概率第四章教材习题选解07.08.27Microsoft_Word_文档

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1 第四章习题4－1

1．甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为???

? ??1.02.03.04.03210~X ；???

? ??02.05.03.03210~Y 若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好? 解：平均每日次品较少者为好，即数学期望较少者为好.

显然，()11.032.023.01=?+?+?=X E ，()9.02.025.01=?+?=Y E ，因为()()Y E X E >，所以可以认为机器乙的平均日次品量较少，故较好.

2．设X 的分布律为?????

? ??-41121616

13121210

1~X ，求（1）)(X E ；（2） )1(+-X E ；（3） )(2X E . 解：（1）()3

14126121311)(=?+?+?

-=X E ；（2）()()()()3241121211161103111)1(=?+-+?+-+?++?+=+-X E ；（3）()243541212116121311)(222

22=?+?+???? ??+?-=X E . 3．设随机变量),(Y X 的联合分布律为：()()()()()???? ?

?1.04.02.03.01,10,11,00,0~,Y X .求)(X E ，)(Y E ，)2(Y X E -，)3(XY E .

解：容易求得???

? ??5.05.010~X ，???? ??3.07.010~Y ，则 ()5.05.015.00=?+?=X E ；()3.03.017.00=?+?=Y E ；

()()1.03.025.02)2(-=?-=-=-Y E X E Y X E ；

()3.01.01133)3(=???==XY E XY E .

4．把4个球随机放入4个盒子中去，设X 表示空盒子的个数，求)(X E . 解：设()4,3,2,1,0,1=??

?=i i i X i 个盒子有球第个盒子为空盒第，则i X ()4,3,2,1=i 相互独立，同分布，且

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∑==4

i i X X ，()4431???

??==i X P ，()4

4310??? ??-==i X P ()4,3,2,1=i .

即，???

??? ????

??-444343110~i X ()4,3,2,1=i . 故，6481434)(4

41=???

???=??

? ??=∑=i i X E X E .

5．设连续型随机变量X 的概率密度为???<<=，

其他.,

0,)(x kx x f α其中0,>αk 又已知75.0)(=X E ，求α,k 的值.

解：由题意，

)(1

0=+=

=??+∞

∞

-ααk

dx x k dx x f ， 75.02

)()(1

=+=

??++∞

∞

-ααk

dx x k dx x xf X E . 解之可得：3=k ，2=α.

6．设随机变量X 的分布函数?????<≥-=,,0,

,1)(33

a x a x x

a x F 其中0>a ，求)(X E . 解：因为?????<≥='=a

x a x x a x F x f ,0,3)()(43，所以a x dx a dx x xf X E a a 233)()(33

===??+∞

+∞.

7．设随机变量1X 和2X 的概率密度分别如下: ???≤>=-，

.0,

,2)(21x x e x f x X ???≤>=-，

.0,

00,4)(42

x x e x f x X （1）求)(21X X E +，)32(2

21X X E -；（2）设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E .

解：（1）()()??

+∞

-+∞

-+=+=+040

2212142)(dx xe dx xe

X E X E X X E x x

()()4

+-+-=--=????+∞

-∞

+-+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-dx e xe

dx e

e xd e

xd x x x

x x

；

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()()??+∞

-+∞--=-=-0420

222

122

16432)32(dx e x dx xe

E X E X X E x x

(

)

(

)????+∞

-+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-+++-=+-=0

420

232

222

32dx xe e x dx e

d x e

xd x x

x x

；（2）当1X ，2X 相互独立时，()()????

?????? ??==??+∞-+∞-0402212142)(dx xe dx xe X E X E X X E x x

()

810

2=???

? ?

+-???? ?

+-=???? ??-???? ??-=????+∞

-∞+-+∞

-+∞

-dx e

xe dx e

xe e xd e xd x

x x

x x x

. 8．某车间生产的圆盘直径服从均匀分布),(b a U ，求圆盘面积的期望.

解：设圆盘直径为X ，则由题意可知：??

???<<-=其他,0,1)(~b

x a a b x f X .

显然，圆盘的面积为4222

X X S ππ=??

??=.

故，()()()()

1244

b ab a

dx x a b X

E S E b

++=-==

?π

9．设),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线01=++y x 所围成的区域.求（1）)(X E ；(2）)23(Y X E +-；（3）)(XY E .

解：由题意，()()?

