导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 解：f(x) x3 a f(x) 3x

33

xk a2xk a

相应的牛顿迭代公式为xk 1 x

k 22

3x3xk

3

2x3 2a2

xk a''' 4

迭代函数 (x) ， (x) ， (x) 2ax 32

3x3xk

3

'2

则 ' 0， '' 0

练习三

1. 设有方程组

5x1 2x2 x3 12

x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 3

23 1

(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x

(k 1)

x(k)

10 4时迭代终止。

521

A是强对角占优阵。

4解：（1）A 14

2 310

故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。

212

（2）x1 x2 1x3 x2 4x1 2x3 53

x3 1x1 x3

3

10

123(k 1)(k)(k 1)(k)31(k)1(k)

x x x ，x2，， 1x x 53124123

510

雅克比法：

3(k)2(k)

x1(k 1) x2 x3

(0)(0)(0)

10 4（i=1,2,3） 取初始向量x1 x2 x3 0，迭代18次有xi18 x17i

x1 3.999996，x2 2.999974，x3 2.000000

高斯-塞德尔法：

3(k)2(k)

x1(k 1) x2 x3

123(k 1)(k)(k 1)(k)31(k)1(k)

x x x ，x2， 1x x 531213

510

(0)(0)(0)

取初始向量x1 x2 x3 0，迭代8次有xi8 xi7 10 4（i=1,2,3）

x1 4.000033，x2 2.999983，x3 2.000002

2. 设有方程组

a11x1 a12x2 b1

, (a11,a12 0) ,

a21x1 a22x2 b2

1 (k)(k 1)

x (b1 a12x2)1 a11

迭代公式： , k 1,2, .

1(k)(k 1)

x2 (b2 a21x2) a22

求证由上述迭代公式产生的向量序列x(k)收敛的充要条件是 证明：

a12a21

1.

a11a22

迭代公式x(k 1)

0

Bx(k) f中的矩阵B

a21 a 22

a12 a11

，det( E B) 2 a12a21，

a11a22

0

由迭代收敛的充要条件知

(B) 1

a12a21

1即证。

a11a22

1a0 x1 1

3. 给定方程组 a20 x2 0 ，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代收敛。

101 x3 1

(k 1)

x(k)4. 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子 1.2）,要求x

10 4.

2x1 x2 1.

x1 4x2 5

解：SOR方法

(k 1)

x1 x1(k)

a11

(k)

(b1 a11x1(k) a12x2)

(k 1)(k)

x2 x2

a22

(k)

(b2 a21x1(k 1) a22x2)

a11 2,a12 1,a21 1,a22 4,b1 1,b2 5, 1.2

故x1

(k 1)

k)(k 1)(k)(k 1)

， 0.2x1(k) 0.6x( 0.6x 0.2x 0.3x 1.5 2221

(0)(0)

迭代初值x1 x2 0

x(16) x(15)

0.000052 10 4

x1 x1(16) 1.000017

(16)

x2 x2 0.999991

5. 给定线性方程组AX=b，其中A

1a 2

,x,b R， 4a1

1）求出使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛的 的取值范围。 2）当 0时，给出这两种迭代法的收敛速度之比。

6. 用Gauss消去法解方程组

2x1 x2 x3 4

3x1 x2 2x3 6 x 2x 2x 5

23 1

7. 用选列主元高斯消去法求解方程组

3x1 x2 4x3 7

x1 2x2 2x3 1 2x 3x 2x 0

23 1

解：

3 1

3 147

05 12 2 1 A D 3

2 3 20 7

0

3

3 1

7

0 3 5 0

3

解得

4

2 314 34

7 4 3 14 3

4 1432 3

7 3 1 14 7 0 3 34 00 3

143 4

7 14 3 2

2,1,0.5

8. 用追赶法解三角方程组

2 1000 x1 1 12 100 x 0 2 0 12 10 x3 0 00 12 1 x4 0 000 12 0 x5

解：高斯迶元

1 1 2

2 10001 01 12 1000 0 12 100 00 00 12 10 000 120 00

00

0 23

00 34

000 451

100

10

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

16

1411 x45 5 6 31311

回代得 x3

44321212 x23 3 2 31125 x12 2 3 6

x5

解为 x

56

23

12

13

16

9. 用三角分解法求解方程组

8 x1 5 24

418 16 x 6 2 62 20 x3 7

解：系数矩阵三角分解为：

8 100 248 24

418 16 210010 32 62 20 3 11 00 76

原方程可表为：

8 1 5 100 24

210010 32 8 2 3 11 00 76 7

3 10 1 解 2 3 1

0 y1 0 y2 1 y 3

5 8 得 y 7

5 2 10

2 解 0 0

8 x1

10 3 2 x2

0 7 6 x3 4

5

2 1 0

291215 , 得x

1.5316,0.2211,0.1316

126

10. 用选主元法去法计算下列行列式的值3

24.

