2012年芜湖第八届高校数学建模竞赛本科B题优秀论文

编号 ：B29

2012年芜湖高校数学建模竞赛

参赛队伍选择的题号 : _____B

参赛队员

题目 中国未来养老金系统的风险分析

摘 要

我们队通过建立Leslie矩阵人口模型，分析不同年份各年龄段人口总量的变

化，从而预测我国未来的人口总量以及老年人口比例的变化。对于问题二，参照

中国已公布的历年养老金规模，利用精算模型预测未来养老金规模。对于问题三，

由于需结合不同水平的通货膨胀率综合考虑，因水平所限，此题放弃

关键词： Leslie矩阵模型 人口总量 年龄结构

养老金规模 精算模型 养老金规模预测

一、问题重述

问题一

中国是一个人口大国，人口的数量，性别比例、年龄结构比例等对国家经

济及社会发展的各个方面有着巨大的影响。分析一个国家人口发展趋势，离不开

现在与今后各类人口年龄结构、性别比例和人口数量等因素，传统的Malthus人

口模型和Logistic模型没有综合考虑这些因素，故我们队通过建立Leslie人口模

型从而预测我国未来的人口总量，以及老年人口比例。Leslie人口预测模型能较

全面的考虑到印象人口总量与结构的各种主要因素，因而提高了人口预测的准确

性和可信度。

问题二

中国现行的养老金制度是一种社会统筹与个人账户相结合的“统账结合”

模式。多年来，各地为了保证当期养老金的顺利发放，借助统筹账户与个人账户

的“混账”管理，不断透支个人账户，使个人账户空账的规模迅速扩大。截止

2010年底，中国个人账户记账额1.9万亿元，其中做实账户仅2039亿元，等于

1.7万亿元的缺口。养老基金赤字问题已严重影响中国的经济可持续发展。我们

队根据中国统计年鉴2011公布的历年养老金规模，通过建立精算模型预测未来

二十年的养老金规模。

问题三放弃

问题四

二、基本假设

假设一：中国未来四十年内不发生战争；

假设二：中国继续实施当前的计划生育政策；

假设三：男女退休年龄分别为60岁和55岁。职工参保年龄最小为20岁，最大

为30岁；

假设四： 参保人口最大存活年龄为100岁；

三 符号说明

问题一

n: 将人口按年龄划分为n个级别；

fi: 第i年龄级上的个体在一年内的繁殖率，i=1,2……,n;

X(t): 第t年时，反映各年龄级人口分布的列向量；

xi(t): 第t年时，第i年龄级上的个体数量；

Pj: 第j年龄级上的个体在一年内的存活率，j=1,2……,n-1;

Pj=1-第t年内，第i年龄级的死亡人数/第t年内，第i年龄级的人口数；

bi 第i年龄级上的妇女的年生育率，i=1,2……,n;

ωi : i岁人口的女性比例。

问题二

L2012 ,x : 2012年x岁已退休人员的人数；

r : 规定的退休年龄；

ω：存活的最大年龄：

Bx :2012年x岁的已退休人员所领取的平均养老金；

ax : 2012年已退休的x岁的人员未来每年在年初支付的初始养老金为1元

的递增年金精算现值；

i1 : 养老金增长率；

i : 贴现率 ；

fx : 2012年x岁在职人员退休后第一年的养老金替代率水平；

ω2012+r-x-1 : 2012年x岁在职人员退休前一年的职工平均工资；

ar : 在职人员退休后在年初支付的初始退休金为1元的递增年金精算现值；

QX: x岁新参保人员的平均缴费指数；

nx : x岁新参保人员的缴费年限；

ω1 ，ω2，……., ωn ：x岁新参保人员未来每年的缴费工资；

ωt+r-x-1 : t年x岁新参保人员退休前一年的职工平均工资。

四 模型的建立和求解

1. 问题一的建模和求解

①由Leslie矩阵

并令fi=ωi（t）bi(t) ,

通过以上变换，得到人口预测模型的矩阵简化式为：

LX(t)=X(t+1) ;

并得到与矩阵模型等价的联合方程为：

②leslie矩阵参数确定

pi的确定

t+1年i+1岁人口为：

所以，在封闭的系统里，第i年龄级上的存活率为：

fi的确定

第t年i岁女性平均生育婴儿数为bi(t), 生育区间为[ i1 i2] , ωi(t)为第t

年i岁人口中的女性比例。从而第t+1年的新生人口为：

③. 测算结果与分析

我们队通过中国统计年鉴2011中公布的历年中国人口数及构成等资料，

利用leslie人口预测模型，对相关数据作进一步处理，整理后得到未来城市，城

镇，乡村总人口的预测值，以及老年人口比例的预测值。具体数据见表1，图1，

图2。

表1 单位： 亿

各年总人口预测 图1

老年人口比例预测 图2

我们队根据leslie人口模型预测得到中国人口将在2026年前后达到峰值，

且人口峰值是14.3亿左右。经过分析中国未来40年内的人口结构，在现行计划

生育政策不变的情况下，中国人口老龄化有加速发展的趋势。建议执政党对现行

人口政策加以调整。

2. 问题二的建模和求解

① 精算模型

2012年已退休人员未来养老金收益（TRD）2012的精算模型。

2012年所有已退休人员未来养老金收益的精算现值的计算公式为：

（TRD）2012 =

是x岁的退休人员活到m岁的生存

概率。

2012年在职人员未来养老金收益( TMP)2012的精算模型。

2012年所有在职人员未来养老金收益的精算现值的具体计算公式为：

(TMP)2012

=

是在职人员r岁退休后活到m岁的生

存概率。

t年（2012年及以后）新参保人员未来养老金收益的精算模型。

t 年所有新参保人员未来养老金收益的精算现值的计算公式为：

并且，

② 测算结果与分析 我们队通过结合中国统计年鉴2011中公布的社会保险基金收支及累计结余和中国已公布的历年养老金规模等数据，通过精算模型以及对相关数据进行

单位：亿元

3.问题三略

4.问题四

我们队通过查阅相关资料得出结论，城镇养老和农村养老应走不同的路子。

农村养老：农村养老主要以家庭养老为主。应处理好老人与子女的关系，在

这方面居委会起着很重要的作用。村委会，老人，子女三方面可签一个养老的协

议，也应加强公共娱乐设施建设。对于空巢老人，居委会应特别照顾，使他们老

有所依，此外政府应落实农村医疗保障制度，处理好老人看病难，看病贵等问题。

城镇养老：城镇养老有家居养老，机构养老，社区养老三种方式，此外，老

人应为自己建一个储蓄账户，再加上国家养老基金，可以满足老人的日常生活需

求，也可以选择买养老保险等。

总之，不管是农村养老，还是城镇养老，这都需要国家财政的支持以及政策

的落实，相信在不久的将来，中国的“养老难”问题能被成功解决 。

五 .参考书目

[1] 姜启源 数学建模 北京 高等教育出版社 2000

[2] 杨启凡 何勇 谈之益 数学建模竞赛 杭州 浙江大学出版社 2006

[3] 叶其笑 大学生数学建模竞赛辅导教材 长沙 湖南教育出版社 1998

[4] 钱颂迪 运筹学 北京 清华大学出版社 2000

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