?∈=其他,0,,2),(~,A

y x y x f Y X

（1）?????------===

010

222)(

xdy dx xdxdy X E x

x A

()313121

2120

1320

-=??? ??+=+=--?x x dx x x .

（2）()()()

?????-------=-=-=+-0

012

0101

32322322

)23(dx xy

dy x y dx dxdy x y Y X E x

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()

312534215420

1230

2=???

??++-=++-=--?x x x dx x x .

（3）()??????-------+-====0

0120101

122

)(dx x x dx xy

xydy dx xydxdy XY E x

6121324

1234=??? ??++-=-x x x .

10．设X ，Y 相互独立，且服从)1,0(N 分布，试求)(22Y X E +.

解：由题意，()()()

2221

21,~,y x e

y x f Y X +-=π

，则()

dr e

d dxdy e

y x Y X E r y x ????

+∞

-+∞∞-+∞

∞

-+-

22221

)(πθπ

??∞

+∞

∞

+-∞

+-+∞

-∞

+-=

=+-=???

? ??-=dr e

dr e

e rd r r r r r 2

021

22222212

2212π

ππ

11．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量,它在[]4000

,2000(单位:吨)上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇3万美元，如销售不出而积压，则每吨

需要保养费1万美元，问应该组织多少货源,才能使平均收益最大?

解：设准备a ()4000

2000≤≤a 吨这种商品，Y 为收益，则收益函数为： ??

?<--≥==a X X a a a X a X R Y ),(3,3)(，又??

???<<=其他,040002000,20001)(~x x f X ，则 []

.)3500(8250001000

320001

)4(20001)(20001)()()(24000

200040002000--=

+-===????+∞∞-a adx dx a x dx x R dx x f x R Y E a

故，当3500=a 时，可使平均收益值达到最大.

12．设某产品每周需求量为Q ，Q 的可能取值为1，2，3，4，5(等可能取各值)，生产每件产品成本是31=C 元，每件产品售价为92=C 元，没有售出的产品以每件13=C 元的费用存入仓库，问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大.

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5 解：设每周的产量为x ，则利润函数为：???≤--->-==x

Q Q x x Q x Q x Q g L ),(39,)39()( ???≤->=x

Q x Q x Q x ,410,6.由题意，()()5,4,3,2,151~===k k Q P Q ，于是期望利润为： ()()()()∑∑∑∑=+=≤>-+=≤?-+>?=x k x k x k x k x k x x Q P x k x Q P x L E 1

15410564106 ()[]()()x x x x x x x x x k x x k x k 53315411556542562151+-=--+++-?=??? ??-+=∑∑=+=. 令()3.305

332=?=+-=x x L E dx d ，则当产量为3或4时，期望的利润最大. 13．若有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁,用它们去试开门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的，若每把钥匙试开一次后除去，求试开次数X 的期望. 解：由题意，试开次数X 的分布列为：()()n k n k X P X ,,3,2,11~ ==

=. 故，()()2

11321+=?++++=n n n X E . 14．将n 只球放入M 只盒子中去，设每只球落入各盒子是等可能的，求有球的盒子数X 的数学期望.

解：引入随机变量()M i i i X i ,,2,1,0,1 =???=个盒了中无球

第个盒子中有球第，则∑==M i i X X 1.

()n i M M X P ??? ??-==10，()n

i M M X P ??

? ??--==111，()M i ,,2,1 =. 即，????? ????? ??--??? ??-n n i M M M M X 11110~ ，()M i ,,2,1 =. 故，()???

???????? ??--=??? ??=∑=n M i i M M M X E X E 111. 习题4－2

1．设随机变量X 的方差0)(>X D ，引入新随机变量(称为标准化的随机变量))()

(X D X E X X -=*.验证:0)(=*X E ，1)(=*

X D .

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6 证明：()()()

()()()()()[]011)(=-=-=???? ??-=*X E X E X D X E X E X D X D X E X E X E ， =*)(X D ()()()()()()()[]1112==-???

? ??=???? ??-X D X D X E X D X D X D X E X D . 2．设随机变量X 服从参数为λ的松泊分布)0)(>λ且已知[]2)3)(2(=--X X E ,求λ的值.

解：因为随机变量X 服从参数为λ的松泊分布)0)(>λ，所以()λ=X E ，()λ=X D . 又因为[]()()

()6565)3)(2(22+-=+-=--X E X E X X E X X E ()()()2646522=+-=+-+=λλX E X E X D ，所以0442=+-λλ，故2=λ.