951

951

1269511

111 m21r1r3 3243

解：324 0 1

33m319

951126

13530

9915915

33 53135313 m32r2r30 53

0

l2 l39999

111300 00

3353

9

9

53 30

0 3

9 53

1104

11. 设A 11 计算 cond(A) .

解：

1104

11-10-1 A 10 11 44 10-11-10 cond A A

A 1

104 1

4 10 1 104 4 1 10

1105 105

12. 设方程组Ax=b，其中A= ，b=

11 1

① 计算cond(A) ，判断方程组是否病态。 ② 用全主元消元法求解，结果如何？

③ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？ 解：

① A

1

10+1 又 A

1 105

5

1

1 105

1 1

A

1

1 105

1 105

1

cond(A) =A A该方程组是病态

1 105(1 105)2

=（1+10） =〉〉1 55

1 10 1 10

5

1051 x2 105

② 用全主元消元法求解。 x =

11 1 1

(1 105)2

〉〉1 cond(A) =5

1 10

出现大数吃小数的现象，结果失真。

10 5

③ 用10除第一个方程得：A1=

1

5

1 1

A1

2,A1 1

42

，= cond(A)

105 1105 1

方程组是良态的。

练习四

1. 给出概率积分

f(x)

的数据表：试用二次插值计算f(0.472).

2

x

e xdx

2

解：取插值节点：

x

0.46

xx 0.47

1

2

0.48

2

L2 x yili x

i 0 x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y0

x0 x1x0 x21x1 x0x1 x22x2 x0x2 x1L2 0.472 0.4955616f 0.472 L

2

0.472

0.4955616

试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.

解：由题意得如下差商表

k

x

k

f

x

k

f x0,xk 0.02080 0.02915

f x0,x1,xk

01.50.99749

11.60.9995721.70.99166

0.49950

9N2 x 0.9974 故 N2 1.60 9

R2 1.60

又 f

0.02 0x805 1. x99 5 0 0. 4

x

1.5

1.6

0.99927

f

6

3

3

1.6 09 1.51. 6091. 6 6091.7

x sinx

, f x cosx

f maxcosx 0.12884

1.5 x 1.7

3

故：R2 1.609 1.92 10 6 3. 设xj为互异节点(j 0,1, ,n),求证 (1)

xl

j 0n

n

kjj

(x) xk(k 0,1, ,n)

(2)

(x

j 0

j

x)klj(x) 0(k 0,1, ,n)

k

证明： 1 令 f x

x

Ln x xjlj x

j 0

n

k

又

R x f x L x

n

n

f

x n 1

n 1!

n

n 1

所以

f

n 1

0 故

k

R x 0

xLn x f x

2 原等式左边用二项式展开得：

xj x

nj 0

k

kx 1k 1xx x Cnxjlj ljxjlj j 0

n

n

x 1 xl

k

k

j

k

k

0j

1k 1 k

xjlj x Cnxxjlj x j 0

n

1 xxl x

j

由 1 结论

n

xjxj x x

j 0

kk

得

xj x l x x Cxx

k

k

1

j 0

j

n

k 1

Cnx

22

x

k 1

1 xx

k

k

x 1 1

k

k

0 即证

4. 若f(x) x x 1，则f[2,2, ,2] ，f[2,2, ,2] 5. 若yn 2n,求 2yn和 4yn.

解：

75017018

y

2

n

y

y

n 1

y

n

n 2

n 1

nn

y

n 2

2y

n 1

yn

2

2 2

2 2

4

y 3n

y

n 1 3

y

n

1

2

2

2

y

2

2

n 1

yn

y

n

2

y

n 1

y

n

3 y

2

n 1

y

y 2 n

1 n 1 2

2

y

y

n 1 yn 1n 1 yn 3 22 22

yn 2

y

n 1

yn 1

yn

yn 1

yn

yn

yn 1

yn 1

yn

y

n

yn 1

yn

yn 1

yn 1

yn 2

y

n 2

4y

n 1

6yn

4y

n 1

y

n 2

2

n 2 4 2

n 1

6 2n

4 2

n 1

2

n 2

2

n 2

6. 设xi(i 0,1,2,3,4,5)为互异节点，li(x)为对应的5次Lagrange插值基函数， 5

(x

3i 2x2i xi 1)li(x) ___________________。

i 0

7. 证明两点三次Hermite插值余项是

R1(4)

3(x)

4!

