上海民办协和双语学校数学整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．

解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0

∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；

（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．

【答案】(1)1；(2)3．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．

【详解】

解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，

∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，

∴(x+y)2+(y+1)2=0，

∴x+y=0，y+1=0，

解得，x=1，y=?1，

∴2x+y=2×1+(?1)=1；

(2)∵a?b=4，

∴a=b+4，

∴将a=b+4代入ab+c 2?6c+13=0，得

b 2+4b+

c 2?6c+13=0，

∴(b 2+4b+4)+(c 2?6c+9)=0，

∴(b+2)2+(c?3)2=0，

∴b+2=0，c?3=0，

解得，b=?2，c=3，

∴a=b+4=?2+4=2，

∴a+b+c=2?2+3=3．

【点睛】

此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.

2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22

322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；

（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的

面积，你能发现什么?(用含有x ，

y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．

【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；

（3）大 小

【解析】

【分析】

（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；

（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数

一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；

【详解】

（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++

（2）22()()4x y x y xy +=-+

（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.

【点睛】

本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

3．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．

十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232

x x

++和2

23

x x

+-分解因式，如图：

()()

23212

x x x x

++=++；

()()

2

23123

x x x x

+-=-+．

请你仿照以上方法，探索解决下列问题：

（1）分解因式：2712

y y；

（2）分解因式：2

321

x x

--．

【答案】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．

【解析】

【分析】

（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；

（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.

【详解】

（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；

（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.

【点睛】

此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.

4．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n

a b

+(1,2,3,4,5,6)

n=的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222

()2

a b a ab b

+=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着

+=+++

33223

()33

a b a a b ab b展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：

（1）写出4()a b +的展开式；

（2）利用整式的乘法验证你的结论．

【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.

【详解】

（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，

（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+?+

=()()322333a b a a b ab b ++++

4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++

432234464a a b a b ab b =++++

方法二：()()()422a b a b a b +=+?+

=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++

=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++

= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .

【点睛】

解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.

5．请你观察下列式子：

2(1)(1)1x x x -+=-

()()23111x x x x -++=-

()()324111x x x x x -+++=-

()()4325111x x x x x x -++++=-

……

根据上面的规律，解答下列问题：

（1）当3x =时，

计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；

（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ； （3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．

【答案】（1）20183

1-；（2）3；（3）2018554

- 【解析】

【分析】

（1）根据已知的等式发现规律即可求解；

（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；

（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.

【详解】

（1）∵2(1)(1)1x x x -+=-

()()23111x x x x -++=-

()()324111x x x x x -+++=-

()()4325111x x x x x x -++++=-

……

∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+

故x=3时，201720162015(31)(3

33-+++…323331)++++=201831-

故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++

=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-

∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64

∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，

∵2018÷4=504…2，

∴20182的个位数为4，

∴201821-的个位数为3，

故填：3；

（3）201720162015555+++…32555+++ =

1(51)54-??（201620152014555+++…2551+++） =

54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54

×（201751-） =2018554

- 【点睛】

此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.

6．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法

例如：

()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.

22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.

试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=

（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.

【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．

（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.

【详解】

（1）原式=()()222a ab b

ac bc ++++

=()()2a b c a b +++

=()()a b a b c +++

（2）22(5)(1)n n +--

=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--

=()624n +

=()122n +

∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.

【点睛】

本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.

7．观察以下等式：

（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1

（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27

（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216

．．．．．． ．．．．．．

(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3

(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.

(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）

【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．

【解析】

【分析】

（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项

式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．

【详解】

（1）（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；

（2）（a+b ）（a 2-ab+b 2）

=a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3

=a 3+b 3；

（3）（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）

=x 3+y 3-（x 3-y 3）

=2y 3．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．

8．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．

例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；

（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．

例如：1423与4132为一组“相关和平数”

求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．

（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；

【答案】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848

【解析】

【分析】

（1）根据和平数的定义，即可得到结论；

（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ），即可得到结论．

（3）设这个“和平数”为abcd ，于是得到d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，求得2c+a=12k ，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；

【详解】

解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，

故答案为：1001，9999；

（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd，badc（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则

abcd badc

=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；

即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

（3）设这个“和平数”为abcd，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，

∴2c+a=12k，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），

①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，

可知c+1=6k且a+b=c+d，

∴c=5则b=7，

②当a=4，d=8时，

2（c+2）=12k，

可知c+2=6k且a+b=c+d，

∴c=4则b=8，

综上所述，这个数为：2754和4848．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．

9．由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：

x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．

实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．

(1)尝试分解因式：x2＋6x＋8；

(2)应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.

【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1.

【解析】

【分析】

（1）类比题干因式分解方法求解可得；

（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．

【详解】

(1)原式=(x+2)(x＋4)；

(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开

平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

10．（观察）

1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．

（发现）根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；

（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．

（类比）观察下列两数的积：

1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．

猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．

【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.

【解析】

【分析】

发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；

（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；

类比：由于m＋n＝60，将n＝60?m代入mn，得mn＝?m2＋60m＝?（m?30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．

【详解】

解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．

故答案为625；

（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．

故答案为a+b=50；

类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，

得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，

∴m=30时，mn的最大值为900．

故答案为900．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．

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