3．设),(~p n b X ，4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，求n 和p .

解：因为),(~p n b X ，所以()4.2==np X E ，44.1)(==npq X D ，解之得：6=n ，5

2=p . 4．设X 为随机变量，C 是常数,证明[]2)()(C X E X D -<.（对于)(X E C ≠.由于

[]2)()(X E X E X D -=，上式表明[]

2)(C X E -当)(X E C =时取最小值）. 证明：因为[]()()

()2222222)(C X CE X E C CX X E C X E +-=+-=- ()()()()()()X D X E C C X CE X D X E +-=+-+=2222，所以当)(X E C ≠时，有

[]2)()(C X E X D -<.故当)(X E C =时，[]2)(C X E -取到最小值()X D .

5．若X 和Y 独立，证明)())(()())(()()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=. 证明：因为()()XY E Y X E XY D 2

22)(-=，且X 和Y 独立，所以 ()()()()

()()Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D 2222222)(-=-=.

又因为)())(()())(()()(22X D Y E Y D X E Y D X D ++ ()()()()()()()()()()()()()()X E X E Y E Y E Y E X E Y E Y E X E X E 2222222222-+-+--=

()()()()()()()()()()2222222222Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E ++--=

()()()()()()=--+-X E Y E X E Y E Y E X E 222222()()()()Y E X E Y E X E 2222-，

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7 故)())(()())(()()()(22X D Y E Y D X E Y D X D XY D ++=.

6．一台设备由三大部分构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为1.0，2.0，3.0，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望)(X E 和方差)(X D .

解法（一）：设事件i A “第i 个部件需要调整”，3,2,1=i .依题意321,,A A A 相互独立，且()1.01=A P ，()2.02=A P ，()3.03=A P .显然X 的取值为：3,2,1,0.

()()()()()

504.00321321==??==A P A P A P A A A P X P ，

()()()()3213213211A A A P A A A P A A A P X P ??++??== 398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0=??+??+??=，

()()006.03.02.01.03321=??===A A A P X P ，

()()()()092.0006.0398.0504.0131012=---==-=-=-==X P X P X P X P .

故，X 的概率分布为：???

? ??006.0092.0398.0504.03210~X . 于是，()6.0006.03092.02398.01504.00=?+?+?+?=X E .

()82.0006.09092.04398.012=?+?+?=X E ，()()

()46.022=-=X E X E X D . 解法（二）：令随机变量()3,2,1,0,1=?

??=i i i X i 个部件不需调整第个部件需调整第，则321,,X X X 相互独立，且=X 321X X X ++.

由于，321,,X X X 分别服从参数为1.0，2.0，3.0的0-1分布，所以有

()1.01=X E ，()2.02=X E ，()3.03=X E ；

()09.01=X D ，()16.02=X D ，()21.03=X D .

故，()()6.031==∑=i i X E X E ，()()46.031

==∑=i i

X D X D . 7．随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为??

???≤>=-，,0,00,)(2222x x e x x f x

σσ其中0>σ是常

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8 数，求)(X E ,)(X D .

解：利用Γ函数为性质：()()k k k Γ=+Γ1，且()?+∞

--=Γ0

1dx e x n x n ，当k 为正整数时，

()!1k k =+Γ，并且π=??

? ??Γ21. 221222322)(02120

22222πσσσσσσσ=??? ??Γ=??? ??Γ=====?

=??∞+-=∞

+-dt e t dx e x x X E t t x x . 因为()()220

220222222222

222

σσσσσσ=Γ=====?=??∞+-=∞+-dt te dx e x x

X E t t x x ，所以()()()??? ??-=???

? ??-=-=222222

222πσπσσX E X E X D . 8．设随机变量X 服从几何分布，其分布律为{} 2,1,)1(1=-==-k p P k X P k ,其中10<

解：()()

()[]()p k k k p k k k k p p p p p kp k X kP X E '??

????--='-=-===∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=11111111)( ()

[]()p p

p p p p p p p p p p k p k p 11111221=?=---?-='-='???? ??--=∑∞=. ()()()()()()??????---+=-===∑∑∑∑∞=∞=--∞

=-∞=1111112

1221111k k k k k k k p k p k k p p p k k X P k X E

()231121211p p p p p p p p p k k -=-?=-"??