f( )(x x2k)(x x2k 1), (xk,xk 1) 证明： f x s3

x R3

x

且 R3

xk

0,R3

xk 1

0,R 3

xk

0,R 3

xk 1

0

即 xk,x

k 1

为

R3

x 的二阶零点

设

R3

x R x x x2

2

k x xk 1

f x s3 x

令 t f t s t t x2

2

k t xk 1 3

x 2

f x s x x kx xk 12

3

易知 xk

0, xk 1

0, xk

0, xk 1

0

又

x 0

由微分中值定理（Rolle定理）

1

xk,x , 2 x,xk 1 ，使得

则

1

0, 2

0

进而 x 有三个零点， x 有两个零点， 4

x 有一个零点，

即

x 4

k,xk 1 使得 0

4

f

4

0

4!

x x2

2

R3

x 0

kx xk 1得 R1

2

2

3 x

4!

f

4

x xk x xk 1 xk

,x

k 1

8. 设li(x)

n

x xjxLagrange基函数，则li(xj)

____________

ij 1j

i x是j

____________

。

9. 求一个次数不超过4次的多项式P(x)，使它满足

P(0) P (0) 0,P(1) P (1) 1,P(2) 1,，并写出其余项表达式。

10. 求一个四次插值多项式H(x)，使x 0时，H(0) 1,H'(0) 2；H(1) 0,H'(1) 10,H"(1) 20，并写出插值余项的表达式。

11. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)

解：已知

x

1,x1 0,x2 1,x3 3,

而x 1时，

y

1,y 1,y 3,y 31,

1

2

3

边界条件

y

4,y 28

3

h x

i

i 1

xi,i 0,1,2 即h0 1,h1 1,h2 2

1, 2

从而

a1

h h

1

a2

f

h h

1

f

1

2

1 , 3

b1 3 1 a1

b2 3 1 a2

3

ff

1

h

2

a1

2

1

f

1

hf

3

6

18

1

f

1

h

a2

2

f

2

h

m 4,m 28

1 1

6 4 4 2 m1 2

26 1

2 m2 18 28 3

3

1

2

2 解

2 3

得

m 1,m

4

当 x

x,x 即 x 1,0 时

1

2

2

x 0 x 1 1 2 x 2x 3 0 1 1 0

1

x 1 1 2x 0

x 1 1 2x

0 1 1 0

2

2

2

2

x 0 x 1 x x 1

1 0

x 1 x 0 x 1 x

0 1

2

1

2

故 s x

3

x x x x y0 0y1 1m0 0m1 1x x 1

1,3 上均有 s x x3 x 1 同理，在 0,1 及

12. 已知实验数据

试用最小二乘法求经验直线y a0 a1x。

13. 利用最小二乘法求一个形如y(x) a0 a1x a2x2的经验公式，使它与下列数据拟合：

14. 用最小二乘法求一个形如y a

bx的经验公式，使与下列数据相拟合

解：依题意 n 4,m 1,

2

1

2

x 1, x x

4

i

i

故

, x x 5

i 04

, x 5327

2

1

i 0

i

, 5327

1

, x 7277699

4

4

1

1

i 0

i

.5 y x 271.4 y x 369321

i 0

i

i

1

i 0

i

1

i

44

5 0 5327 1 271.4

正则方程为

5327 7277699 369321.5 0 1

解得

0.97,3 1 0.050

故拟合曲线为 y 0.973 0.05

x

2

练习五

1． 试确定下面求积公式

1

1

f(x)dx C[f(x0) f(x1) f(x2)]

使其具三次代数精度.

解：要公式有3次代数精度，需有

C(1 1 1) 1dx 2

1

1

C(x x x) xdx 0012 1

122222

C(x0 x1 x2) xdx

13

1 333

C(x0 x1 x2) x3dx 0 1

解得：C

2,x0 0,x1 x2 32f(x)dx [f(0) f f( 1

31

故求积公式为

2． 设f (x) ∈C [a,b]，则计算

_______________。

b

a

f(x)dx的复化梯形公式是_______阶收敛的，其代数精度为

3． 在区间[a,b]上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及代数精度.

解：

b

a

f(x)dx (b a) Bnf(a nh)

n 0

N

Bn

( 1)

N[n!(N n)!] 0

N n

N

i 0,i n

N

(t i)dt

7162,B1 ,B2 904515

167,B4 B0 又Bn BN n 故B3 B1 4590

当N 4时，有求积公式 b1464246414f(x)dx hf(x) hf(x) hf(x) hf(x) hf(x4) （＊） 0123 a

4545454545b a

,xi a ih,i 1,2,3,4 其中h 4

当N 4时，B0

f(4 1)( )4

由Lagrange差值定理有：R4(f,x) (x xi)

(4 1)!i 0

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