2009年高考四川数学试题及答案（理数）

2009年高考数学试题四川卷

全解全析

一、选择题（5×12＝60分）

1、设集合S＝｛x｜x?5 ｝，T＝｛x｜(x?7)(x?3)?0｝.则S?T＝ A. ｛x｜－7＜x＜－5 ｝ B. ｛x｜ 3＜x＜5 ｝

C. ｛x｜ －5 ＜x＜3｝ D. ｛x｜ －7＜x＜5 ｝ 【答案】C

【解析】S＝｛x｜?5?x?5 ｝，T＝｛x｜?7?x?3 ｝

∴S?T＝｛x｜ －5 ＜x＜3｝ 2、函数y?2x?1(x?R)的反函数是

A. y?1?log2x(x?0) B. y?log2(x?1)(x?1) C. y??1?log2x(x?0) D. y?log2(x?1)(x??1) 【答案】C

【解析】由y?2x?1?x?1?log2y?x??1?log2y，又因原函数的值域是y?0，

∴其反函数是y??1?log2x(x?0)

3、等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B

【解析】设公差为d，则(1?d)?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100 4、已知函数f(x)?sin(x?2?2)(x?R)，下面结论错误的是 ．．

A. 函数f(x)的最小正周期为2? B. 函数f(x)在区间［0，数

C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D. 函数f(x)是奇函数 【答案】D

【解析】∵f(x)?sin(x??］上是增函2?2)??cosx，∴A、B、C均正确，故错误的是D

【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。 5、设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝

5?1?0.618，这种矩形给人以美感，2称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近

C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【答案】A

【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613

【备考提示】用以上各数据与0.618（或0.6）的差进行计算，以减少 计算量，说明多思则少算。

6、如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，

PA?平面ABC,PA?2AB则下列结论正确的是

A. PB?AD

B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE

D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°

【答案】D

【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB?平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线BC∥平面PAE也不成立。在Rt?PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确

7、已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】显然，充分性不成立.又，若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b

即由“a－c＞b－d”?“a＞b”

x2y2??1(b?0)的左、8、已知双曲线右焦点分别是F1、其一条渐近线方程为y?x，F2，2b2点

P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【答案】C

22【解析】由渐近线方程为y?x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x?y?2，于

是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,?1).不妨去P(3,1)，则

PF1?(?2?3,?1)， PF2?(2?3,?1).

∴

PF1·

PF2＝

(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0

9、如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，?ABC=90°，BA?BC, 球心O到平面ABC的距离是 A. C.

32，则B、C两点的球面距离是 2? B. ? 34? D.2? 3【答案】B

【解析】∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。 O’C＝

32?(32232，AC＝32，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴)?22?BOC??3

，则B、C两点的球面距离＝

?3?3??

10、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生

产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是

A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 【答案】D

【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系： y 甲产品x吨 乙产品y吨 A原料 3x y B原料 2x 3y 13 ?x?0?y?0? 则有：? 3x?y?13???2x?3y?18 目标函数z?5x?3y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：

（0，6） O （3，4） （139 ，0） 3x 当x＝3，y＝5时可获得最大利润为27万元，故选D

11、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B

22【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同

排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

22解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分

三类情况：

22第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2A2=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时

2共有6A2＝12种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

2此时共有6A2＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

12、已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B. 【答案】A

【解析】若x≠0，则有f(x?1)?5215 C. 1 D. 221?x1f(x)，取x??，则有： x21112f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则 f()?f(??1)?122222?211f(?)?f() ）

221由此得f()?0

21?于

是

，

53f()?f(?1)?22

1?311?2f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0 3232323122222009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（文史类）

第Ⅱ卷

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13.抛物线y2?4x的焦点到准线的距离是 . 【答案】2

【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2 14.(2x?m 16)的展开式的常数项是 （用数字作答）2xrr6?rw.w.w.k.s.5.u.c.o.【答案】－20

【解析】Tr?1?(?1)C6(2x)(1r)?(?1)rC6r26?2rx6?2r，令6?2r?0，得r?3 2x3 故展开式的常数项为(?1)3C6??20

M是侧棱CC1的中15.如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，

点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 。【答案】90°

【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1， 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，

∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°

16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m f:V??V满足：对所有a、bV及任意实数?,?都有

f(?a??)b??(f?)a?，则(ffb称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④

【解析】①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，

突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）

、C所对的边分别为a、b、c，且在?ABC中，A、B为锐角，角A、BsinA?55,sBi?n10 10（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

510,sinB? 51025310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102【解析】（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?2cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4 ????????????????6分

（II）由（I）知C? 由

3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?2?1

∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1

∴ a?2,c?5 ????????????????12分

18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中在省外游客中有

3是省外游客，其余是省内游客。412持金卡，在省内游客中有持银卡。33w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率. 【解析】I）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则

11C6C2P(A)?230?

C367所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是

2. ?????????????6分 7（II）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：

事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则

112C9CC2144 P(B)?P(B1)?P(B2)?2?26?C36C36105所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是

44. ????????12分 10519（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45 （I）求证：EF?平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面BCE

?（III）求二面角F?BD?A的大小。 【解析】解法一：

因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF. 所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE, BC∩BE=B

所以EF?平面BCE

????????????????6分 （II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN

1AB2PC

∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN. ∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. ????????????????8分 （III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH. ∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=

12,则FG?AF?sinFAG?