????-=∑∞=+，则()()()22222112p

p p p p X E X E X D -=--=-=. 9．设),(Y X 的概率密度为???≤≤≤=

,010,15),(2x y xy y x f ，求)(X D ，)(Y D . 解：因为()????==

+∞∞-+∞∞

-x dy y x dx dxdy y x xf X E 0

221015),( 655510510032===??dx x dx y x x ，所以 x

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()[]{}

dx xy x dy xy x dx X E X E X D x

?????? ??-=??? ??-=-=1

022

102

6556515)(

25256551

042

=??? ?

-=?dx x x .

同理，()8541541515),(1

510040310=====??????+∞∞-+∞∞-dx x dx xy dy xy dx dxdy y x yf Y E x

x ，所以()[]

{

}

????? ?

-=-=x

dy xy y dx Y E Y E Y D 022

102

8515)(

448171922516551

156********

0034502341

0=??? ?

?+-=??? ??+-=???dx xy xy xy dy xy xy xy dx x

10．设随机变量X ，Y 相互独立，它们的密度函数分别为：

???≤>=-，,0,0,0,2)(2x x e x f x X ??

?≤>=-，,

4)(4y y e y f y Y 求)(Y X D +. 解：因为随机变量X ，Y 相互独立，所以()()Y D X D Y X D +=+)(. 又因为()()???

+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-+-=-==0

22dx e xe

xd dx xe

X E x x x

，

()21122102=+-=+∞

-x e x ，

()()2

220

222

+-=-==???+∞

-∞

+-+∞

-+∞-dx xe e

x e

d x dx e

x X

E x x x

，故()()()4

41212

=-=-=X E X

E X D .

而()()

()4114440

4040

4=+-=+-=-==+∞

-+∞

-∞

+-+∞

-+∞

-???

y e dy e ye

e yd dy ye

Y E y y

y y y

， ()(

240

420

422

+-=-==???+∞

-∞

+-+∞

-+∞-dy ye e

y e

d y dy e

y Y

E y y y

，故()()()16

161812

=-=-=Y E Y

E Y D .

于是，()()16

516141)(=+=

+=+Y D X D Y X D . 11．（1）设随机变量4321,,,X X X X 相互独立，且有,

4,3,2,1,5)(,)(=-==i i X D i X E i i

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设43212

32X X X X Y -

+-=，求)(),(Y D Y E ; （2）设随机变量X ，Y 相互独立，且)30,720(~2N X ，)25,640((~2N Y ，求

Y X Z +=21，Y X Z -=2的分布，并求概率{}Y X P >，{}1400

>+Y X P . 解：（1）()()()()()742

3321221324321=?-?+-?=-

+-=X E X E X E X E Y E ， ()()()()()4

140

1412934441944321=?+?++?=+++=X D X D X D X D Y D .

（2）由于相互独立的正态分布的随机变量的线性组合仍为正态分布，则Y X Z +=21仍服从正态分布，且()()()2080640270221=+?=+=Y E X E Z E ，()()()Y D X D Z D +=41

26542256259004==+?=，即()

2165,2080~N Z .从而

同理，()()()806407202=-=-=Y E X E Z E ，()()()15252=+=Y D X D Z D ，

所以()1525

,80~2N Z .从而()()1525,80~N Y X -. {}()()()9798.01525801525800100=???

??Φ=???? ??-Φ-=-∞+=>-=>F F Y X P Y X P .

又因为()()1525

,1360~N Y X +，所以{}()()14001400F F Y X P -∞+=>+ ()1539.08461.01024.111525136014001=-=Φ-=????

?-Φ-=.

12．五家商店联营，他们每两周售出的某种农产品的数量（以kg 计）分别为：

54321,,,,X X X X X ，已知: )225,200(~1N X ，)240,240(~2N X ，)265,260(~4X ，

)270,320(~5X ，54321,,,,X X X X X 相互独立，

（1）求5家商店两周的总销量的均值和方差；（2）商店每两周进货一次，为了使新的供货到达商店前不会脱销的概率大于99.0，问商店的仓库应至少储存多少kg 的该产品?

解：（1）设X 表示五家商店的总销售量，则∑==

i i

X .

()()12003202601802402005

=++++==∑=i i X E X E ，

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()()12252702652252402255

=++++==∑=i i X D X D .

即，均值和方差人别为1200千克和1225千克.

（2）设商店的仓库应至少储存y 公斤产品，求使得()99.00≥>-x y P 的y ，又

()

235,1200~N X ，故()()99.0351200≥??

??-Φ==≤y y F y X P .

查表得：

33.235

1200

≥-y ，即55.128133.2351200=?+≥y ，故商店的仓库应至少储存1282公斤该产品.

13．设随机变量X 的密度函数为1

)(-+-=

x x

e x

f π

，求)(X E ，)(X D .

解法（一）：()()dt e dt e

t dx xe

dx x xf X E t t t

x x ????+∞

∞

--+∞

∞

----+∞

∞

---+∞

∞

+===

)()(11π

1212

===

??∞

+∞

--∞

+∞

dy e

y y y t π

，

同理，()

()???+∞

∞----+∞

∞

---+∞

∞

-+===

dt e

t dx e

x dx x f x

X E t t

x x 2

1122

211

)()(π

，

()

???+∞

∞

--+∞

∞

--+∞

∞

--+∞

∞

---

t t t e td dt e dt te dt e t π

??+∞∞

--+∞∞

--+∞

∞

--+

=dt e

dt e

t t t

2112121

1π

321121

2112

===??∞

+∞--∞

+∞--

dy e dy e

y y y t ππ. 故()()21123)(2

2=-=-=X E X E X D .

解法（二）：

因为()()()2

2212111

221

2211

221

)(σμπ

σππ

???

???--

---+-=

? ??=

x x x x x

e e x f

其中：1=μ，2

σ，所以由正态分布下的密度函数结构可知：()1=X E ，()2

X D .

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12 14．在每次试验中，事件A 发生的概率为5.0，利用切比雪夫不等式估计在1000次试验中，事件A 发生的次数在400至600之间的概率.

解：设X 为“在1000次试验中，事件A 发生的次数”，则()5.0,1000~B X .

于是，()5005.01000=?==np X E ，()2505.05.01000=??==npq X D .

由切比雪夫不等式，知()()()()

100100500600400≤-=≤-=≤≤X E X P X P X P ()975.0100002501100

12=-=-

≥X D . 即，在1000次试验中，事件A 发生的次数在400至600之间的概率至少是975.0. 15．设随机变量X 概率密度为?????≤>=-,

00!)(x x m e x x f x m ，试利用切比雪夫不等式证明：1

)1(20(+≥+<

Γ01dx e x x αα，且α为正整数时，()()!1-=Γαα. ()()12!1!0

1+=+Γ==?+∞-+m m m dx m e x X E x m ，()()()()213!12++=+Γ=m m m m X E ，故()()()12

2+=-=m X E X E X D . 于是，由切比雪夫不等式可知：

()()()()1

111)1(20(2+=++-≥+<+-=+<

1．随机变量),(Y X 的分布律为：

验证: 和是不相关的，但和不是相互独立.

证明：容易求得???? ??-375.025.0375.0101~X ，???? ??-375.025.0375.0101~Y ，

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13 ???

? ??-25.05.025.0101~XY . 故()025.015.0025.01=?+?+?-=XY E .

于是，()()()()

()()0,=-=Y D X D Y E X E XY E Y X ρ，即X 和Y 是不相关的.

显然，)2(1)1(111375.0375.025.0p p p =?≠=，X 和Y 不是相互独立.

2．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 有相同的概率分布，记Y X U +=，

Y X V -=证明：0=UV ρ.

证明：因为()

()()V D U D V U UV ,cov =ρ，而()()Y X Y X V U -+=,cov ,cov

()()()()()()Y Y Y X Y X X X Y Y X X Y X ,cov ,cov ,cov ,cov ,cov ,cov --+=+-+=，考虑到随机变量X 和Y 相互独立，同分布及协方差的性质，可得：

()()()0,cov =-=Y D X D V U .

故，()

()()0,cov ==V D U D V U UV ρ.

3．设二维随机向量),(Y X 在由x 轴，y 轴及直线02=-+y x 所围成的区域G 上服从均匀分布，求X 和Y 的相关系数XY ρ.

解：由题意，可知()()?????∈=其他,0,,21),(~,G y x y x f Y X .