2213=, 22

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

GH?BG?sinGBH?3232,??224FG2, ?GH3 w.w.w..s.5.u.c.o.m 在Rt⊿FGH中, tanFHG?∴ 二面角F?BD?A的大小为arctan2 3w.w.w..s.5.u.c.o.m ????????????????12分解法二: 因?ABE等腰直角三角形，AB?AE，所以AE?AB

又因为平面ABEF?平面ABCD?AB，所以AE⊥平面ABCD，所以AE?AD

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系,

(I) 设AB?1，则AE?1，B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)

∵FA?FE,?AEF?45?，∴?AFE＝900，

11

2211EF?(0,?,?)，BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0)

2211于是EF?BE?0???0，EF?BC?0

22从而F（0，－，）w.w.w..s.5.u.c.o.m

∴EF⊥BE,EF⊥BC

∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC?BE?B ∴EF?平面BCE

11,) 22111111 于是PM?EF?(?1,?,)?(0,?,?)?0???0

222244 ∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PM∥平面BCE

（II）M(0,0,),P(1,,0)，从而PM?(?1,?（III）设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1＝（x,y,z) BD?(1,?1,0),BF?(0,?121231,) 22?x?y?0?n?BD?0?1? ? 即?3 1?y?z?0???n1?BF?02?2 取y?1，则x?1，z?3，从而n1＝（1，1，3） 取平面ABDD的一个法向量为n2?(0,0,1) cos?n1、n2??n1?n2n1?n2?311?1?31111w.w.w.s.5.u.c.o.m

故二面角F?BD?A的大小为arccos20（本小题满分12分）

311 11已知函数f(x)?x?2bx?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式；

32（II）设函数g(x)?f(x)?1mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0??① 又f?(x)?3x2?4bx?c，由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??② 联立①②，解得b??1,c?1.

所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2 ?????????????4分 （II）因为g(x)?x?2x?x?2?令g?(x)?3x?4x?1?2321mx 31m?0 31m?0有实数解，3w.w.w..s.5.u.c.o.m 2当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?

由??4(1?m)?0，得m?1. ①当m?1时，g?(x)?0有实数x?极值

22，在x?左右两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无3311(2?1?m),x2?(2?1?m),g?(x),g(x)33g?(x)?0有两个实数根x1?②当m?1时，

情况如下表：

x (??,x1) + ↗ x1 0 极大值 (x1,x2) - ↘ x2 0 极小值 (x2??) + ↗ g?(x) g(x) 所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?11(2?1?m)时，g(x)有极大值；当x?(2?1?m)时，g(x)有极小值； 33w.w.w..s.5.u.c.o.m ?????????????12分 21. （本小题满分12分）

x2y22?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e?已知椭圆2?，右准

ab2线方程为x?2。

（I）求椭圆的标准方程；

??????????226（II）过点F，求直线l的方1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且F2M?F2N?3程。

?c2???a2，解得a?2,c?1【解析】（I）由已知得?2?a?2??c∴ b?a2?c2?1

w.w.w..s.5.u.c.o.m

x2?y2?1 ?????????????4分 ∴ 所求椭圆的方程为2（II）由（I）得F1(?1,0)、F2(1,0)

?x??12?①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x??1，由?x2得 y??22??y?1?2设M(?1,22)、N(?1,?)，22w.w.w.s.5.u.c.o.m

??????????22)?(?2,?)?(?4,0)?4，这与已知相矛盾。 ∴ F2M?F2N?(?2,22②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)， 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，

?y?k(x?1)?2222联立?x2，消元得(1?2k)x?4kx?2k?2?0 2??y?1?2?4k22k2?2,x1x2?∴ x1?x2?，

1?2k21?2k2∴ y1?y2?k(x1?x2?2)???????????又∵F2M?(x1?1,y1),F2N?(x2?1,y2) ??????????∴ F2M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)

2k，21?2kw.w.w.s.5.u.c.o.m

222????????????8k?2226?2k?22∴ F2M?F2N?(x1?x2?2)?(y1?y2)?? ???2?2?3?1?2k??1?2k?化简得40k?23k?17?0 解得k?1或k??∴ k??1

∴ 所求直线l的方程为y?x?1或y??x?1 ?????????????12分 22. （本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记

224217(舍去) 40bn?4?an(n?N*)。1?anw.w.w.s.5.u.c.o.m

（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

*（III）记cn?b2n?b(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都2n1?有Tn?3； 2【解析】（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

14w.w.w..s.5.u.c.o.m

?an?1?an?5an?1,即an?11?? an411，公比为q??的等比数列， 441n4?(?)1n4(n?N*) ?????????????3分 ∴an?(?)，bn?141?(?)n4∴数列?an?是首项为a1??（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

14?(?)n54?4?证明：由（I）知bn?n1n(?4)?11?(?)4w.w.w.s.5.u.c.o.m

552015?16k?40?b2k?1?b2k?8???8?k??8?k?8.(?4)2k?1?1(?4)2k?116?116k?4(16?1)(16k?4)5

∴当n为偶数时，设n?2m(m?N?)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4kw.w.w..s.5.u.c.o.m

∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4?5得

(?4)n?1w.w.w..s.5.u.c.o.m

5515?16n15?16n15?16n15cn?b2n?1?b2n?2n?????4?142n?1?1(16n?1)(16n?4)(16n)2?3?16n?4(16n)216n134,?c2?，333当n?1时，T1?，

2当n?2时，

又b1?3,b2?w.w.w..s.5.u.c.o.m

11n?2[1?()]24111416Tn??25?(2?3???n)??25?161316161631?16124693??25?16??134821?16w.w.w..s.5.u.c.o.m

?????????????14分

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