于是，()????-==x G xydy dx xydxdy XY E 20

202121 ()()

???+-=-==-202320220202

444124141dx x x x dx x x dx xy x 31623441412

0234=??? ??+-=x x x . 同理，()()??????-====--20202020

202212121

21dx x x dx xy xdy dx xdxdy X E x x G x

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14 3231212

032=??? ??-=x x ； ()()??????-====--20220202

20241412121dx x dx y ydy dx ydxdy Y E x x G 3

24231412023=??? ??+-=x x x . 于是，()()()()944943163232316,cov =-=?-=

-=Y E X E XY E Y X . 而()()??????-====--2022020220

22022221212121dx x x dx y x dy x dx dxdy x X E x x G 3

24132212043=??? ??-=x x ； ()()??????---====--20320203

22022)2(261612121x d x dx y dy y dx dxdy y Y E x x G ()3

22241204=

--=x ；且()()()3232322

22=??? ??-=-=X E X E X D ，()()()323232222=??? ??-=-=Y E Y E Y D ，故，()()()

3223

2944,cov ===y D x D Y X XY ρ. 4．设随机变量),(Y X 服从单位圆上的均匀分布，验证: X 和Y 是不相关，并且X 和Y 也不独立.

证明：由题意，可知?????≤+=其他

,01,1),(~),(22y x y x f Y X π，则?+∞∞-=dy y x f x f X ),()(

?????≤≤--=??

???≤≤-=?---其他其他,011,12,011,121122x x x dy x x ππ. 由X 和Y 的对称性，同理可得??

???≤≤--=其他,011,12)(2y y y f Y π.

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()012

2=-?

=?-dx x x X E π

，同理，()012

2=-?

=?-dy y y Y E π

而()0sin cos 1

201

===

????≤+dr r

d xydxdy XY E y x θθθππ

π，

则()()()()

0,cov ,==

Y D X D Y X Y X ρ，即X 和Y 是不相关.

另一方面，当122=+y x ，1≤x ，1≤y 时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 和Y 也不独立.

5．设随机变量),(Y X 具有密度函数???<<<=,

10,,1),(其他x x y y x f ，

试求:)(X E ，)(Y E ，),cov(Y X . 解：()

2),(1

===

?????-+∞-+∞

∞

-dx x xdy dx dxdy y x xf X E x

； ()0),(10

===

????-+∞-+∞

∞

-x

ydy dx dxdy y x yf Y E ；

由区域的对称性及函数的相对奇偶性可知：

()01

==??-x

xydy dx XY E ；

故，()()()0),cov(=-=Y E X E XY E Y X . 6．设随机变量X 密度函数为+∞<<-∞=

-x e x f x

1)(，（1）求)(X E ，)(X D ；（2）求),cov(X X ，并问X X ,是否不相关？（3）X X ,是否相互独立，为什么?

解：（1）02)()(==

??+∞

∞

--+∞

∞

-dx e x dx x xf X E x

（由奇函数在对称区间上的性质可知）； ()()()2!2)3()()(0

==Γ====-=??+∞

-+∞

∞

-dx e

x dx x xf X E X E X

E X D x

（2）由于()

()()0)(),cov(==?-?=?+∞

∞

-dx x f x x X E X E X X E X X ，故()0,=X X ρ，

即X X ,是不相关的.

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16 （3）若X X ,是相互独立的，则它们所表示的事件也是独立的；反之，若以X 和X 所表示的事件不独立，则变量X 和X 也不独立.

对于任意正实数()+∞<

a X <包含于事件()a X <之中，且()10<<

7．设随机变量Z Y X ,,满足: 1)()(==Y E X E ，1)(-=Z E ，1)()()(===Z D Y D X D ，0=XY ρ，2

1=-=YZ XZ ρρ，试求：)(Z Y X E ++，)(Z Y X D ++. 解：()()()1111)(=-+=++=++Z E Y E X E Z Y X E ；

()()()Z Y X Z D Y X D Z Y X D ,cov 2)(++++=++

()()()()()()Z Y Z X Z D Y X Y D X D ,cov 2,cov 2,cov 2+++++=

()()()()()()()()()Z X Z D X D Z D Y X Y D X D Y D X D ,2,2ρρ++++= ()()()Z Y Z D Y D ,2ρ+

321112211121011211=??

? ??-???+???++???++=. 8．设随机变量Y X ,分别服从)10(-分布,证明：X ,Y 相互独立等价于X ,Y 是不相关.

证明：设()110~1111

=+???? ??q p p q X ，()110~2222=+???? ??q p p q Y ，则当Y X ,相互独立时，因为)2()1(j i ij p p p =，所以其的联合分布列为：

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17 此时，()()()()0,cov 2111=-=-=p p p p Y E X E XY E Y X ，从而()0,=Y X ρ，故X ,Y 是不相关的.

当X ,Y 不相关时，()()()()0,cov =-=Y E X E XY E Y X ，即()()()Y E X E XY E =. 显然，XY 的取值为：1,0，且

()()()1,11=====Y X P XY P XY E ，()()()()2111p p Y P X P Y E X E ====，即()1,1==Y X P ()()11===Y P X P ；

而()()()()()()1111,111,0==-====-====Y P X P Y P Y X P Y P Y X P

()()[]()()01111====-==X P Y P X P Y P ；

即()===1,0Y X P ()()01==X P Y P ；

同理可证明：

()()()000,0=====Y P X P Y X P ；

()()()010,1=====Y P X P Y X P .

综上：当X 和Y 不相关时，X 和Y 必定相互独立.

习题4－4，5

1．设随机变量X 在区间),(b a 内服从均匀分布，求k 阶原点矩和三阶中心矩.

解：因为()b a U X ,~，所以??

???<<-=其他,0,1)(~b x a a b x f X .

从而()()()()

k k k k k k b a k k k b ab b a a k a b k a b dx x a b X E +++++=-+-=-==--++?11111111 μ. ()[]{}???? ??+-??? ?

?+--=????????????????+-=-=b a b a x d b a x a b b a X E X E X E v 22123333 ()02414=??? ??+--=b a

b a x a b .

2．已知二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，12),cov(=Y X ，求),(Y X 的概率密度.

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解：由题意，得()

ρσσ

μμ;,,,~),(222121

Y X ，且021==μμ，1621=σ，2522=σ，

()()()2401254,cov =??==Y X Y D X D ρ.

()

()()()()???

????-+------

22221211212121

121),(~),(σμσσμμρσμρσπσy y x x e

y x f Y X ??

? ??+--

2550316322522321

y xy x e π

3．二维随机变量),(Y X 的密度函数为[])()(2

),(21y x y x y x f +++=

??，其中)(1y x +?和)(2y x +?都是二维正态分布的概率密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别是

31和3

-，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1，(1)求随机变量X 和Y 密度函数)(1x f 和)(2y f 以及X 和Y 的相关系数ρ；（2）问X 和Y 是否相互独立?为什么?

解：（1）由题意：),(),,(21y x y x ??是服从正态分布的密度函数，即()),(~,1y x V U ?；

()),(~,2y x T S ?.

112

21),()(x e

dy y x x U

+∞

∞-=

=?π??；2

11221),()(y e

dx y x y V -

+∞

∞

?π??.

22221),()(x e

dy y x x S

-+∞

∞

=?π

??；2

22221),()(y e

dx y x y T -

+∞∞

?π

??.

从而，??

????

+==???+∞

∞-+∞∞

-+∞

∞-dy y x dy y x dy y x f x f X ),(),(21),()(21??

[]

22122

22121

2121)()(21x x

x e

e e y x S U -

--=???

??+=+=π

ππ

??.

同理，2

221),()(y Y e

dx y x f y f -

+∞

∞

-?=

即，),1,0(~),1,0(~N Y N X 可见.1)()(;0)()(====Y D X D Y E X E

()??+∞∞-+∞

∞

===

dxdy y x xyf XY E Y X Y D X D Y X XY ),()(),cov()()(,cov ρ；

()()()

()()()()()??+∞∞-+∞

∞

=-===

dxdy y x xy UV E V E U E UV E V U V D U D V U UV ),(,cov ,cov 1

?ρ；

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19 ()

()()

()()()()()??+∞∞-+∞∞-==-===dxdy y x xy ST E T E S E ST E T S T D S D T S ST ),(,cov ,cov 2?ρ.

??????+==??????+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-dxdy y x xy dxdy y x xy dxdy y x xyf XY ),(),(21),(21??ρ []ST UV ρρ+=21.0313121=??

? ??-= 故， X 与Y 不相关，它们没有线性关系. （2）()()()???????????? ??-+---???? ??----=222212121121212211121

),(σμσσμμρσμρρ

σπσ?y y x x e y x ??

? ??+--=2232169243

y xy x e π. 同理，??? ??+--=22321692243

),(y xy x e y x π?.

于是，;283),(22223216932169???

?????+=??? ??+--??? ??+--y xy x y xy x e e y x f π而22221)()(y x Y X e y f x f +-=π. 即，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，于是X 和Y 不独立.

4．（1）设2)3(Y aX W +=，0)()(==Y E X E ，4)(=X D ，16)(=Y D ，5.0-=XY ρ，

求常数a 使)(W E 为最小，并求)(W E 的最小值；

（2）设),(Y X 服从二维正态分布，且有22)(,)(Y X Y D X D σσ==证明当222

Y X a σσ=时随机变量)(aY X W -与)(aY X V +相互独立.

解：（1）因为()()()()XY aE Y E X E a aXY Y X a E W E 6969)(2

22222++=++= ()()[]()()[]

()()()[]Y E X E Y X a Y E Y D X E X D a +++++=,cov 69222 ()()()()425.061444,6144422??-?++=++=a a Y D X D Y X a a ρ ()108341442442

2+-=+-=a a a ，所以当3=a 时，)(W E 为最小，其最小值为108.

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（2）()()Y X a Y aE X E W E μμ-=-=)(，()()()Y X a Y aE X E V E μμ+=+=，

()()()()()Y X Y X Y X a a Y X a Y D a X D W D σσρσσ,2,cov 22

222-+=-+=， ()()()()()Y X Y X Y X a a Y X a Y D a X D V D σσρσσ,2,cov 22222-+=-+=， ()()()()()()()

22222222Y X Y D a X D Y E a X E Y a X E W V E μμ+-+=-=-= 2

22222Y

Y X X a a μσμσ--+=， ()()()()=-=V E W E W V E V W ,cov ()()Y Y X X Y Y X X a a a a μμμμμσμσ-----+2

22222 2

22Y

X a σσ-=. 由于()V W ,服从二维正态分布，W 与V 相对独立的充分必要条件是W 与V 不相关，即

()0,cov =V W ，则022

2=-Y

a σσ，从而22

a σσ=.

5．设),(Y X 服从二维正态分布，且)3,0(~N X ，)4,0(~N Y ，相关系数4

1-=XY ρ，试写出X 和Y 的联合概率密度.

解：由)3,0(~N X ，)4,0(~N Y ，41-

=XY ρ，得??? ?

-41;4,3,0,0~),(N Y X ，从而其联合密度函数为： (

)

()()???

???????

??-+---???

? ??----=

22221212

112121

21121),(σμσσμμρσμρρ

σπσy y x x e

y x f

+∞<<-∞=

???=

???

??++-

?????

? ?

+?+??? ??--

y x e

y xy x y xy x ,,5

3116

112321

434315843

24123161121

2222ππ.

6．设随机变量),(Y X 服从二维正态分布，其概率密度为：

-+-+-=22

)1(21)1(3221),(y y x x e

y x f π

，求（1）)(),(y f x f Y X ；（2）)(X E ，)(Y E ，)(X D ，

)(Y D ；（3）),cov(Y X ，XY ρ.

解：当()

ρσσ

μμ;,,,~),(22212

Y X 时，X 和Y 的边缘分布均是正态分布，且

()211,~σμN X ，()

2,~σμN Y .

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又因为(

)

()()???

???

????

??-+---???? ??---

22221212

112121

21121),(σμσσμμρσμρρ

σπσy y x x e

y x f

-+-+-=22

)1(21)1(3221y y x x e π

()()????

??????? ??-+?--???? ??-?-??? ??-?

???

? ?????? ??---

???

??--???=

2222121102321023

121

2312121

y y x x e

π.

故，01=μ，12=μ，11=σ，22=σ，()2

=Y X ρ. （1）()()1,0,~21

N N

X =σμ，2

221)(x X e

x f

；()()2

2,1,~N N

Y =σμ，

()8

221)(--

y Y e

y f π

（2）=

)(X E 01=μ；=)(Y E 12=μ；=)(X D 11=σ；=)(Y D 22=σ.

（3）因为()2

=Y X ρ，所以()()()3,),cov(-==Y D X D Y X Y X ρ. 7．),(Y X 服从二维正态分布，其概率密度函数为：

()+∞<<∞-?=

???

??+-y x e

y x f y x ,1021

),(22221010212

π，求{}Y X P <.

解：{}???∞

+-∞

??--==<0200

200

20022

d e dr re d Y X P r r πθππ2

200

-=+∞

-r e

第四章总习题

1．某流水生产线上每个产品不合格的概率为)10(<

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